教學(xué)課件-電路分析基礎(chǔ)(陳海洋)

第1章電路模型和電路定律1.1電路和電路模型1.2電路變量1.3電阻元件1.4電壓源和電流源1.5受控源1.6基爾霍夫定律1.7電路等效1.8兩種電源模型的等效變換1.9電阻的Y△連接等效變換1.10輸入電阻習(xí)題1

本章從建立電路模型、認(rèn)識電路變量等最基本的問題出發(fā)，重點討論了歐姆定律、基爾霍夫定律、電路等效、輸入電阻等重要概念

1.1電路和電路模型

1.1.1電路及其組成電路是電流通過的路徑。實際電路通常由一些電路器件(如電源、電阻器、電感、電容器、變壓器、儀表、二極管、三極管等)組成。每一種電路實體部件都具有各自不同的電磁特性和功能。復(fù)雜的電路稱為網(wǎng)絡(luò)。

電路的形式是多種多樣的，但從電路的本質(zhì)來說，其組成都有電源、負載、中間環(huán)節(jié)三個最基本的部分。例如圖1.

1.1所示的手電筒電路。圖1.1.1手電筒電路

凡是將化學(xué)能、機械能等非電能轉(zhuǎn)換成電能的供電設(shè)備，

均稱為電源，如干電池、蓄電池和發(fā)電機等;凡是將電能轉(zhuǎn)換成熱能、光能、機械能等非電能的用電設(shè)備，均稱為負載，如電熱爐、白熾燈和電動機等;連接電源和負載的部分，稱為中間環(huán)節(jié)，如導(dǎo)線、開關(guān)等。

電路的種類繁多，但從電路的功能來說，其作用分為兩個方面:其一，實現(xiàn)電能的傳輸和轉(zhuǎn)換，如電力系統(tǒng)中的發(fā)電、輸電電路。發(fā)電廠的發(fā)電機組將其它形式的能量(熱能、水的勢能、原子能或太陽能等)轉(zhuǎn)換成電能，通過變壓器、輸電線輸送給各用戶負載，在那里又把電能轉(zhuǎn)換成機械能、光能、熱能，為人們生產(chǎn)、生活所利用。其二，進行信息的傳遞與處理，如電話、收音機、電視機、手機中的電路。

如圖1.1.2所示，接收天線將載有語言、音樂、圖像信息的電磁波接收后，通過接收機電路把輸入信號(又稱激勵)處理為人們所需要的輸出信號(又稱響應(yīng))，送到揚聲器或顯像管，再還原為語言、音樂或圖像。圖1.1.2接收機電路

1.1.2電路模型

實際電路的電磁過程是相當(dāng)復(fù)雜的，難以進行有效的分析和計算。在電路理論中，為了便于實際電路的分析和計算，通常在工程實際允許的條件下對實際電路進行模型化處理，即忽略次要因素，抓住足以反映其功能的主要電磁特性，抽象出實際電路器件的“電路模型”

例如電阻器、燈泡、電爐等，這些電氣設(shè)備接受電能并將電能轉(zhuǎn)換成光能或熱能，光能和熱能顯然不可能再回到電路中，因此把這種能量轉(zhuǎn)換過程不可逆的電磁特性稱為耗能。

這些電氣設(shè)備除了具有耗能的電特性，當(dāng)然還有其它一些電磁特性，但在研究和分析問題時，即使忽略其它這些電磁特性，也不會影響整個電路的分析和計算。因此，可以用一個

只具有耗能電特性的“電阻元件”作為它們的電路模型。

將實際電路器件理想化而得到的只具有某種單一電磁性質(zhì)的元件，稱為理想電路元件，簡稱為電路元件。每一種電路元件都可以用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)關(guān)系加以定義。常用的電路元件有:表示將電能轉(zhuǎn)換為熱能的電阻元件、表示電場性質(zhì)的電容元件、表示磁場性質(zhì)的電感元件及電壓源元件和電流源元件等。

由理想電路元件相互連接組成的電路稱為電路模型。如圖1.1.1所示，電池在對外提供電壓的同時，內(nèi)部也有電阻消耗能量;燈泡除了具有消耗電能的性質(zhì)(電阻性)外，通電時還會產(chǎn)生磁場，具有電感性。但電感微弱，可忽略不計，于是可認(rèn)為燈泡是一電阻元件，用RL表示。圖1.1.3是圖1.1.1的電路模型。圖1.1.3手電筒電路的電路模型

1.2電路變量

在電路問題分析中，人們所關(guān)心的物理量是電流、電壓和功率。在具體展開分析、討論電路問題之前，首先建立并深刻理解與這些物理量有關(guān)的基本概念是很重要的。

