雞兔同籠解法全集總有一種適合你方法二方法九絕了

雞兔同籠解法全集，總有一種適合你，推薦方法二，方法九絕了雞兔同籠問題是小學(xué)階段非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，可以這么說，所有的小學(xué)生都學(xué)習(xí)過或見識(shí)過雞兔同籠問題，而且有不少學(xué)生還為此吃盡了苦頭。為什么雞兔同籠問題在中國(guó)這么“流行”呢？因?yàn)檫@個(gè)問題本身就是我們中國(guó)人提出來的。友情提示，本篇文章約6000字，全文閱讀約12分鐘。建議收藏起來，這篇文章讀后，孩子一定能搞定基礎(chǔ)的雞兔同籠問題。我翻閱了一下中國(guó)古代的數(shù)學(xué)書籍《孫子算經(jīng)》，里面就有關(guān)于雞兔同籠問題的描述，在《孫子算經(jīng)》里，雞兔同籠問題被叫做雉兔同籠問題，原文是：今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問：雉、兔各幾何？翻譯一下就是：雞、兔在同一個(gè)籠子里，上面有35個(gè)頭，下面有94只腳。問：雞、兔各多少只？為什么這道題這么經(jīng)典，竟然被收錄到《孫子算經(jīng)》里面，就是因?yàn)檫@里面涉及到兩種動(dòng)物，兩種動(dòng)物的腳數(shù)不相同，需要通過假設(shè)、利用想象來進(jìn)行求解，非常有利于訓(xùn)練學(xué)生的思維能力。實(shí)際上，雞兔同籠的解決方法非常多，我自己就總結(jié)了十幾種，當(dāng)然，大家不需要記住每種做法，事實(shí)上，有的做法也不見得是非常適合，只是用于拓展一下大家的思路，給出另類的解決方案，供大家學(xué)習(xí)參考。下面我就把這些解法一一列出，快去找尋適合你的那種解題方法吧！經(jīng)典解法一：先易后難列表法先介紹一種最最基礎(chǔ)的做法，這種做法看起來比較“笨”，但是卻有它的優(yōu)點(diǎn)，具體的解決辦法就是一個(gè)一個(gè)的數(shù)，一個(gè)一個(gè)地試。首先列一個(gè)表格，在表格中可以看到，雞和兔子的腳數(shù)不同，所以，對(duì)于不同只數(shù)的雞和兔子，雖然它們的總數(shù)相等（都等于35只），但是腳數(shù)是變化的，我們將不同組合下的雞和兔子的腳數(shù)分別列出來，以表格的形式展示如下：雞353433323130……23兔012345……12總腳數(shù)70727476788094列表的時(shí)候，我們先假設(shè)雞有35只，那么兔子就只能是0只，這樣就算出了總的腳數(shù)，然后將雞的只數(shù)遞減，兔子的只數(shù)遞增，依次計(jì)算出總的腳數(shù)，最終能夠計(jì)算出當(dāng)雞有23只，兔子有12只時(shí)，總腳數(shù)等于94只，符合題目中的條件，進(jìn)而得到最終的結(jié)果。實(shí)際上，在填寫表格的時(shí)候，也不需要完全把所有的結(jié)果都計(jì)算出來，只需要填寫幾個(gè)空格，細(xì)心的同學(xué)通過觀察數(shù)字的變化規(guī)律，就可以很輕松的判斷出雞和兔子的只數(shù)了。很多學(xué)生和家長(zhǎng)對(duì)這種方法不屑一顧，覺得這種方法既笨拙又麻煩，我并不這么認(rèn)為，其實(shí)，對(duì)于小學(xué)低年級(jí)的學(xué)生而言，這種方法我倒是認(rèn)為是最值得推薦的方法，因?yàn)樵谥谱鞅砀竦倪^程中，學(xué)生需要自主地去探索雞、兔在數(shù)量變化的時(shí)候，總腳數(shù)的變化特點(diǎn)，通過動(dòng)手繪制以及用眼觀察，分析比較得出，由于兔子的腳比雞多兩只，所以當(dāng)雞數(shù)少1只，兔數(shù)多1只的時(shí)候，總腳數(shù)會(huì)增加2只的規(guī)律性認(rèn)識(shí)。