高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題28 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和9題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)（解析版）

專題28等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和9題型分類1．等比數(shù)列有關(guān)的概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1.(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比數(shù)列性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2w＝m＋n，則aman＝aeq\o\al(2,w)，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))也是等比數(shù)列(b，p，q≠0)．(4)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(n為偶數(shù)且q＝－1除外)(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))則等比數(shù)列{an}遞增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))則等比數(shù)列{an}遞減．常用結(jié)論1．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．3．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(1)若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．(2)若數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q，或eq\f(S偶,S奇－an)＝q.（一）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)可迎刃而解．(2)解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法．(3)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要討論公比q＝1的情形，否則會(huì)漏解或增解．題型1：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算1-1．（2024高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）在等比數(shù)列中，若，，則公比q應(yīng)為（

）A． B． C． D．－2【答案】D【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)椋獾胵＝－2.故選：D1-2．（2024高三下·北京·階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則等于（

）A．9 B．72 C．9或70 D．9或【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比，即可求出的值.【詳解】由題意，，在等比數(shù)列中，，，設(shè)公比為，，即，解得或，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：D.1-3．（2024高二下·湖北·階段練習(xí)）已知遞增的等比數(shù)列中，前3項(xiàng)的和為7，前3項(xiàng)的積為8，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】首先由前3項(xiàng)的和為7，得出，再由前3項(xiàng)的積為8，根據(jù)下標(biāo)和定理得出，則代入求值，結(jié)合為遞增的等比數(shù)列，得出的值，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】由前3項(xiàng)的和為7，得前3項(xiàng)的積為8，得，即，則，代入，得，即，解得或，因?yàn)闉檫f增的等比數(shù)列，所以，則，所以，故選：D．1-4．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則該數(shù)列的以及依次為（

）A．682， B．， C．682，或 D．，或【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，求出和，再由前項(xiàng)和公式求解.【詳解】根據(jù)題意，得，解方程得，或，，或.故選：C1-5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，為前項(xiàng)和，，則（

）A．7 B．9 C．15 D．30【答案】C【分析】設(shè)公比為，根據(jù)條件列出方程求解，再由求和公式得解.【詳解】等比數(shù)列中，設(shè)公比為，，為前項(xiàng)和，，顯然，(如果，可得矛盾，如果，可得矛盾)，可得，解得，即或，所以當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．沒(méi)有選項(xiàng)．故選：C．（二）等比數(shù)列的判定與證明等比數(shù)列的三種常用判定方法(1)定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(3)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．題型2：等比數(shù)列的判定與證明2-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時(shí)從甲、乙兩個(gè)容器中取出100ml溶液，將其倒入對(duì)方的容器并攪勻，這稱為一次調(diào)和．記，，經(jīng)次調(diào)和后，甲、乙兩個(gè)容器的溶液濃度分別為，．(1)試用，表示，．(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項(xiàng)．【答案】(1)，．(2)證明見(jiàn)解析，，．【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，即可求解；（2）由（1）得到可得，得出數(shù)列是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，經(jīng)次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器中的溶液濃度分別為，所以，．（2）解：由（1）知，，，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，因?yàn)椋?，所以①，又因?yàn)?/p>

②．聯(lián)立①②得，．2-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，其中為的前n項(xiàng)和．證明：(1)是等比數(shù)列．(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，利用相減法結(jié)合等比數(shù)列的定義即可解決；（2）由（1）得利用放縮法得，求和證明即可.【詳解】（1）∵，∴，兩式相減得：，即．∴．當(dāng)時(shí)，，即又∵，∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）得，所以令，則．不等式左邊的前2n項(xiàng)和．又，∴原不等式得證．2-3．（2024·廣東東莞·三模）已知數(shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)題中關(guān)系，可得，進(jìn)而可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，，則，可利用分組求和與錯(cuò)位相減求和解題.【詳解】（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）知，∴，∴，設(shè)，則，兩式相減得，從而∴.（三）等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口．(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要．題型3：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)3-1．（2024·江西·二模）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，與是方程的兩個(gè)根，則.【答案】5【分析】利用韋達(dá)定理，可得，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和等比數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)榕c是方程的兩個(gè)根，所以，因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：5.3-2．