貴州省安順市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷2

第1頁(yè)/共1頁(yè)全市普通高中2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁(yè)?19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡相應(yīng)位置作答，在試卷上作答無(wú)效.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接求解拋物線準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：D.2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱性可得出結(jié)果.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.3.“直線與直線平行”的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩條直線平行求出，再利用充分不必要條件的定義判斷即可.【詳解】由直線與直線平行，得，解得，所以和分別是“直線與直線平行”的一個(gè)充分不必要條件.故選：C4.已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則到雙曲線的漸近線的距離為（）A.16 B.9 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求的坐標(biāo)和漸近線方程，即可得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，則，漸近線方程為，即，所以到雙曲線的漸近線的距離.故選：D.5.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的公式計(jì)算即可.【詳解】由等差數(shù)列公式得：，所以，所以.故選：A.6.已知圓與直線，若平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（）A.1 B.3 C.9 D.18【答案】C【解析】【分析】由平分圓的周長(zhǎng)，所以直線l過(guò)圓C的圓心，得，再利用不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠椒謭A的周長(zhǎng)，所以直線l過(guò)圓C的圓心，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知雙曲線的漸近線方程的斜率需小于直線的斜率，得，結(jié)合和離心率的定義即可求解.【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即，即，由，得，整理得，所以，因?yàn)殡p曲線中，所以雙曲線的離心率的范圍是.故選：B8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若，則使取得最大值時(shí)的值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】由推理判斷數(shù)列為首項(xiàng)時(shí)500，公比為的等比數(shù)列，再求的解析式，判斷其單調(diào)性即得》【詳解】由①，可得時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，②，由：，即，故數(shù)列為首項(xiàng)是500，公比為的等比數(shù)列，故.則，由，因，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，故使取得最大值時(shí)的值為9.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用和的關(guān)系式求通項(xiàng)和數(shù)列的單調(diào)性，屬于較難題.解題的關(guān)鍵在于利用和的關(guān)系式求得通項(xiàng)后，繼而化簡(jiǎn)得到，需通過(guò)作商判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可求得.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.分別是兩條不同直線的方向向量，分別是兩個(gè)不同平面的法向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量關(guān)系，結(jié)合空間位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不重合，，故D正確.故選：AD10.已知數(shù)列滿足：，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列為遞增數(shù)列C. D.【答案】BC【解析】【分析】舉反例判斷A，根據(jù)遞推式及數(shù)列的單調(diào)性判斷B，根據(jù)等差數(shù)列基本量的運(yùn)算判斷C，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，利用分組求和計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，顯然，故數(shù)列不為等差數(shù)列，錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，又，，所以?shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，正確；對(duì)于D，，錯(cuò)誤.故選：BC11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apollonius，約公元前262前190年）的著作《國(guó)錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，其中之一是他證明了“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓”，后人將此圓稱為“阿波羅尼斯圓”簡(jiǎn)稱“阿氏圓”.現(xiàn)有平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)間的距離為4，平面內(nèi)的點(diǎn)與的距離滿足：，則（）A.若，則點(diǎn)的軌跡為“點(diǎn)圓”，即線段的中點(diǎn)B.若，則點(diǎn)的軌跡是半徑為的阿氏圓C.當(dāng)時(shí)，面積的最大值為D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的阿氏圓的半徑的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，易得時(shí)點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線；對(duì)于B，只需建系設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)的軌跡方程易得；對(duì)于C，求出軌跡方程后，結(jié)合圖形，使邊上的高最大即可滿足；對(duì)于D根據(jù)推出的阿氏圓方程，求出圓的半徑的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得半徑的范圍.【詳解】對(duì)于A，時(shí)，由可知點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，不妨取的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，由可得：，化簡(jiǎn)得：，故點(diǎn)的軌跡是半徑為的阿氏圓，即B正確；對(duì)于C，根據(jù)B項(xiàng)建系設(shè)點(diǎn)，由可得：，如圖所示：由圖知，當(dāng)點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的邊上的高最大，為圓的半徑，此時(shí)面積的最大值為，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)B項(xiàng)建系設(shè)點(diǎn)，由化簡(jiǎn)得：，即，因，則該阿氏圓的半徑，因函數(shù)在上是減函數(shù)，故故得，即點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的阿氏圓的半徑的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法及應(yīng)用，屬于難題.