(完整)3.2.1立體幾何中的向量方法(一)剖析

3.2.1立體幾何中的向量方法

——方向向量與法向量高二數(shù)學(xué)組lAP１．直線的方向向量直線ｌ的向量式方程換句話說,直線上的非零向量叫做直線的方向向量一、方向向量與法向量2、平面的法向量

AlP平面α的向量式方程換句話說,與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標(biāo)為___________平面OABC的一個法向量坐標(biāo)為___________平面AB1C的一個法向量坐標(biāo)為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)求法向量的步驟：第一問題：用“方向向量”與“法向量”來解決平行、垂直問題.一、平行關(guān)系：lm一、平行關(guān)系：l一、平行關(guān)系：二、垂直關(guān)系：lm二、垂直關(guān)系：l二、垂直關(guān)系：例1(1)設(shè)分別是直線的方向向量,根據(jù)下列條件判斷與

的位置關(guān)系:②③分析:直線方向向量與直線位置關(guān)系,據(jù)此可判斷兩直線的位置關(guān)系①平行②垂直③相交或異面例1(2)設(shè)分別是平面的法向量,根據(jù)下列條件判斷與

的位置關(guān)系:②③分析:平面法向量與兩平面位置關(guān)系,據(jù)此可判斷兩平面的位置關(guān)系①垂直②平行③相交(不垂直)例1(2)設(shè)分別是平面的法向量,根據(jù)下列條件判斷與

的位置關(guān)系:②③分析:直線方向向量與平面法向量關(guān)系和直線與平面位置關(guān)系,據(jù)此可判斷直線和平面的位置關(guān)系例1(3)設(shè)是平面的法向量,是直線的方向向量,根據(jù)下列條件判斷與

的位置關(guān)系:②③①②垂直③相交(斜交)答題規(guī)范A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點，求證：D1F例：在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設(shè)正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以,E是AA1中點，例5正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個法向量是平面C1BD.

平面EBD練習(xí)：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分別是BB1、CC1上的點，且BE=a，CF=2a.求證:面AEF

面ACF。AFEC1B1A1CBxzy練習(xí)

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，

PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，

(1)求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立體幾何法利用“方向向量”與“法向量”來解決夾角問題.第二問題：結(jié)論：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

3.二面角：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍1、兩條直線的夾角：lmlm所以與所成角的余弦值為解：以點C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，設(shè)則：

所以：例：2、直線與平面的夾角：l例：解：建系如圖所示，lDCBA3、二面角：①方向向量法：二面角的范圍：ll②法向量法法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補角3、二面角：例：如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處.從A，B到直線l（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為a和b,CD的長為c,AB的長為d.求庫底與水壩所成二面角的余弦值.解：如圖，根據(jù)向量的加法法則有于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角.因此ABCD所以所以庫底與水壩所成二面角的余弦值為設(shè)平面例：1.三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點,則PA與BE所成角的余弦值為_________.

2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_________.3.正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點,則二面角E-BC-A的大小是________利用“方向向量”與“法向量”來解決距離問題.第三問題：1、點與點的距離：

例1

如圖1：一個結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點

的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這

個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？A1B1C1D1ABCD圖1解：如圖1，所以答:這個晶體的對角線AC1

的長是棱長的倍。練習(xí).(P107.2)如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的長.BACD解1練習(xí).(P107.2)如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的長.BACD解22、點與直線的距離：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點，求:點F到直線AE的距離.例：在正方體中，E、F分別是BB1,，3、點到平面的距離：3、點到平面的距離：DABCGFExyzAPDCBMNabCDABCD為a,b的公垂線,A，B分別在直線a,b上已知a,b是異面直線,4.異面直線間的距離

zxyABCC1即取x=1,則y=-1,z=1,所以EA1B15.其它距離問題：（1）平行線的距離(轉(zhuǎn)化為點到直線的距離）（2）直線與平面的距離（轉(zhuǎn)化為點到平面的距離）（3）平面與平面的距離（轉(zhuǎn)化為點到平面的距離）練習(xí)1：如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（I）求證：AO⊥平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的大??；（III）求點E到平面ACD的距離.解：（I）略（II）解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為

（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則令得是平面ACD的一個法向量，又所以點E到平面ACD的距離如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值;(2)OS與面SAB所成角的余弦值;(3)二面角B－AS－O的余弦值.OABCSxyz練習(xí)2：

OABCSxyz如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值;OABCSxyz如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(2)OS與面SAB所成角的余弦值

;所以O(shè)S與面SAB所成角的余弦值為OABCSxyz所以二面角B－AS－O的余弦值為如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(3)二面角B－AS－O的余弦值.練習(xí)3：如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點.(1)證明：PA//平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值.ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明：設(shè)正方形邊長為1，則PD=DC=DA=1.連AC、BD交于G點(2)求EB與底面ABCD