2024-2025學(xué)年天津市濱海新區(qū)高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市濱海新區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一、選擇題1.直線的傾斜角為（）A B. C. D.2.下列命題不正確的是（）①空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為基底.②直線的方向向量是唯一確定的.③若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則aα.④在空間直角坐標(biāo)系中，在Oyz平面上點(diǎn)的坐標(biāo)一定是（0，b，c）.⑤若，則是鈍角.A.①③④ B.②③⑤ C.③④⑤ D.①②④3.已知則值分別為A. B.5，2 C. D.4.若與是兩條不同的直線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.若直線過第一、三、四象限，則實(shí)數(shù)滿足（）A. B. C. D.6.如圖，空間四面體的每條棱都等于1，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.7.已知空間向量，若共面，則實(shí)數(shù)的值為（）A.4 B.3 C.2 D.18.如圖在四面體中，，分別在棱，上且滿足，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，用向量，，表示向量應(yīng)為（）A. B.C. D.9.已知向量以為基底時(shí)坐標(biāo)為，則以為基底時(shí)的坐標(biāo)為（）A B. C. D.10.過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是A. B.或C. D.或11.已知點(diǎn).若直線與線段相交,則的取值范圍是（）A. B.C.或 D.12.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，M，N分別是線段，的中點(diǎn)，Q是線段上的一個(gè)動點(diǎn)（含端點(diǎn)D，C），則下列說法都正確的是（）①存在點(diǎn)Q，使得②存在點(diǎn)Q，使得異面直線與所成的角為60°③三棱錐體積的最大值是④當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③二、填空題13.已知空間向量，，且，則____.14.若為空間兩兩夾角都是的三個(gè)單位向量，則______．15.，與直線平行，則直線與的距離為___________.16.已知，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍是_______.17.已知直線的方程為，則點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為________；直線關(guān)于直線對稱的直線方程為________．18.已知直線，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)k的值為___________；若直線l不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是___________.19.直線的方程為，當(dāng)原點(diǎn)O到直線的距離最大時(shí)，的值為______．20.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動，當(dāng)取最小值時(shí)，________．三、解答題21.已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的高．（1）求所在直線的方程；（2）求高所在直線的方程．（3）求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程．22.在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)A到平面的距離．23.已知直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若直線到原點(diǎn)的距離為1，求直線的方程；（2）若直線與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)①若時(shí)，求此時(shí)直線的縱截距．②若取最小值時(shí)，求此時(shí)直線的方程．24.已知如圖，四邊形為矩形，為梯形，平面平面，，，．（1）若為中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)（除去端點(diǎn)），使得平面與平面夾角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．2024-2025學(xué)年天津市濱海新區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一、選擇題1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求解.【詳解】由已知得，故直線斜率由于傾斜的范圍是，則傾斜角為.故選：B.2.下列命題不正確的是（）①空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為基底.②直線的方向向量是唯一確定的.③若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則aα.④在空間直角坐標(biāo)系中，在Oyz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是（0，b，c）.⑤若，則是鈍角.A.①③④ B.②③⑤ C.③④⑤ D.①②④【正確答案】B【分析】利用基底向量的定義、空間向量的坐標(biāo)特征以及向量的夾角以及直線的方向向量的定義逐一判斷五個(gè)選項(xiàng)的正誤即可求解.【詳解】對于①：空間中任意一個(gè)向量都可以用三個(gè)不共面的向量作為基底來表示，選項(xiàng)正確；對于②：由直線的方向向量定義知，直線的方向向量有無數(shù)多個(gè)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于③：直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則,選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于④：Oyz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是0,選項(xiàng)正確；對于⑤：若，則是鈍角或者夾角為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B3.已知則的值分別為A. B.5，2 C. D.【正確答案】A【分析】【詳解】由題意得，，所以，即，解得，故選A．4.若與是兩條不同的直線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】利用兩直線平行的結(jié)論即可進(jìn)行判斷.【詳解】由題意，若，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或時(shí)，，則“”是“”的必要不充分條件，故選：C．5.若直線過第一、三、四象限，則實(shí)數(shù)滿足（）A. B. C. D.【正確答案】C分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形知．【詳解】直線過第一、三、四象限，如圖所示，則．即且．故選：C．6.如圖，空間四面體的每條棱都等于1，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】，.故選：B7.已知空間向量，若共面，則實(shí)數(shù)的值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【正確答案】B【分析】由空間共面向量可得，代入解方程即可得出答案.【詳解】若空間向量共面，則，所以，所以，解得.故選：B.8.如圖在四面體中，，分別在棱，上且滿足，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，用向量，，表示向量應(yīng)為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由題意有，，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及共線向量的運(yùn)算即可得解.【詳解】解：∵在四面體中，分別在棱、上，且滿足，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴.故選：A.本題考查了向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了利用空間基底表示向量，屬基礎(chǔ)題.9.已知向量以為基底時(shí)的坐標(biāo)為，則以為基底時(shí)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意得，而以為基底，則設(shè)，然后根據(jù)空間向量基本定理列出關(guān)于的方程組，可求得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄恳詾榛讜r(shí)的坐標(biāo)為，所以，設(shè)，由空間向量基本定理得，解得，所以以為基底時(shí)的坐標(biāo)為.故選：B10.過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是A. B.或C. D.或【正確答案】D【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=43x，即當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為x+y=a．則3+4=a，得a=7．∴直線方程為x+y﹣7=0．∴過點(diǎn)M（3，4）且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．故選：D11.已知點(diǎn).若直線與線段相交,則的取值范圍是（）A. B.C.或 D.