（2024高三下·四川成都·階段練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則．【答案】4【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有，則，解得，所以．故答案為：4．3-3．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則.【答案】【分析】先由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋鶕?jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算得到：，所以.由等比數(shù)列的性質(zhì)得到：.故答案為128.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的寫法，以及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較基礎(chǔ).對(duì)于等比等差數(shù)列的小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項(xiàng)和公比或者公差，其二是觀察各項(xiàng)間的腳碼關(guān)系，即利用數(shù)列的基本性質(zhì).（四）等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和具有的性質(zhì)，設(shè)公比為．①若共有項(xiàng)，則；②若共有項(xiàng)，．（2）等比數(shù)列中，表示它的前項(xiàng)和．當(dāng)時(shí)，有也成等比數(shù)列，公比為．題型4：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)4-1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則.【答案】510【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)：，，，…構(gòu)成等比數(shù)列，再利用條件即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，，，…，，…構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且是該等比數(shù)列的前8項(xiàng)和，所以.故答案為：510.4-2．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.若，，則的值為.【答案】40【分析】用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：當(dāng)公比時(shí)，，也是等比數(shù)列，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，則等比數(shù)列的公比，所以，，也是等比數(shù)列，所以，，也是等比數(shù)列，所以，即，解得或，又，所以.故答案為：40.4-3．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則的最小值為．【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可推出，，代入整理可得.即可得出答案.【詳解】解：設(shè)公比為.當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，，所以，，所以，，所以，?dāng)時(shí)，有最小值為.綜上所述，的最小值為.故答案為：.4-4．（2024·江蘇南京·一模）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比.【答案】/【分析】利用變形求得，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以得到，結(jié)合等比數(shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，進(jìn)而求出公比。【詳解】由，得.又正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，故，∴，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴故，解得：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，所以，故故答案為：（五）由求數(shù)列的通項(xiàng)已知求是一種非常常見(jiàn)的題型，這些題都是由與前項(xiàng)和的關(guān)系來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可由數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系是，注意：當(dāng)時(shí)，若適合，則的情況可并入時(shí)的通項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．題型5：由求數(shù)列的通項(xiàng)5-1．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合前n項(xiàng)和為，列出前三項(xiàng)計(jì)算即可求得.【詳解】由題意可得，，，故有.故答案為：5-2．（2024·廣西玉林·三模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知向量，，若，且，則通項(xiàng)為．【答案】【分析】由平面共線向量的坐標(biāo)表示可得，利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，，兩式作差得：，即，所以是以為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則，又不符合上式，所以.故答案為：.5-3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)．【答案】【分析】先求得時(shí)；再由可得時(shí)，兩式作差可得，進(jìn)而求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得；由，可知當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.（六）奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論求解等比數(shù)列的前項(xiàng)和，要準(zhǔn)確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項(xiàng)數(shù)的值；對(duì)于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一問(wèn)題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類．題型6：奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論6-1．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且，記.(1)求；(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(3)求.【答案】(1)(2)若，不是等比數(shù)列；若，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.(3)若，；若，=.【分析】（1）直接代入已知條件計(jì)算即可；（2）由已知及遞推公式可得，再討論的值即可判定；（2）結(jié)合（2）的結(jié)論分情況由公式求和即可.【詳解】（1）由題意可知：（2）由，而，若，則，顯然不能是等比數(shù)列，若，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（3）由（2）可知，若，則為常數(shù)列，各項(xiàng)均為0，故；若，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的求和公式得：=.6-2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得不等式成立的n的最小值．【答案】(1)(2)20【分析】（1）通過(guò)構(gòu)造得，則可得到的通項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列求和公式得，通過(guò)作差得，，則得到是一個(gè)增數(shù)列，計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）因?yàn)樗?，，，所以．又因?yàn)椋?，所以．因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，，所以是一個(gè)增數(shù)列，因?yàn)?，，所以滿足題意的n的最小值是20．