求解動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程的方法主要有：（1）直接法：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，利用已知等式代入坐標(biāo)計(jì)算化簡(jiǎn)即得；（2）相關(guān)點(diǎn)法：利用與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)（軌跡方程一般已知）的聯(lián)系求解；（3）定義法：利用題設(shè)條件與常見(jiàn)的圓錐曲線定義符合時(shí)常用.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若成等比數(shù)列，則的值為_(kāi)_____.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，不滿足，故舍去；當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故答案為：313.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，若點(diǎn)在平面內(nèi)，則______.【答案】5【解析】【分析】由四點(diǎn)共面得到對(duì)應(yīng)向量共面，建立等量關(guān)系，求得的關(guān)系式即可.【詳解】點(diǎn)在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)共面，則，所以，所以，則，即，所以滿足即可故答案為：14.橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為的一個(gè)公共點(diǎn)，則______.【答案】2【解析】【分析】由條件結(jié)合橢圓與雙曲線定義可得，，然后由數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果余弦定理求解即可.【詳解】如下圖所示：依題意由橢圓定義可得，所以；即；依題意由雙曲線定義可得，所以；即；因此可得；又易知，即可得；因此.故答案為：2四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓的圓心為，且圓過(guò)點(diǎn)，直線.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，若相交，請(qǐng)求出直線被圓截得的弦長(zhǎng).【答案】（1）（2）相交，【解析】【分析】（1）利用圓心到點(diǎn)的距離為半徑，求出半徑，在用圓的標(biāo)準(zhǔn)形式即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算出圓心到直線的距離，然后根據(jù)直線與圓相交的條件判斷即可，再利用弦長(zhǎng)公式即可算出弦長(zhǎng)【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A的圓心為，且圓過(guò)點(diǎn)，所以圓的半.從而圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】圓心到直線的距離為，又圓的半徑，即，所以直線與圓相交.因此直線被圓截得的弦長(zhǎng)為16.已知數(shù)列滿足，（1）證明等比數(shù)列，（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）利用定義法證明是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的非零常數(shù)，從而得出結(jié)論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求．【詳解】（1）由得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列,，所以，（2）由（1）知的通項(xiàng)公式為；則所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明以及分組求和法，屬于基礎(chǔ)題．17.已知點(diǎn)及直線，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若為（1）中的曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn).【解析】【分析】（1）由拋物線定義即可得到軌跡方程.（2）先直線與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理得，又由得，即可求得坐標(biāo).或者用齊次化方法求解.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)知，，且.所以點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，又因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以由拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.故點(diǎn)的軌跡的方程為：.【小問(wèn)2詳解】證法一：由題設(shè)可知，直線的斜率不為0，且不過(guò)原點(diǎn)，故設(shè)，由得：.設(shè)，則.因?yàn)椋?解得或（舍）.且滿足，所以直線的方程為.故直線過(guò)定點(diǎn).證法二（齊次化方法）：由題設(shè)可知，直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)，由得：.顯然，從而有.設(shè)，則為方程（※）的兩根，所以.又，所以.解得，且滿足所以直線的方程為即.故直線過(guò)定點(diǎn).18.如圖，三棱錐中，，，，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）連接、，推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，可得出平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得出結(jié)果；（3）以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】連接、，因?yàn)?，，所以與為全等的等邊三角形，從而.又因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以①.因?yàn)?，，所以?所以，所以②.由①②及，、平面，所以，平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即為.小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，由（1）知平面，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則、、、，所以，，設(shè)平面與平面的法向量分別為m=x1,y則，取，則.，取，則.記平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.19.給定一個(gè)橢圓，則由橢圓的中心與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)以及橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形稱為橢圓的“特征三角形”.定義：如果兩個(gè)橢圓的特征三角形相似，就稱這兩個(gè)橢圓為相似橢圓，其中兩個(gè)特征三角形的相似比即為兩個(gè)橢圓的相似比.已知橢圓與橢圓為相似橢圓.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)橢圓與橢圓的相似比等于.（i）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：；（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)為橢圓上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若坐標(biāo)平面內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)均在橢圓上，請(qǐng)?zhí)骄康男甭逝c的斜率之積是否為定值，若為定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）是定值.【解析】【分析】（1）結(jié)合相似橢圓定義，利用離心率的定義求解即可.（2）（i）設(shè)橢圓的方程為：，直線方程分別與兩個(gè)橢圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，即可證明；（ii）利用向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算得，代入橢圓方程并化解得，結(jié)合化簡(jiǎn)得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由已知得，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為1，設(shè)橢圓的半焦距為，由相似橢圓定義知，.所以