而這正是培養(yǎng)學(xué)生探索精神，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑。經(jīng)典解法二：靈機(jī)一動(dòng)假設(shè)法雞兔同籠的解法中，我個(gè)人最喜歡的同時(shí)也是最推薦學(xué)生使用的就是假設(shè)法，因?yàn)榧僭O(shè)法幾乎能夠解決所有類型的雞兔同籠問題，即使題目進(jìn)行了很大的改編和變形，假設(shè)法都能有效的對(duì)題目進(jìn)行解析，當(dāng)然，對(duì)于一些變形的雞兔同籠問題，用假設(shè)法會(huì)比較燒腦。在實(shí)際應(yīng)用中，假設(shè)法幾乎是最經(jīng)典，最有效率的一種方法，學(xué)生運(yùn)用假設(shè)，將不同的情形（雞和兔子的腳數(shù)不同）轉(zhuǎn)化成相同的情形，有利于簡(jiǎn)化問題，理清思路。雞兔同籠問題的難點(diǎn)就在于每只雞和每只兔子的腳數(shù)是不同的，這是問題的難點(diǎn)，但也是解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)或者說是突破口，假設(shè)雞和兔子的腳數(shù)相同，那么，題目就會(huì)大大簡(jiǎn)化，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，是解決數(shù)學(xué)問題的常見思路。假設(shè)一：所有兔子都站起來，藏起2只腳。這樣的話，每只雞和每只兔子的腳數(shù)就相等了，都是2只，在這種情況下，一共有35個(gè)頭，也就是說一共有35只動(dòng)物，每個(gè)動(dòng)物有2只腳，那么總的腳數(shù)=35×2=70只，這比題目給出的94只腳少了24只，想一想為什么少了？因?yàn)槊恐煌米佣颊玖似饋?，收起?只腳，一只兔子少2只腳，一共少了24只腳，所以一共有24÷2=12只兔子，再用35-12=23就是雞的數(shù)量。假設(shè)二：我們也可以把雞假設(shè)成兔子，此時(shí)，所有雞增加2只腳。這樣的話，每只雞和每只兔子的腳數(shù)就相等了，（都是4只），在這種情況下，一共有35個(gè)頭，也就是說一共有35只動(dòng)物，每個(gè)動(dòng)物有4只腳，那么總的腳數(shù)=35×4=140只，這比題目給出的94只腳多了46只，想一想為什么這次腳又多了呢？因?yàn)槊恐浑u都多了2只腳，一只雞多2只腳，一共多了46只腳，所以一共有46÷2=23只雞，再用35-23=12就是兔子的數(shù)量。實(shí)際上，假設(shè)法不僅能做出經(jīng)典的雞兔同籠問題，對(duì)于一些雞兔同籠變形題，包括分組法解決的雞兔同籠問題，都能很好地解決，大家要不斷地用假設(shè)法去嘗試解決這類問題。經(jīng)典解法三：公平交換代換法實(shí)際上，我們還可以用一二年級(jí)時(shí)學(xué)到的變量代換的方法求解雞兔同籠問題。用紅圓圈代表雞，用藍(lán)圓圈代表兔子。根據(jù)題意，我們可以列出下面的算式：這種方法也是我非常推薦的，因?yàn)檫@種方法雖然只是用到了一二年級(jí)的知識(shí)，但實(shí)質(zhì)上卻是方程思想的初步應(yīng)用，是設(shè)未知數(shù)求解問題的雛形，在這道題中，我們分別用紅圈和藍(lán)圈代表雞和兔子，本質(zhì)上就是一種數(shù)學(xué)抽象，對(duì)提升學(xué)生的分析歸納問題能力有非常好的作用和效果。