6-3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的定義分析運(yùn)算；（2）先根據(jù)等比數(shù)列結(jié)合累加法求，再利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）由題意可得：，且，則，所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知：，即，可得：，所以，即，則，可得，則，兩式相減得：，所以.6-4．（2024·山東濟(jì)寧·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量計(jì)算即可求解，（2）由分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）由，得所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．所以公差．所以．（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)．所以（七）等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過(guò)指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)等比數(shù)列，正項(xiàng)等比數(shù)列通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列．題型7：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用7-1．（2024高二上·陜西渭南·期末）在等差數(shù)列中，．(1)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組求解即可；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由等比數(shù)列公式求出可得，再由分組求和得解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題知，則，解得．（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，，則．7-2．（2024·江蘇）已知是等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)若（m，k是大于2正整數(shù)），求證：；(2)若（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè)q的值，并加以說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列，等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的基本量，列出等量關(guān)系，求解即可證明；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量，結(jié)合為正整數(shù)，即可證明；（3）假設(shè)存在三項(xiàng)滿足題意，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列基本量的計(jì)算，列出方程，即可求得滿足題意的.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，可得，；因?yàn)椋剩?（2），由可得，解得或，但，故，因?yàn)闉檎麛?shù)，故是整數(shù)；設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為，只要證明數(shù)列中存在某一項(xiàng)，使得即可，即方程關(guān)于有正整數(shù)解即可.則，，也即，若，則，那么，；若，則（舍）；若，則（舍）；若，則為正整數(shù)，又因?yàn)?，故只要考慮時(shí)的情況，此時(shí)是正整數(shù).數(shù)列中任意一項(xiàng)與數(shù)列中的第項(xiàng)相等，故結(jié)論成立.（3）設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，則有，設(shè)，則，令，則，，因?yàn)?，故（舍去?fù)根），故存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列基本量的計(jì)算；處理問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和基本量的計(jì)算，屬綜合難題.7-3．（2024高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的的最大值.【答案】(1)；(2)13.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等比中項(xiàng)列出方程求出公差，即可得通項(xiàng)公式；（2）由前n項(xiàng)和公式求和，解不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，則，解得，所以.（2）由可得，由

得又，所以的最大值為13.（八）等比數(shù)列的范圍與最值問(wèn)題求解此類問(wèn)題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解．有時(shí)也注意基本不等式的應(yīng)用．題型8：等比數(shù)列的范圍與最值問(wèn)題8-1．（2024·陜西西安·三模）已知數(shù)列是無(wú)窮等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和（

）．A．無(wú)最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，無(wú)最小值 D．無(wú)最大值，無(wú)最小值【答案】C【分析】由已知可得，進(jìn)而判斷的單調(diào)性及各項(xiàng)的符號(hào)，即可確定其最值情況.【詳解】若公比為，則，又，故，所以為單調(diào)遞增數(shù)列且，則在時(shí)取最大值，但無(wú)最小值.故選：C8-2．（2024高三上·貴州銅仁·期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)且公比大于1，前n項(xiàng)積為，且，則使得的n的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】設(shè)公比為，則，由，得，根據(jù)為遞增數(shù)列，推出，再推出，，，，，，，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)公比為，則，由，得，因?yàn)?，所以為遞增數(shù)列，所以，所以，，，，，，，，所以n的最小為8.故選：D．8-3．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列有最大項(xiàng) D．?dāng)?shù)列有最小項(xiàng)【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，分析可知，取，可判斷AB選項(xiàng)；分、兩種情況討論，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng).【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，則，由可得且，對(duì)于AB選項(xiàng)，若，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)，則，此時(shí)數(shù)列不單調(diào)，AB都錯(cuò)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，則有最小項(xiàng)，無(wú)最大項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，若為正奇數(shù)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞減，則；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞增，則.故當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為.綜上所述，有最小項(xiàng).故選：D.8-4．（2024高三上·廣西玉林·階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為【答案】B【分析】根據(jù)已知條件分情況討論判斷得，進(jìn)而可判斷其它選項(xiàng)．【詳解】解：若，，，則與矛盾，若，，，則與矛盾，，故B正確；，則，，故A錯(cuò)誤；，單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；，，故C錯(cuò)誤．故選：B．8-5．（2024高三上·福建三明·期中）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是數(shù)列中的最大值C． D．?dāng)?shù)列無(wú)最大值【答案】C【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)分析公比的范圍，由此分析選項(xiàng)可得答案．