【正確答案】D【分析】求出直線所過定點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)定點(diǎn)是,求出斜率,由圖形可得結(jié)論.【詳解】由已知直線恒過定點(diǎn),如圖所示,若與線段相交,則,因,所以.故選:D.12.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，M，N分別是線段，的中點(diǎn)，Q是線段上的一個(gè)動點(diǎn)（含端點(diǎn)D，C），則下列說法都正確的是（）①存在點(diǎn)Q，使得②存在點(diǎn)Q，使得異面直線與所成的角為60°③三棱錐體積的最大值是④當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算判斷第一個(gè)結(jié)論；利用異面直線的向量夾角公式計(jì)算判斷第二個(gè)結(jié)論；連接，結(jié)合錐體體積公式，利用等體積法判斷第三個(gè)結(jié)論；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示線面角的正弦值，然后利用二次函數(shù)及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷第四個(gè)結(jié)論.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，，；對于①，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，又，所以，解得，即點(diǎn)與重合時(shí)，，①正確；對于②，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，因?yàn)?，，所以，方程無解；所以不存在點(diǎn)滿足題意，②錯(cuò)誤；

對于③，連接，設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值；又點(diǎn)到平面的距離，所以，③正確；對于④，由上分析知：，，若m=x,y,z是面的法向量，則，令x=1，則，因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以，當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動時(shí)，的值由到變大，此時(shí)也逐漸增大，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以也逐漸增大，故④正確.故選：C二、填空題13.已知空間向量，，且，則____.【正確答案】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所?故答案為.14.若為空間兩兩夾角都是的三個(gè)單位向量，則______．【正確答案】【分析】先平方，結(jié)合向量的數(shù)量積公式求出，從而得到答案.【詳解】為空間兩兩夾角都是的三個(gè)單位向量，，.故15.，與直線平行，則直線與的距離為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列出方程即可求出m的值，求出直線的方程，再由兩平行線間的距離公式求出直線與的距離．【詳解】因?yàn)?/，所以，解得，，，由兩平行直線的距離公式可得：，故16.已知，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍是_______.【正確答案】【分析】設(shè)，利用斜率計(jì)算公式可得：，．再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出．【詳解】設(shè)，則，，點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，的取值范圍是,，故,17.已知直線的方程為，則點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為________；直線關(guān)于直線對稱的直線方程為________．【正確答案】①.②.【分析】設(shè)對稱點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對稱性建立方程計(jì)算可得第一空，取上一點(diǎn)得出對稱點(diǎn)結(jié)合對稱性及點(diǎn)斜式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則的中點(diǎn)，且，所以，解方程得，即；取上一點(diǎn)，易知關(guān)于對稱的點(diǎn)為，設(shè)直線關(guān)于直線對稱的直線斜率為，則，所以該直線過點(diǎn)，其方程為，整理得.故18.已知直線，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)k的值為___________；若直線l不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是___________.【正確答案】①.或；②..【分析】分別令和求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析過定點(diǎn)，然后根據(jù)條件結(jié)合圖示判斷出直線斜率滿足的不等式，由此求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，在中，令，得，令，得，依題意可得，即，解得或；直線的方程可化為，所以，所以，所以直線過定點(diǎn)，所以，由直線可得：，若不經(jīng)過第三象限，則，故或；.19.直線的方程為，當(dāng)原點(diǎn)O到直線的距離最大時(shí)，的值為______．【正確答案】【分析】整理直線方程，建立方程組，求其定點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線垂直的斜率公式，可得答案.【詳解】由，整理可得，令，解得，則直線過定點(diǎn)，易知當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，顯然此時(shí)斜率都存在，直線的斜率，直線的斜率，由，則，解得.故答案為.20.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動，當(dāng)取最小值時(shí)，________．【正確答案】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算求得其坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得最值，利用向量模長公式可得答案.詳解】由題意可知：，可設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，則.故答案為.三、解答題21.已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的高．（1）求所在直線的方程；（2）求高所在直線的方程．（3）求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由條件結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求直線方程，再化為一般式即可；（2）根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求直線方程，再化為一般式即可.（3）利用平行關(guān)系得出直線斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式化簡計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以，所以直線的斜率，所以所在直線的方程為：，即；【小問2詳解】因?yàn)槭沁吷系母?，結(jié)合上問結(jié)論可知：，所以，因此高所在直線的方程為：，即.【小問3詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)且與直線平行，則其斜率，所以其方程為，所以過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為.22.在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)A到平面的距離．【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，后求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，后借助向量夾角公式求出，進(jìn)而得出異面直線與所成角的余弦值.（2）利用空間向量研究線面夾角計(jì)算即可；（3）利用空間向量計(jì)算點(diǎn)到面的距離即可.【小問1詳解】如圖，正方體中,為的中點(diǎn)，連接交于O，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)，知道垂直于上下底面，且，則兩兩垂直.則可以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于棱長為2，則面對角線為.因此涉及的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)為，則.則，則異面直線與所成角的余弦值為；【小問2詳解】由上易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，即，設(shè)直線與平面所成角為，則；【小問3詳解】根據(jù)（2）知平面的一個(gè)法向量，而，所以點(diǎn)A到平面的距離.23.已知直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若直線到原點(diǎn)距離為1，求直線的方程；（2）若直線與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)①若時(shí)，求此時(shí)直線的縱截距．②若取最小值時(shí)，求此時(shí)直線的方程．【正確答案】（1）或（2）或；【分析】（1）分斜率存在與不存在兩種情況討論，利用條件建立方程即可求出結(jié)果；（2）①根據(jù)截距式結(jié)合三角形面積建立方程計(jì)算即可；②設(shè)出直線點(diǎn)斜式方程，利用基本不等式及三角形面積公式計(jì)算即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，因?yàn)橹本€到原點(diǎn)的距離為1，所以，解得，此時(shí)直線為所以直線的方程為或.