1.2.1電流及其參考方向

1.電流

電荷的定向移動形成了電流。電流的大小用電流強度來衡量，電流強度亦簡稱為電流。

定義:單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電荷量，用公式表示為

式中，

i表示隨時間變化的電流，dq表示在dt時間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電量。

在國際單位制中，電流的單位為安培，簡稱安(A)。實際應(yīng)用中，大電流用千安(kA)表示，小電流用毫安(mA)或微安(μA)表示。它們的換算關(guān)系是:

在外電場的作用下，正電荷將沿著電場方向運動，而負電荷將逆著電場方向運動(金屬導(dǎo)體內(nèi)的自由電子在電場力的作用下定向移動形成電流)。習(xí)慣上規(guī)定:正電荷的運動方向為電流的正方向。

2.電流的參考方向

在一些很簡單的電路中，如圖1.1.3所示，電流從電源正極流出，經(jīng)過負載回到電源負極。在分析復(fù)雜電路時，一般難于判斷出電流的實際方向;對于交流電流，電流的方向隨時間改變，所以它的實際方向也就很難確定。

所謂電流的參考方向，就是在分析計算電路時，先任意選定某一電流方向。電流的參考方向通常用帶箭頭的線段表示，箭頭所指方向表示電流的流動方向，并根據(jù)此方向進行

分析計算。計算結(jié)果為正，說明電流的參考方向與實際方向相同;計算結(jié)果為負，說明電流的參考方向與實際方向相反。圖1.2.1表示了電流的實際方向(圖中實線所示)與參考方

向(圖中虛線所示)之間的關(guān)系。圖1.2.1電流參考方向與實際方向

1.2.2電壓及其參考方向

1.電壓

電路中，電場力把單位正電荷(q)從a點移到b點所做的功(W)就稱為a、b兩點間的電壓，也稱電位差，記

在國際單位制中，電壓的單位為伏特，簡稱伏(V)。實際應(yīng)用中，大電壓用千伏(kV)表示，小電壓用毫伏(mV)或微伏(μV)表示。它們的換算關(guān)系是:

電壓的方向規(guī)定為從高電位指向低電位。

2.電壓的參考方向

在比較復(fù)雜的電路中，往往不能事先知道電路中任意兩點間的電壓，為了分析和計算方便，與電流的方向規(guī)定類似:在分析計算電路之前必須對電壓標(biāo)以極性(正、負號)，或標(biāo)

以方向(箭頭)，這種標(biāo)法是假定的參考方向，如圖1.2.2所示。采用雙下標(biāo)標(biāo)記時，電壓的參考方向意味著從a指向b

，兩端電壓記作uab

;若電壓參考方向選b點指向a點，則應(yīng)寫成uba

，兩者僅差一個負號，即uab

=-uab

。圖1.2.2電壓參考方向的表示方法

分析求解電路時，先按選定的電壓參考方向進行分析、計算，再由計算結(jié)果中電壓值的正負來判斷電壓的實際方向與電壓參考方向是否一致，即電壓值為正，則實際方向與參

考方向相同;電壓值為負，則實際方向與參考方向相反。

3.電流和電壓的關(guān)聯(lián)參考方向

一個元件的電流或電壓的參考方向可以獨立地任意指定。如果指定流過元件的電流參考方向是從電壓正極性的一端指向負極性的一端，即兩者的參考方向一致，則把電流和電壓的這種參考方向稱為關(guān)聯(lián)參考方向，如圖1.2.3(a)所示。當(dāng)兩者不一致時，稱為非關(guān)聯(lián)參考方向，如圖1.2.3(b)所示。人們常常習(xí)慣采用關(guān)聯(lián)參考方向。圖1.2.3關(guān)聯(lián)參考方向

1.2.3功率和能量

功率與電壓和電流密切相關(guān)。當(dāng)正電荷從元件上電壓的“+”極經(jīng)元件運動到電壓的“-”極時，電場力要對電荷作功，這時，元件吸收能量;反之，正電荷從電壓“-”極到電壓的“+”極時，電場力作負功，元件對外釋放電能。

從t0

到

t的時間內(nèi)，元件吸收的能量可根據(jù)電壓的定義求得

由于i=dq/dt，所以

能量的單位為焦耳(J)，簡稱焦，功率的單位為瓦特(W)，簡稱瓦。

式(1.2.3)中i和u都是時間的函數(shù)，并且是代數(shù)量，因此，電能W也是時間的函數(shù)，且是代數(shù)量。電功率是能量對時間的導(dǎo)數(shù)，在電工中，電功率常常簡稱為功率。