【詳解】解：等比數(shù)列的公比為，則，由，則有，必有，又由，即，又，則有或，又當(dāng)時(shí)，可得，由，則與矛盾所以，則有，由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，等比數(shù)列中，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以前?xiàng)積為中，是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，等比數(shù)列中，則，則，故C正確；對(duì)于D，由B的結(jié)論知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：C.8-6．（2024·山東泰安·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，都有成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，可得，兩式相減并化簡(jiǎn)后可得，后分奇偶情況可得；（2）方法1，由題，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得表達(dá)式；方法2，注意到，可得表達(dá)式.后注意到的單調(diào)性，利用可得答案.【詳解】（1），.，，.又，，，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別是以2，4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，，（2）方法一：，.，.方法二：，，，，∴時(shí)，為遞增數(shù)列，時(shí)，為遞減數(shù)列，若，都有成立，只需使，則且，則.（九）等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用(1)解應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．(2)一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．(3)注意問(wèn)題是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．(3)在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．(4)在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求．題型9：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用9-1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為數(shù)列，且滿足遞推公式：為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（答案精確到1）.【答案】9920【分析】根據(jù)已知，建立與的關(guān)系式，通過(guò)比較系數(shù)，得到和的值，進(jìn)而得到是等比數(shù)列，求得其前項(xiàng)的和，即可得出的結(jié)果.【詳解】由題知，，，，，，由得，則，解得，所以，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因，所以.故答案為：9-2．（2024·福建福州·三模）英國(guó)數(shù)學(xué)家亞歷山大·艾利斯提出用音分來(lái)精確度量音程，音分是度量不同樂(lè)音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對(duì)數(shù)標(biāo)度單位.一個(gè)八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列.已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若，則=（

）A．400 B．500 C．600 D．800【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可由指數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知，1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列，設(shè)第一個(gè)音為，所以，故，因?yàn)?，所?故選：C9-3．（2024·全國(guó)·三模）88鍵鋼琴?gòu)淖蟮接腋麈I的音的頻率組成一個(gè)遞增的等比數(shù)列．若中音A（左起第49個(gè)鍵）的頻率為，鋼琴上最低音的頻率為，則左起第61個(gè)鍵的音的頻率為．【答案】880【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知求出，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)即得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，則左起第61個(gè)鍵的音的頻率為．故答案為：8809-4．（2024·遼寧大連·一模）某高中圖書(shū)館為畢業(yè)生提供網(wǎng)上閱讀服務(wù)，其中電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學(xué)生的屆別+班級(jí)+學(xué)號(hào)+特別碼構(gòu)成.這個(gè)特別碼與如圖數(shù)表有關(guān)，數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)的和寫在這兩個(gè)數(shù)正中間下方得到.以此類推特別碼是學(xué)生屆別數(shù)對(duì)應(yīng)表中相應(yīng)行的自左向右第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，如：1997屆3班21號(hào)學(xué)生的登陸碼為1997321*.（*為表中第1997行第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字）.若已知某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則可以推斷該畢業(yè)生是屆2班13號(hào)學(xué)生.【答案】【分析】根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，得到第行的第個(gè)數(shù)為，根據(jù)通項(xiàng)公式得到的個(gè)位數(shù)呈現(xiàn)周期性變化，且周期為，然后根據(jù)代入分別檢驗(yàn)，即可求解.【詳解】根據(jù)圖表可得，第行的前兩個(gè)數(shù)之差為，設(shè)第行的第一個(gè)數(shù)為，則，即兩邊同時(shí)除以，可得，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)分別為，所以的個(gè)位數(shù)呈現(xiàn)周期性變化，且周期為，因?yàn)椋?，若時(shí)，則，因?yàn)椋缘膫€(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為；若時(shí)，則，因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為；若時(shí)，則，因?yàn)椋缘膫€(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為；若時(shí)，則，因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為，同理可得：的個(gè)位數(shù)為，的個(gè)位數(shù)為，的個(gè)位數(shù)為，的個(gè)位數(shù)為，的個(gè)位數(shù)為，的個(gè)位數(shù)為，所以某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則，故推斷該畢業(yè)生是屆2班13號(hào)學(xué)生.故答案為：.一、單選題1．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確，所以，B錯(cuò)誤；故選：D.2．（2024·全國(guó)）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.3．（2024·江西撫州·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則=（