當(dāng)然，這種做法對(duì)四年級(jí)以下的學(xué)生來說，聽是能聽懂的，但讓他們?cè)僮鲆淮慰峙掠行╇y度，因?yàn)檫@種做法的實(shí)質(zhì)是方程解法，只不過用符號(hào)代替了x、y，對(duì)低年級(jí)的學(xué)生來說是有一定難度的。我比較建議家長(zhǎng)用這種方法嘗試給孩子講一下，看看孩子的反應(yīng)，也看看孩子在今后遇到雞兔同籠問題時(shí)，會(huì)采用哪一種方法，可以據(jù)此做一個(gè)對(duì)孩子理解力的初步判斷，如果他仍然愿意并能夠使用這種方法解決雞兔同籠問題，那我覺得是可以提前給他講講方程的。經(jīng)典解法四：一目了然圖形法雞兔同籠問題當(dāng)然還可以采用圖形的方法來解決，比如，下面我先用線段表示雞和兔，藍(lán)色的線段代表雞的只數(shù)，紅色線段代表兔的只數(shù)。?我們知道，一只雞2只腳，一只兔子4只腳，我們?cè)谏蠄D的基礎(chǔ)上，向外拓展一下，形成下面的圖形。?可見，藍(lán)色區(qū)域的面積等于雞×2，即雞的腳數(shù)，紅色區(qū)域的面積等于兔×4，即兔子的腳數(shù)。這里邊有一個(gè)條件我們不要忽略了，那就是雞和兔子的數(shù)量一共是35只。這樣我們就可以構(gòu)建出下面的圖形。?從上圖中可以計(jì)算出35×4=140，是整個(gè)圖形的面積，從上面的分析中可以知道，多出來的陰影部分面積應(yīng)該等于140-94=46，而這個(gè)長(zhǎng)方形的寬=4-2=2，那么長(zhǎng)就應(yīng)該等于46÷2=23，也就是雞的數(shù)量，進(jìn)而我們可以得出兔子的數(shù)量是35-23=12只。這種方法也是我比較推薦的，并不是說它計(jì)算得有多么快，多么便捷，而是說這種方法為我們拓寬了求解雞兔同籠問題的視野，使我們從呆板單一的數(shù)字運(yùn)算中，愉快地過渡到圖形的世界之中，對(duì)于啟發(fā)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力非常有幫助。說到這里我要提醒一下家長(zhǎng)，我用面積的方法來講，家長(zhǎng)們應(yīng)該能看懂，但實(shí)際上，三年級(jí)的學(xué)生，如果按照課本的知識(shí)點(diǎn)講解進(jìn)度來說，這種方法可能是他聽不懂的，當(dāng)然，也有部分學(xué)生能聽懂。這種方法的表現(xiàn)是數(shù)形結(jié)合，實(shí)質(zhì)是面積概念中的這個(gè)“積”的應(yīng)用，所謂的積就是兩個(gè)數(shù)相乘，從算式來看，就是35×4，從圖形來看，就是長(zhǎng)35，寬4的一個(gè)長(zhǎng)方形的圖形面積，顯然，我們可以用圖形的面積來代表兩個(gè)數(shù)的乘積，這種思路會(huì)不會(huì)啟發(fā)學(xué)生去解決行程問題，濃度問題，工程問題呢？經(jīng)典解法五：簡(jiǎn)單粗暴設(shè)x設(shè)雞有x只，因?yàn)殡u和兔子一共有35只，那么兔子就有35-x只，根據(jù)題意，一只雞2只腳，所以雞的腳數(shù)是2x只，一只兔子4只腳，所以兔子的腳數(shù)是4×(35-x)，我們知道總腳數(shù)是94只，所以可以列出下面的算式：2x+(35-x)×4=94，解出x=23，即雞有23只，所以兔子是12只。對(duì)于高年級(jí)的學(xué)生，我是非常推薦用這種方法解題的，可以這么說，對(duì)于高年級(jí)的學(xué)生，設(shè)未知數(shù)的方法是首選的方法。