在圖1.2.3(a)所示電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)的情況下，功率可寫成

式(1.2.4)是按吸收功率計算的，即當(dāng)p>0時，表示該段電路吸收功率;p<0時，表示該段電路發(fā)出功率。

在圖1.2.3(b)所示電壓和電流的非關(guān)聯(lián)參考方向下，功率可寫成

應(yīng)根據(jù)電壓、電流參考方向是否關(guān)聯(lián)，來選取相應(yīng)的計算吸收功率的公式。圖1.2.4例1.2.1圖

由p=ui可知，一臺發(fā)電機要發(fā)出大功率，不但要有大電流，還要有高電壓。但是實際上，任何電器設(shè)備的電壓、電流都受到條件的限制，電流受溫升的限制，電壓受絕緣材料耐壓的限制。電流過大或電壓過高，都會使電器設(shè)備受到損壞。為使設(shè)備正常工作，電壓、電流必須有一定的限額，這個限額稱為電器設(shè)備的額定值。

任何設(shè)備在額定值下工作的理想狀況，稱為滿載，超過額定值的工作為過載。少量的過載尚可，因為任何電器設(shè)備都有一定的安全系數(shù)，但嚴(yán)重過載是不允許的，因此使用前

必須進行嚴(yán)格的選擇。

每一臺電器設(shè)備的各種額定值之間有一定的關(guān)系，因此，每種電器設(shè)備只給出部分額定值，不必全部給出。如日光燈的額定電壓為220V，額定功率為40W等。

1.3電阻元件

線性二端電阻元件(簡稱電阻元件)是這樣的元件:在電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向時，任何時刻其兩端的電壓和電流關(guān)系可寫為

式中，

R為電阻元件的參數(shù)，稱為元件的電阻。電阻元件的圖形符號如圖1.3.1(a)所示。當(dāng)電壓單位用V，電流單位用A時，電阻的單位為Ω(歐姆，簡稱歐)。圖1.3.1電阻元件及其伏安特性曲線

令G=1/R，式(1.3.1)變成

式中，

G稱為電阻元件的電導(dǎo)。電導(dǎo)的單位是S(西門子，簡稱西)。R和G都是電阻元件的參數(shù)。如果電阻元件電壓的參考方向與電流的參考方向相反，則歐姆定律應(yīng)寫為

由于電壓和電流的單位是伏特和安培，因此電阻元件的特性稱為伏安特性。圖1.3.1(b)畫出線性電阻元件的伏安特性曲線，它是通過原點的一條直線。直線的斜率與元件的

電阻R有關(guān)。

當(dāng)電壓u和電流i取關(guān)聯(lián)參考方向時，電阻元件消耗的功率為

式中，

R和G是正實常數(shù)，故功率P恒為非負值。所以電阻元件是一種無源元件。實際電阻器消耗的功率都有規(guī)定的限度，超過規(guī)定值就會使電阻器因過熱而損壞。所以實際使用電阻器時，既要使電阻值大小符合要求，又要注意消耗的功率不要超過其允許值。

電阻元件在t0

~t的時間內(nèi)吸收的電能為

電阻元件將吸收的電能轉(zhuǎn)換成熱能。今后，為了敘述方便，把電阻元件簡稱為“電阻”。

非線性電阻元件的電壓電流關(guān)系不滿足歐姆定律，而遵循某種特定的非線性函數(shù)關(guān)系。其伏安特性一般可寫為

如果一個電阻元件具有以下的電壓電流關(guān)系:

這里u和i仍是比例關(guān)系，但比例系數(shù)R是隨時間變化的，稱為時變電阻元件。

1.4電壓源和電流源

電壓源和電流源是二端有源元件，是在一定條件下從實際電源抽象出來的一種理想模型。1.4.1電壓源理想電壓源(簡稱電壓源)提供的電壓總能保持某一恒定值或一定的時間函數(shù)，而與通過它們的電流無關(guān)。理想電壓源的符號如圖1.4.1(a)所示。圖中的“+”“-”號是參考極性，us

為電壓源的端電壓。圖1.4.1理想電壓源

理想電壓源的輸出電壓與輸出電流之間的關(guān)系稱為伏安特性，如圖1.4.1(b)所示。電壓源的特點:

①輸出電壓us是由它本身所確定的定值，與輸出電流和外電路的情況無關(guān);

②輸出電流i不是定值，與輸出電壓和外電路的情況有關(guān)。

1.4.2電流源

理想電流源(簡稱電流源)提供的電流總能保持恒定值或一定的時間函數(shù)，而與它兩端所加的電壓無關(guān)，也稱為恒流源。圖1.4.2(a)為理想電流源的符號。圖中的箭頭是理想電流源的參考方向，

is

為電流源的端電流。圖1.4.2理想電流源

圖1.4.2(b)為理想電流源的伏安特性曲線。電流源的特點:

①輸出電流is是由它本身所確定的定值，與輸出電壓和外電路的情況無關(guān);

②輸出電壓u

不是定值，與輸出電流和外電路的情況有關(guān)。

1.5受控源

受控源是用來表征在電子器件中所發(fā)生的物理現(xiàn)象的一種模型，它反映了電路中某處的電壓或電流控制另一處的電壓或電流的關(guān)系。電壓或電流的大小和方向受電路中其它地方的電壓(或電流)控制的電源，稱受控源。