）A．64 B．81 C．128 D．192【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)合求和公式，基本量運(yùn)算，寫出通項(xiàng)公式即得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，所以，由，得，所以，解得或（舍去），所以.故選：B.4．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，討論不成立，時(shí)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程求解即可得出答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾；所以，則，解得，所以．故選：A．5．（2024·上海閔行·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列【答案】D【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)和的正負(fù)得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，知AB正誤；利用和可知CD正誤.【詳解】對(duì)于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項(xiàng)為，A正確；對(duì)于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，最小；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；對(duì)于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對(duì)于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：D.6．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷①；利用等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)判斷②；利用下標(biāo)和定理判斷③；利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷④，從而得出結(jié)論．【詳解】對(duì)于①：，，，，．又，，且，，故①正確；對(duì)于②：，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：，故③正確；對(duì)于④：，，故④正確．故選：D．7．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則取最大值時(shí)的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得.有，由數(shù)列單調(diào)遞減，所以取得最大值時(shí)的值為9，故選：B.8．（2024高二上·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)，得到數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，然后求得其通項(xiàng)公式判斷.【詳解】解：因?yàn)闈M足，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，又因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，故選：A9．（2024高二上·陜西咸陽(yáng)·期末）已知是遞增的等比數(shù)列，且，則其公比滿足（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先確定,由得,根據(jù)的單調(diào)性確定的取值范圍.【詳解】是等比數(shù)列，故，當(dāng)時(shí)，各項(xiàng)正負(fù)項(xiàng)間隔,為擺動(dòng)數(shù)列,故,顯然，由得，又是遞增的等比數(shù)列，故為遞減數(shù)列,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知.故選:D10．（2024高三上·江西贛州·期中）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無(wú)最大值【答案】B【分析】由題分析出，可得出數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，結(jié)合題意分析出正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)都大于，而從第項(xiàng)起都小于，進(jìn)而可判斷出各選項(xiàng)的正誤.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，且有，可得，可得，此時(shí)，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯(cuò)誤；對(duì)任意的，，且有，可得，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯(cuò)誤故選：B.11．（2024高三上·貴州黔西·階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分析可得，，從而有，，則等比數(shù)列為正項(xiàng)的遞減數(shù)列．再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】等比數(shù)列的公比為，若，則，由，可得，則數(shù)列各項(xiàng)均為正值，若，當(dāng)時(shí)，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；因?yàn)?，所以，故正確；根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故正確；由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故錯(cuò)誤．故選：．12．（2024·上海青浦·一模）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結(jié)論：①；②；③是數(shù)列中的最大項(xiàng)；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的序號(hào)為（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】由題意可得，，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．【詳解】，，，，．，故①正確；，，故②不正確；，是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故③正確；，，使成立的最大自然數(shù)等于4038，故④不正確．正確結(jié)論的序號(hào)是①③．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13．（2024·全國(guó)）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算．14．（2024·天津）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：C.15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和的公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?所以，解得.，，解得.故選：D16．（2024高三下·陜西安康·階段練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則使得成立的n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程求解.【詳解】由得，所以，或（舍去），由，得，所以，由，得，所以，即n的最小值為9；故選：C.17．（2024·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】B【分析】已知條件作商可求得，然后根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，則．故選：B18．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知公比不為1的等比數(shù)列滿足，則（