因?yàn)樵O(shè)未知數(shù)列方程的方法既是最快的又是最簡(jiǎn)潔的，長(zhǎng)期運(yùn)用方程思想求解實(shí)際問題，對(duì)于提升學(xué)生的問題抽象能力有非常大的幫助。不過對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生，我還是覺得應(yīng)該慎重地向他們講述此種方法，因?yàn)檫^早的學(xué)習(xí)方程解法，一方面對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生來說，他們的認(rèn)知水平有限，會(huì)造成他們的認(rèn)知困擾，就像上面介紹的等量代換的方法一樣，孩子能聽懂，但自己動(dòng)手做不出來。另一方面，如果他們能夠理解并熟練掌握此種方法，一定會(huì)放棄其他的方法，這對(duì)于培養(yǎng)他們的探索能力、數(shù)形結(jié)合能力、分析歸納能力來說，簡(jiǎn)直就是個(gè)災(zāi)難！經(jīng)典接法六：二元一次方程組好吧，我承認(rèn)用二元一次方程組來解雞兔同籠問題有點(diǎn)兒小題大做了，但這確實(shí)也是一種比較好的方法。設(shè)雞有x只，兔子有y只，那么根據(jù)題意，我們可以列出下面的方程組：x+y=35①2x+4y=94②把第一個(gè)式子左右都乘以2，得到2x+2y=70③再用②-③，得到2y=24，進(jìn)而求得y=12，即兔子有12只，雞有35-12=23只。這種方法確實(shí)是簡(jiǎn)單粗暴，但問題是很多學(xué)生掌握不了，確實(shí)有他的局限性，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，理解能力較強(qiáng)的學(xué)生，可以嘗試講這種方法。經(jīng)典解法七：圖解法求解二元一次方程組剛才提到了可以用二元一次方程組求解這類雞兔同籠問題，很多同學(xué)可能會(huì)感到比較陌生，這里，我再介紹一種用作圖的方法，解決二元一次方程組，看看同學(xué)們是否能夠理解。同樣還是設(shè)雞有x只，兔子有y只，那么根據(jù)題意，我們可以列出下面的方程組：x+y=35①2x+4y=94②到這一步我們要開始變形了，用②÷①，得到也就是平均每只動(dòng)物有只腳。從圖中課件，矩形ABMP是雞兔的總腳數(shù)94，與矩形ACDE（雞的腳數(shù)）和矩形CBFG（兔的腳數(shù)）的和相等，那么，矩形PQDE的面積就應(yīng)該等于矩形GFMQ的面積。這樣，就有即所以結(jié)合得到嚴(yán)格上說，這里的孕育著混合物加權(quán)平均的思想！經(jīng)典解法八：可愛乖萌的金雞獨(dú)立法一只雞2只腳，一只兔子4只腳，我們讓它們的腳數(shù)都減少一半，也就是讓雞單腳著地，來一個(gè)金雞獨(dú)立，讓兔子前肢收齊，兩個(gè)后腿撐地，像下圖那樣。??這時(shí)，它們總的腳數(shù)應(yīng)該是最初時(shí)的一半，即94÷2=47只。我們注意觀察一下，此時(shí)，一只雞有1只腳，頭腳是一一對(duì)應(yīng)的，一只兔子有2只腳，每只兔子的腳數(shù)比頭數(shù)多1個(gè)。現(xiàn)在的情況是一共35個(gè)頭，46只腳，雞是頭腳一一對(duì)應(yīng)是不多的，那么多出來的腳都是兔子的，所以有兔子47-35=12只，知道了兔子的只數(shù)，很容易就算出雞的只數(shù)是23只了。這種方法從表面上看和假設(shè)法十分相似，但如果你仔細(xì)分析后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種方法的妙處在于通過金雞獨(dú)立，雞的頭數(shù)和腳數(shù)一一對(duì)應(yīng)了，一個(gè)頭對(duì)應(yīng)一只腳，那么多出來的腳就是兔子的了。