受控源有兩個控制端鈕(又稱輸入端)、兩個受控端鈕(又稱輸出端)。根據(jù)控制量和被控制量是電壓u或電流i，受控源可分四種類型:電壓控制電壓源(VCVS)、電壓控制電流源(VCCS)、電流控制電壓源(CCVS)、電流控制電流源(CCCS)。它們在電路中的圖形符號分別如圖1.5.1所示。μ、g、r、β都為相關(guān)的控制系數(shù)，其中μ、β無量綱，

g和r分別為具有電導(dǎo)和電阻的量綱。當(dāng)這些系數(shù)為常數(shù)時，被控制量與控制量成正比，這種受控源稱為線性受控源。本書中所涉及的受控源均為線性受控源。

受控源與獨立源的比較:

①獨立源電壓(或電流)由電源本身決定，與電路中其它電壓、電流無關(guān)，而受控源的電壓(或電流)由控制量決定;

②獨立源在電路中起“激勵”作用，在電路中產(chǎn)生電壓、電流，而受控源只是反映輸出端與輸入端的受控關(guān)系，在電路中不能作為“激勵”。

【例1.5.1】圖1.5.2電路中I=5A，求各個元件的功率并判斷電路中的功率是否平衡。圖1.5.2例1.5.1圖

解

1.6基爾霍夫定律

任一電路都是由不同的電路元件按一定的方式連接起來的。電路中的電壓、電流必然受到一定的約束。一類是元件的特性對元件的約束———元件約束，它由元件的伏安特性來決定;另一類是元件之間的連接給電壓、電流帶來的約束，表示這類約束關(guān)系的是基爾霍夫定律?；鶢柣舴蚨墒羌傠娐返幕径?，它包括電流定律和電壓定律。

為了敘述問題方便，在具體講述基爾霍夫定律之前先介紹幾個有關(guān)的常用電路術(shù)語。

(1)支路:任意兩個結(jié)點之間無分叉的分支電路稱為支路。如圖1.6.1中的bafe支路、be支路、bcde支路。

(2)結(jié)點:電路中的三條或三條以上支路的匯交點稱為結(jié)點，如圖1.6.1中的b點、e點。

(3)回路:電路中由若干條支路構(gòu)成的任一閉合路徑稱為回路，如圖1.6.1中abefa回路、bcdeb回路、abcdefa回路。

(4)網(wǎng)孔:不包圍任何支路的單孔回路稱網(wǎng)孔。如圖1.6.1中abefa回路和bcdeb回路都是網(wǎng)孔，而abcdefa回路不是網(wǎng)孔。網(wǎng)孔一定是回路，而回路不一定是網(wǎng)孔。圖1.6.1電路舉例

1.6.1基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律(KCL):“在集總參數(shù)電路中，任何時刻，對任一結(jié)點，所有支路電流的代數(shù)和恒等于零”。

以圖1.6.1所示的電路為例，對結(jié)點b應(yīng)用KCL，有

即

式中，若流入結(jié)點的電流前面取“+”號，則流出結(jié)點的電流前面取“-”號。電流是流出結(jié)點還是流入結(jié)點，均根據(jù)電流的參考方向判斷。

式(1.6.1)可寫為

此式表明，流出結(jié)點b的支路電流等于流入該結(jié)點的支路電流。因此，

KCL也可理解為，任何時刻，流出任一結(jié)點的支路電流之和等于流入該結(jié)點的支路電流之和。

KCL不僅可以用于結(jié)點，對于包含幾個結(jié)點的閉合面也是適用的。例如，圖1.6.2所示的電路中對封閉面S有圖1.6.2KCL的推廣

【例1.6.1】如圖1.6.3所示，已知i2=2A，

i4=-1A，

i5=6A，求i3

。圖1.6.3例1.6.1圖

解因為

所以

1.6.2基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律(KVL):“在集總參數(shù)電路中，任何時刻，沿任一回路，所有支路電壓的代數(shù)和恒等于零?！奔?/p>

式(1.6.2)取和時，首先需要任意指定一個回路的繞行方向，凡支路電壓的參考方向與回路的繞行方向一致者，該電壓前面取“+”號;支路電壓參考方向與回路繞行方向相反者，前面取“-”號。