）A．40 B．81 C．121 D．156【答案】C【分析】設(shè)出公比，列出方程，求出公比，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】設(shè)公比為，由可得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋獾?，所以，所?故選：C.19．（2024·河南·三模）數(shù)列{an}滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用等比數(shù)列的定義得到數(shù)列為等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)，利用通項(xiàng)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足a1＝，an+1＝2an，易知，所以為常數(shù)，又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，故選：C．20．（2024·安徽安慶·三模）在等比數(shù)列中，，則（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由可得，又，故，則，解得，即.故選：D21．（2024高三上·廣西桂林·期末）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公比，從而推得的值，由此利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列滿足，設(shè)其公比為，則，，所以，得，解得，因?yàn)?，所以，則，即，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.二、多選題22．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）《莊子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其大意為：一根一尺長(zhǎng)的木棰每天截取一半，永遠(yuǎn)都取不完，設(shè)第一天這根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由已知可得，逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)題意可得是首項(xiàng)為，公比為的等差數(shù)列，則，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，，則，故C正確；，故D正確．故選：BCD．23．（2024·湖北武漢·三模）已知實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列【答案】BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判定AB選項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判定CD選項(xiàng).【詳解】若數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為d,則,顯然當(dāng)才相等，故A錯(cuò)誤，而，作差可得成立，故B正確；若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)其公比為q，則，作商可得或所以或，故C錯(cuò)誤；由題意得各項(xiàng)均不為0，而實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，，即且，結(jié)合選項(xiàng)B的計(jì)算可得，故D正確.故選：BD.三、填空題24．（2024·山東泰安·二模）若m，n是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，且m，n，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則.【答案】【分析】由題可確認(rèn)m，n同為正數(shù)，則成等比數(shù)列，又不妨設(shè)，則成等差數(shù)列，即可得答案.【詳解】由題可得，則成等比數(shù)列，得.又不妨設(shè)，則成等差數(shù)列，得.結(jié)合，可得，解得或（舍去），即.故答案為：25．（2024·江西新余·二模）已知數(shù)列中，，，且、是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則.【答案】【分析】分析可知數(shù)列為等比數(shù)列，利用韋達(dá)定理可得出，分析出的正負(fù)，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)樵跀?shù)列中，，，則，所以，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，因?yàn)?、是函?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由韋達(dá)定理可得，因?yàn)椋傻?，所以，，由等比中?xiàng)的性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.26．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項(xiàng)的乘積為1，則．【答案】16【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，從而根據(jù)前9項(xiàng)的乘積列出方程，求出，求出首項(xiàng).【詳解】由題意得：，故，故，所以.故答案為：1627．（2024高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）等比數(shù)列中，，，則公比q的值為.【答案】或【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，結(jié)合得到是方程的兩根，從而求出，得到公比.【詳解】∵，，∴是方程的兩根，∴或，∵，∴或，∴或故答案為：或28．（2024高二下·北京·期中）在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于.【答案】27【分析】依題意不妨令，，根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】依題意，，所以，所以或（舍去），所以.故答案為：29．（2024高二下·湖北十堰·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得，再利用等比數(shù)列性質(zhì)和函數(shù)可得，利用倒序相加即可得.【詳解】由題意可知，，所以；由等比數(shù)列性質(zhì)可得；又因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即，所以；令，則；所以，即.故答案為：30．（2024高三·重慶·階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則【答案】【分析】根據(jù)題意，利用通項(xiàng)公式的變式，可推出，進(jìn)而可求出答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)橛傻缺葦?shù)列性質(zhì)可得，，所以，所以.故答案為：.31．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，則.【答案】600【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和性質(zhì)得到，求出，然后用等比數(shù)列片段和性質(zhì)得到即可求解【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，，成等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以，解得或，因?yàn)?，所以，則，由，，成等比數(shù)列，可得即，解得，故答案為：60032．（2024高三上·江蘇泰州·期末）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為.【答案】91【分析】方法一：利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解；方法二：利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式，代入計(jì)算即可求解.【詳解】方法一：等比數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴.方法二：設(shè)公比為，由題意顯然且,所以，∴，故答案為：.33．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，得，故，所以.故答案為：.34．（2024高二下·湖北十堰·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則，的等差中項(xiàng)為.【答案】/【分析】利用等比數(shù)列部分和的性質(zhì)求出，然后利用等差中項(xiàng)求解答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，，成等比數(shù)列.因?yàn)?，，所以，解得或（舍去?所以，的等差中項(xiàng)為.故答案為：.35．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為【答案】【分析】利用等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.若，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不合乎題意，所以，，由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可知，、、、成等比數(shù)列，且公比為，所以，，，因此，.故答案為：.36．（2024高三上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知數(shù)列和滿足，，，.則數(shù)列的通項(xiàng).【答案】【分析】將條件中兩式相加可得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】，，又，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列故答案為：37．