因此，這種方法告訴我們一種解題思路：將其中一個(gè)動(dòng)物的頭腳數(shù)做到一比一，這樣，總腳數(shù)與總頭數(shù)之差就是另一個(gè)動(dòng)物的腳數(shù)與頭數(shù)之差，在這種情況下，問題得到了簡(jiǎn)化，直接可以算出另一個(gè)動(dòng)物的只數(shù)。經(jīng)典解法九：滑稽搞笑的吹哨法聽口令：抬起一只腳！這時(shí)，雞展示了它金雞獨(dú)立的功夫，兔子則躡手躡腳地抬起了一只腳。?此時(shí)，每個(gè)動(dòng)物都少了一只腳，一共有35個(gè)動(dòng)物，就是少了35只腳，現(xiàn)在的總腳數(shù)是94-35=59只。聽口令：再抬起一只腳！這時(shí)，雞整個(gè)蹲了下來，兔子則是兩只后腿著地，如圖所示：?此時(shí)，總腳數(shù)=59-35=24，注意觀察我們發(fā)現(xiàn)，雞已經(jīng)沒有腳了，也就是說剩下的24只腳都是兔子的，我們看圖，現(xiàn)在的兔子有2只腳，一共24只腳，那么兔子就應(yīng)該有24÷2=12只，那么，雞就是35-12=23只。對(duì)這種解法，我只能說I服了U。這種解法的妙處就在于通過兩次吹哨，把雞的腿變沒了，徹底把題目簡(jiǎn)化成兔子的頭腳問題，這種思路非常值得大家學(xué)習(xí)，如果孩子對(duì)雞兔同籠問題感興趣，我倒是建議家長(zhǎng)可以嘗試給孩子講講這種方法，激發(fā)他們繼續(xù)探索解題方法的熱情。這種方法和假設(shè)法是有區(qū)別的，實(shí)際上，和上面提到的金雞獨(dú)立法也有區(qū)別，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考這三種方法的區(qū)別到底在什么地方。經(jīng)典解法十：插翅難飛法一只雞2只腳，一只兔子4只腳，但是雞會(huì)飛啊，來一個(gè)大鵬展翅。?這個(gè)時(shí)候我們?cè)賮砜纯?，一只雞2腳2翅，也算是湊足了四肢了，這樣，35個(gè)動(dòng)物，每個(gè)動(dòng)物都是四肢，一共有35×4=140，比題目中的94只腳多了46，這46就是展開的翅膀，我們知道一只雞2只翅膀，所以46只翅膀就是46÷2=23只雞，兔子就是35-23=12只。這種解法本質(zhì)上是假設(shè)法的一種變形，假設(shè)所有的動(dòng)物都是兔子，都有四只腳（此方法認(rèn)為是2腳2翅膀），然后運(yùn)用假設(shè)法把題目做出來。不過，這種方法和假設(shè)法不同之處，在于運(yùn)用了圖形和想象，這樣，有助于學(xué)生更好地理解。和上面介紹的吹哨法有異曲同工之妙。經(jīng)典解法十一：調(diào)轉(zhuǎn)乾坤平均法出于對(duì)求解題目計(jì)算的簡(jiǎn)化，我們把題目稍作修改，雞兔共有20個(gè)頭，共有50只腳。我們來看如何用平均法求解。一只雞2只腳，一只兔子4只腳，那么它們混合在一起，平均一個(gè)動(dòng)物的腳數(shù)應(yīng)該是大于2小于4的。從題目中我們可以看出，20個(gè)頭，50只腳，平均下來一個(gè)動(dòng)物2.5只腳（這是什么怪物？?。┪覀冇镁€來表示如下:?我們把一只雞2只腳，一只兔子4只腳也標(biāo)記在線上。?從上圖中可以看出，一只兔子的腳數(shù)比平均數(shù)多了1.5只，一只雞的腳數(shù)比平均數(shù)少了0.5只，我們可以這么理解，一只兔子比平均數(shù)多出的1.5只腳，需要3只雞來“拉