圖1.6.1所示的閉合回路中，沿abefa順序繞行一周，則有

KVL不僅適用于電路中的具體回路，對于電路中任一假想的回路也是成立的，例如在圖1.6.4電路中，

ad之間并無支路存在，但仍可把abda或acda分別看成一個回路。由KVL分別得圖1.6.4電壓回路

圖1.6.4中，回路KVL方程有

故有

可見，兩點間的電壓與選擇的路徑無關(guān)。

【例1.6.2】在圖1.6.5所示的回路中，已知圖1.6.5例1.6.2圖

【例1.6.3】圖1.6.6所示的電路，利用Multisim分別驗證基爾霍夫電壓定律、基爾霍夫電流定律。圖1.6.6基爾霍夫定律應(yīng)用圖

解

(1)從元件庫中選取電壓源、電流源以及電阻，再從元件庫中選取電流表并選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，創(chuàng)建圖1.6.7所示的電路。

(2)啟動仿真開關(guān)，電流表的讀數(shù)分別為1.926mA、-5.987mA、7.914mA。

(3)從元件庫中選取電壓源、電流源以及電阻，再從元件庫中選取電壓表并選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，創(chuàng)建圖1.6.8所示的電路。

(4)啟動仿真開關(guān)，電壓表的讀數(shù)分別為982.036mV、-5.988V、4.036V、982.036mV、1.976V。圖1.6.7基爾霍夫電流定律測量圖圖1.6.8基爾霍夫電壓定律測量圖

可以看出，圖1.6.6中上、下兩個節(jié)點的電流代數(shù)和為零，任一回路中的電壓代數(shù)和為零，這驗證了基爾霍夫定律。

1.7電路等效

“等效”在電路理論中是重要的概念，電路等效變換方法是電路問題分析中經(jīng)常使用的方法。本節(jié)首先闡述電路等效的一般概念，然后具體討論常用二端電路等效變換方法。

1.7.1電路等效的一般概念

結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)不相同的兩部分電路B、C如圖1.7.1所示，若B、C端子具有相同的電壓、電流關(guān)系，即相同的VCR，則稱B與C是互為等效的。圖1.7.1具有相同VCR的兩部分電路

等效的兩部分電路B與C在電路中可以相互代換，代換前的電路和代換后的電路對任意電路A中的電流、電壓和功率而言是等效的，見圖1.7.2。圖1.7.2電路等效示意圖

需要明確的是，上述等效用于求解A部分電路中的電流、電壓和功率，若要求解圖1.7.2(a)中B部分電路的電流、電壓和功率不能用圖1.7.2(b)等效電路。因為B電路和C電路對A電路來說是等效的，但B電路和C電路本身是不相同的。

1.7.2電阻的串聯(lián)和并聯(lián)等效

1.電阻串聯(lián)

圖1.7.3(a)所示為n個電阻的串聯(lián)，由KVL得

將歐姆定律代入電壓表示式中，即圖1.7.3等效電阻轉(zhuǎn)換

上式說明圖1.7.3(a)電路與圖1.7.3(b)電路具有相同的VCR，是互為等效的電路。其中等效電阻為

若已知串聯(lián)電阻兩端的總電壓，求各分電阻上的電壓稱分壓，則

滿足:

電阻串聯(lián)時，各分電阻上的電壓與電阻值成正比，電阻值大者分得的電壓大。因此串聯(lián)電阻電路可作分壓電路。

電阻串聯(lián)時，各電阻消耗的功率與電阻大小成正比，即電阻值大者消耗的功率大;等效電阻消耗的功率等于各串聯(lián)電阻消耗功率的總和。

2.電阻并聯(lián)

圖1.7.4(a)為n個電阻的并聯(lián)，根據(jù)KCL得圖1.7.4并聯(lián)等效電阻

把歐姆定律代入電流表示式中，即

式中，

G=1/R為電導(dǎo)

上式說明圖1.7.4(a)電路與圖1.7.4(b)電路具有相同的VCR，是互為等效的電路。其中等效電導(dǎo)為

因此有

最常用的兩個電阻并聯(lián)時求等效電阻的公式:

若已知并聯(lián)電阻電路的總電流，求各分電阻上的電流稱分流，則由圖1.7.5知:

即

滿足:圖1.7.5兩電阻并聯(lián)

對于兩電阻并聯(lián)，有

各電阻的功率為

所以

總功率為

電阻并聯(lián)時，各電阻消耗的功率與電阻大小成反比，即電阻值大者消耗的功率小;等效電阻消耗的功率等于各并聯(lián)電阻消耗功率的總和。

3.電阻的混聯(lián)等效

既有電阻串聯(lián)、又有電阻并聯(lián)的電路稱為電阻的混聯(lián)電路。

【例1.7.1】求圖1.7.6所示電路的i1

、i4

、u4

。圖1.7.6例1.7.1圖

解用分流方法:

用分壓方法:

判別電路的串、并聯(lián)關(guān)系一般應(yīng)掌握下述4點:

(1)看電路的結(jié)構(gòu)特點。若兩電阻首尾相連，則是串聯(lián);若兩電阻首首、尾尾相連，則是并聯(lián)。

(2)看電壓和電流的關(guān)系。若流經(jīng)兩電阻的電流是同一個電流，則為串聯(lián);若兩電阻上承受的是同一個電壓，則為并聯(lián)。

(3)對電路作變形等效。如左邊的支路可以扭到右邊，上面的支路可以翻到下面，彎曲的支路可以拉直等;對電路中的短線路可以任意壓縮與伸長;對多點接地可以用短路線相連。

(4)找出等電位點。對于具有對稱特點的電路，若能判斷某兩點是等電位點，則根據(jù)電路等效的概念，一是可以用短接線把等電位點連起來，二是把連接等電位點的支路斷開(因支路中無電流)，從而得到電阻的串、并聯(lián)關(guān)系。

1.7.3理想電源的串聯(lián)與并聯(lián)等效

電壓源、電流源的串聯(lián)和并聯(lián)問題的分析是以電壓源和電流源的定義及外特性為基礎(chǔ)，結(jié)合電路等效的概念進行的。

只有電壓相等且極性一致的電壓源才能并聯(lián)。圖1.7.7電壓源的串聯(lián)等效電路

2.理想電流源的并聯(lián)等效

圖1.7.8為兩個電流源的并聯(lián)，根據(jù)KCL得

式中，

is1

、is2

與is

的參考方向一致時取“+”號，不一致時取“-”號。

只有電流值相等、方向一致的電流源才允許串聯(lián)。圖1.7.8電流源的并聯(lián)等效電路

3.電壓源與任意電路元件并聯(lián)等效電路

圖1.7.9(a)為電壓源和任意元件的并聯(lián)，這時均可等效為理想電壓源us

，如圖1.7.9(b)所示。注意:“等效”是對外電路等效。圖1.7.9電壓源和任意元件的并聯(lián)等效電路

4.電流源和任意元件的串聯(lián)等效電路

圖1.7.10(a)為電流源和任意元件的并聯(lián)，這時均可等效為理想電流源is

，如圖1.7.10(b)所示。圖1.7.10電流源和任意元件的串聯(lián)等效電路

1.8兩種電源模型的等效變換

實際電源可由圖1.8.1(a)所示的電壓源us

和內(nèi)阻Rs

串聯(lián)組成。端子處的電壓為此組合的端電壓，端電流將隨外電路的改變而改變。其端口伏安特性可表示為圖1.8.1(b)畫出了端電壓u和i的關(guān)系曲線，它是一條直線。圖1.8.1電壓源、電阻的串聯(lián)組合

實際電源也可由圖1.8.2(a)所示的電流源和電阻并聯(lián)組合，其端口的伏安特性可表示為

可以轉(zhuǎn)化為

圖1.8.2(b)畫出了端電壓u和i的關(guān)系曲線，它也是一條直線。圖1.8.2電壓源、電阻的并聯(lián)組合

比較式(1.8.1)和式(1.8.2)，可見兩電路的等效條件為

電源等效變換時應(yīng)注意:

(1)電壓源電壓的方向和電流源電流的方向相反;

(2)電壓源、電流源的等效變換只對外電路等效，對內(nèi)不等效;

(3)理想電壓源和理想電流源之間不能進行等效變換。

【例1.8.1】將圖1.8.3(a)中電壓源等效變換為電流源，圖1.8.3(b)中電流源等效為電壓源。圖1.8.3例1.8.1圖

解等效電流源見圖1.8.4(a)，等效電壓源見圖1.8.4(b)。圖1.8.4例1.8.1圖解

【例1.8.2】求圖1.8.5所示電路中的電流I。

解圖1.8.5例1.8.2圖

受控電壓源、電阻的串聯(lián)組合與受控電流源、電導(dǎo)的并聯(lián)組合可以用同樣的方法進行變換。此時應(yīng)把受控源當(dāng)獨立源來處理，注意在變換過程中控制量必須保持不被改變。

1.9電阻的Y△連接等效變換

在電路中，有時電阻的連接既不是串聯(lián)也不是并聯(lián)，如圖1.9.1所示電阻R2

、R3

、R5

為星形(Y形)連接，電阻R1

、R2、R3

為三角形(△形)連接。星形連接和三角形連接都有三個端子與外部相連。它們之間等效變換的條件是外特性相同，也即當(dāng)它們對應(yīng)端子的電壓相同時，流入對應(yīng)端子的電流也必須相等。

圖1.9.2分別給出端子1、2、3的星形連接和三角形連接的3個電阻。三個端子分別與電路的其它部分相連，但圖中沒有畫出電路的其它部分。如果在它們的對應(yīng)端子之間具有相同的電壓u12

、u23

、u31

，而流入對應(yīng)端子的電流分別相等，即i1=i‘1

，

i2=i’2

，

i3=i'3

，則它們彼此等效。下面推導(dǎo)電阻的Y△等效變換條件:

對于三角形連接電路，如圖1.9.2(b)所示，各電阻中電流為

圖1.9.1電阻的星形聯(lián)接和三角形連接圖1.9.2電阻的星形連接和三角形連接的等效變換

根據(jù)KCL，圖1.9.2(b)中各端子的電流分別為

對于星形連接電路，根據(jù)KCL和KVL，求出端子電壓與電流之間的關(guān)系，方程為

解出電流為

無論u12

、u23

、u31

為何值，兩個等效電路對應(yīng)的端子電流均相等，故式(1.9.1)和式(1.9.2)中電壓u12、u23

和u31前面的系數(shù)應(yīng)該對應(yīng)相等。于是得到

式(1.9.3)就是根據(jù)星形連接的電阻確定三角形連接的電阻公式。

將式(1.9.3)中三式相加，并在右方通分可得

為了便于記憶，以上互換公式可歸納為

若星形連接中3個電阻相等，即R1=R2=R3=RY，則等效三角形連接中的3個電阻也相等，即

或

式(1.9.4)也可以用電導(dǎo)表示

【例1.9.1】對圖1.9.3的橋型電路，求總電阻R12

。圖1.9.3例1.9.1圖

解把接到節(jié)點1、3、4上的三角形連接的電阻等效為星形連接的電阻，其中

然后用串并聯(lián)的方法，如圖1.9.3所示，可得出:

也可以把接到節(jié)點3上的三個星形連接的電阻轉(zhuǎn)換成三角形連接的電阻，如圖1.9.4所示。圖1.9.4求解例1.9.1的另一種方法

1.10輸入電阻

如果一個網(wǎng)絡(luò)具有兩個引出端子與外電路相連而不管其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，則這樣的網(wǎng)絡(luò)叫做二端網(wǎng)絡(luò)或一端口網(wǎng)絡(luò)(簡稱“一端口”)。如圖1.10.1所示，如果無源二端網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部僅含電阻，用串并聯(lián)方法和Y△變換等，總可以求得其等效電阻。

在無源二端網(wǎng)絡(luò)的端口處外加電壓源us

或電流源i

s

，并求得端口的電流i

或u

，則端口網(wǎng)絡(luò)的輸入電阻Ri定義為圖1.10.1二端網(wǎng)絡(luò)

不難看出，輸入電阻與等效電阻是相等的。從概念上說，輸入電阻是不含獨立電源的二端網(wǎng)絡(luò)的端電壓與端電流的比值，等效電阻是用來等效替代此端口的電阻。二段網(wǎng)絡(luò)的等效電阻可以通過計算輸入電阻來求得

【例1.10.1】試求圖1.10.2(a)和(b)的輸入電阻Rab

。圖1.10.2例1.10.1圖

解在圖1.10.2(a)的a、b端子間加電壓源u，并設(shè)電流為i，如圖1.10.2(c)所示，有

故得a、b端的輸入電阻為

在圖1.10.2(b)的a、b端子間加電壓源u，并設(shè)電流為i1

，如圖1.10.2(d)所示，有

習(xí)題1題1.1圖

1.1求題1.1圖所示電路中電流I、電壓U及3Ω電阻的功率。

1.2求題1.2圖所示電路中端口電壓Uab。題1.2圖

1.3求題1.3圖所示電路中的電壓Uab。題1.3圖

1.4求題1.4圖所示電路中等效電阻Rab

。題1.4圖

1.5試用電源等效變換的方法求題1.5圖所示電路的Uab

。題1.5圖

1.6利用電源的等效變換畫題1.6圖所示電路的對外等效電路。題1.6圖

1.7求題1.7圖所示電路的等效電阻R12

。題1.7圖

1.8試求題1.8圖所示電路的輸入電阻Rab

。題1.8圖

1.9求題1.9圖所示單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。題1.9圖

1.10求題1.10圖所示電路的的輸入電阻Rab。題1.10圖

1.11仿真題1.11圖所示的電路,驗證KCL、KVL。題1.11圖第2章電阻電路分析2.1支路電流法2.2網(wǎng)孔分析法2.3回路電流法2.4結(jié)點電位法2.5疊加定理2.6齊次定理2.7替代定理2.8等效電源定理2.9最大功率傳輸定理習(xí)題2

第一章介紹了電路的基本概念、基本定律和簡單電路的分析計算方法。本章將討論復(fù)雜電路的一般分析計算方法，如支路電流法、網(wǎng)孔分析法、結(jié)點電位法等。同時，還將介紹利用電路定理進行電路分析的方法，如疊加定理、替代定理、戴維寧定理、最大功率傳輸定理等。此外，為激發(fā)廣大讀者對本章所述的電路分析方法的深入理解、掌握和應(yīng)用，我們特在部分小節(jié)末給出了一些仿真實例，以期能為讀者提供一定的幫助。電阻電路的這些分析方法將廣泛應(yīng)用或推廣用于后續(xù)各章。