（2024高三上·上海浦東新·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)冪函數(shù)，數(shù)列滿足：，且（），則數(shù)列的通項(xiàng)．【答案】【分析】將代入，得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可.【詳解】∵，∴，∵，∴數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且各項(xiàng)均不為，∴，∴數(shù)列各項(xiàng)均不為，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴.故答案為：.38．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）寫出一個(gè)滿足前5項(xiàng)的和為31，且遞減的等比數(shù)列的通項(xiàng)．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意可取，，即可得出.【詳解】不妨設(shè)，依題意數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，所以，又，所以取公比，所以，滿足題意，所以.故答案為：（答案不唯一）.39．（2024高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*），則an＝.【答案】【分析】利用項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】由題得，兩式相減得，即，n=1時(shí)，，所以數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起是等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.40．（2024高三上·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知數(shù)列{}的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間滿足關(guān)系則=【答案】【分析】先求解，再利用公式，得出，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求．【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，整理得，即是以為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)n=1時(shí)也符合，故答案為：41．（2024高一下·上海寶山·階段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且對(duì)恒成立，則的范圍為.【答案】【分析】利用數(shù)列的遞推不等式，通過(guò)構(gòu)造由遞推特征得到通項(xiàng)特征，再由求的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，所以因?yàn)椋?，即?duì)恒成立，對(duì)恒成立，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭钦龜?shù)數(shù)列，所以，所以的取值范圍為.故答案為：42．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意正整數(shù)n有，則q的范圍為.【答案】【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式代入可求公比q的范圍.【詳解】對(duì)于任意正整數(shù)n有，當(dāng)時(shí)，，符合要求，當(dāng)時(shí)，，且，，，，綜上可得，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查了分類討論的思想，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.43．（2003高一·北京·競(jìng)賽）若三角形三邊成等比數(shù)列，則公比q的范圍是.【答案】；【分析】設(shè)三邊：、、、則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，把、、、代入，分和兩種情況分別求得的范圍，最后綜合可得答案．【詳解】解：設(shè)三邊：、、、則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，即（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于解二次不等式：，由于方程兩根為：，故得解：且，即（2）當(dāng)時(shí)，為最大邊，即得，解之得或且即綜合（1）（2），得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了分類討論思想，屬基礎(chǔ)題．44．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是里（用數(shù)字作答）.【答案】6【分析】根據(jù)題意分析，看成首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，已知，繼而求出，即可得出答案.【詳解】將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，而，因此，解得，所以此人在第六天行走的路程（里）.故答案為：645．（2024·四川成都·三模）如圖，已知在扇形OAB中，半徑，，圓內(nèi)切于扇形OAB（圓和，，弧AB均相切），作圓與圓，，相切，再作圓與圓，，相切，以此類推.設(shè)圓，圓…的面積依次為，…，那么．【答案】【分析】如圖，設(shè)圓，圓，圓，…，圓的半徑分別為，，，…，.根據(jù)圓切線的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由圓的面積公式可知是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)圓與弧AB相切于點(diǎn)D，圓，圓與OA分別切于點(diǎn)C，E，則，.設(shè)圓，圓，圓，…，圓的半徑分別為，，，…，.因?yàn)?，所?在中，，則，即，解得.在中，，則，即，解得.同理可得，，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.又圓的面積為，所以面積，，，…，構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則.故答案為：.46．（2024·陜西西安·一模）“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”出自《莊子·天下》，其中蘊(yùn)含著數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，已知長(zhǎng)度為4的線段，取的中點(diǎn)C，以為直徑作圓（如圖①），該圓的面積為，在圖①中取的中點(diǎn)D，以為直徑作圓（如圖②），圖②中所有圓的面積之和為，以此類推，則．【答案】【分析】求得，確定各圓的面積成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求得答案.【詳解】由題意可知，，后一個(gè)圓的半徑為前一個(gè)圓半徑的一半，故各圓的面積成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，故答案為：47．（2024·貴州銅仁·二模）是無(wú)理數(shù)的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個(gè)黃金三角形，是頂角為的第二個(gè)黃金三角形，是頂角為的第三個(gè)黃金三角形，是頂角為的第四個(gè)黃金三角形，則第個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)為（寫出關(guān)于表達(dá)式即可）.【答案】【分析】逐步求出第一、二、三、四個(gè)黃金三角形的腰長(zhǎng)即可.【詳解】第一個(gè)黃金三角形：的底為，由可得腰長(zhǎng)；第二個(gè)黃金三角形：的底為，由可得腰長(zhǎng)；第三個(gè)黃金三角形：的底為，由可得腰長(zhǎng)；第四個(gè)黃金三角形：的底為，由，可得腰長(zhǎng)，故答案為：.四、解答題48．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三個(gè)小學(xué)生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時(shí)，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個(gè)人中的任何一個(gè)，設(shè)第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的方法數(shù)為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)；(2)求證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先確定第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，再結(jié)合條件列出關(guān)于數(shù)列的遞推公式，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，并且變形后，利用累加求和，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）首先由條件確定，再根據(jù)（1）的結(jié)果，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，再比較大小.【詳解】（1）由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，第次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，故，且故，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，由，得，，，，……………，以上各式相加，可得；（2）由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數(shù)相等均為，則，∵當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴.49．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)與公比都為的等比數(shù)列，其中，且，且是遞增數(shù)列，求的范圍.【答案】或【分析】先求出的通項(xiàng)公式，表示出數(shù)列，利用求出的范圍.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)與公比都為的等比數(shù)列，所以.因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，即.當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)，，若，則恒成立，因?yàn)?，所?綜上，或.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列單調(diào)性，數(shù)列單調(diào)性一般利用作差法處理，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).50．（2024·江蘇鹽城·三模）已知數(shù)列、滿足，，，，且，.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得與的關(guān)系，即可證明；（2）方法一：由的單調(diào)性可判斷，結(jié)合已知條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，由（1）中所求，即可求得參數(shù)范圍；方法二：對(duì)已知條件中的兩個(gè)遞推公式作差，求得，結(jié)合（1）中所求，即可求得；再根據(jù)其單調(diào)性，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題可知：，，故可得，又，∴，∴，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.（2）方法一：∵是遞增數(shù)列，∴對(duì)任意恒成立，∵，∴則對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，由（1）知，∴對(duì)任意恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為1，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.方法二：得即，又，故數(shù)列為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，又由（1）知，所以，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以對(duì)任意恒成立.所以，所以，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為1，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.51．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列的前和滿足，(1)求的值及與的關(guān)系；(2)求證：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式.【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）由可得，再結(jié)合，可得結(jié)論；（2）由（1）可得，結(jié)合等比數(shù)列定義證明建立，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又，所以，故?dāng)時(shí)，，得；（2）由（1）知，則有，由于，故，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.52．（2024·云南·三模）已知數(shù)列有遞推關(guān)系，，記，若數(shù)列的遞推式形如（且），也即分子中不再含有常數(shù)項(xiàng).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：為等比數(shù)列，并求其首項(xiàng)和公比.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，首項(xiàng)為，公比為【分析】（1）根據(jù)以及推出，結(jié)合已知，比較系數(shù)可求出結(jié)果；（2）由（1）得，，推出，根據(jù)等比數(shù)列定義可證結(jié)論正確.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，由已知得，所以，解得或，因?yàn)?，所?（2）由（1）知，，，，，，因?yàn)?，所以?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.53．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合數(shù)列中的分組求和法即可求解.【詳解】（1）由題意得．又因?yàn)椋裕允且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得．所以．所以.54．（2024·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由，兩式相加、相減，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可得，，即可求出和的通項(xiàng)公式，從而得到，再利用分組求和法及等邊數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，又由，得，，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．55．（2024高三·上海·專題練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)的通項(xiàng)，由與中公共項(xiàng)，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求的前項(xiàng)和.【答案】【分析】設(shè)，利用二項(xiàng)式定理求出兩數(shù)列中公共項(xiàng)，主要看中有哪些項(xiàng)是中的項(xiàng)，由此確定，從而可求得其前項(xiàng)和．【詳解】設(shè)，即.，即為奇數(shù)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是確定兩數(shù)列的公共項(xiàng)，一般情況下確定等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是等差數(shù)列中的項(xiàng)比較簡(jiǎn)便易求．56．（2024·天津南開(kāi)·二模）設(shè)為等比數(shù)列，為公差不為零的等差數(shù)列，且，，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，證明：；(3)記，求.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量法求得通項(xiàng)公式；（2）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得后，用作差法證明；（3）并項(xiàng)然后裂項(xiàng)求和．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意，，即，解得.所以.因?yàn)椋?，所以，從?（2）由（1）知，，所以.因?yàn)?，所?（3）因?yàn)?，所以?7．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）記