2.1支路電流法

根據(jù)第一章的介紹，我們知道將僅包含電阻、獨立源和受控源的電路稱為電阻電路。對其進行分析的最一般的方法就是方程法。此類方法是在不改變電路結(jié)構(gòu)的情況下，以減少電路方程數(shù)目為目的，選擇一組合適的電路變量。依據(jù)兩類約束，即元件的VCR和電路的拓撲約束特性(KCL、KVL)，建立獨立的方程組，求解得到電路變量，進而求得所需的物理量。

本章只討論線性電阻電路的一般分析方法，它是學(xué)習(xí)非線性電阻電路、動態(tài)電路的基礎(chǔ)。同時，本章的分析方法也適用于后續(xù)的正弦穩(wěn)態(tài)電路。

2.1.1支路電流法

下面，我們介紹屬于方程法中的最基本的方法，即支路電流法。它是以支路電流為變量，根據(jù)兩類約束建立獨立的方程組，求解出各支路電流，進而可求出電路中任意處的電壓、功率等。下面以一個具體例子來說明支路電流法分析電路的全過程。

如圖2.1.1所示，電路有2個結(jié)點(n=2)、3條支路(

b=3)。設(shè)各支路電流分別為i1

、i2

、i3

，其參考方向如圖中所示。就本例而言，就是如何找到包含未知量i1

、i2

、i3的3個相互獨立的方程組。圖2.1.1支路電流法分析用圖

根據(jù)KCL，對結(jié)點a和b分別建立電流方程。

設(shè)流出結(jié)點的電流取正號，則有

結(jié)點a:

結(jié)點b:

顯然，將式(2.1.1)變形后即可得到式(2.1.2)，說明此兩式不是相互獨立的。故為了得到獨立的KCL方程只能取其中任意一個，例如取式(2.1.1)。

根據(jù)KVL，按圖中的繞行方向?qū)芈发?、Ⅱ、Ⅲ分別列KVL方程。

顯然，這三個方程也不是相互獨立的，任意一式都可以由其它兩式相加減得到。如式(2.1.3)與式(2.1.4)相加可以得到式(2.1.5)，所以只能取其中的兩式作為獨立方程的KVL方程，這里可取式(2.1.3)和式(2.1.4)。聯(lián)立獨立的KCL方程和獨立的KVL方程:

式(2.1.6)即為圖2.1.1所示電路以支路電流為未知量的獨立方程組之一，它完整地描述了該電路中各支路電流和支路電壓之間的相互約束關(guān)系。該方程組中方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等，故該方程組有唯一解。求解此方程組，即可得到3個未知的支路電流。求得各支路電流之后，再根據(jù)元件的VCR以及回路的KVL，即可求得任意支路的電壓，然后根據(jù)功率的定義還可求得任意支路上的功率等。

2.1.2KCL和KVL的獨立方程

對上述電路利用支路電流法分析列寫方程時，先列出所有KCL和KVL方程，然后通過觀察比較，從中找出獨立的KCL方程和獨立的KVL方程。如果電路比較復(fù)雜，結(jié)點數(shù)、回路數(shù)較多，則按照這種方式來找所需的獨立方程就是件很麻煩的事。對于具有n個結(jié)點、b條支路的電路來說，其KCL獨立方程的個數(shù)及KVL獨立方程的個數(shù)分別是多少

呢?下面將給出結(jié)論及說明。

1.KCL的獨立方程

設(shè)一個電路如圖2.1.2所示，對結(jié)點a、b、c、d分別列寫KCL方程:圖2.1.2KCL和KVL獨立方程

在這些方程中，每個支路電流均作為一項出現(xiàn)兩次，一次為正，一次為負(指電流符號)。這是因為每個支路都連接在兩個結(jié)點之間，所以每個支路電流必定從一個結(jié)點流入，從另一個結(jié)點流出。這個支路電流與其它結(jié)點不會發(fā)生直接聯(lián)系。因此，上面任意3個方程相加，必將得出第4個方程。這個結(jié)論對于n個結(jié)點的電路同樣適用。對于n個結(jié)點列出KCL方程，所得n個方程中任何一個都可以從其余n-1個方程中推出來，所以獨立方程的個數(shù)不會超過n-1個，可以證明KCL獨立方程的個數(shù)是n-1個。通常將能列出獨立KCL方程的結(jié)點稱為獨立結(jié)點。

2.KVL獨立方程的個數(shù)

在圖2.1.2所示電路中，對3個網(wǎng)孔和外回路分別列出KVL方程。

在這些方程中，任意3個方程相加，必將得出第4個方程，因此，只有3個方程是獨立的?？梢宰C明:具有n個結(jié)點、b條支路的電路，只能列出b-(n-1)個獨立的KVL方程。習(xí)慣上把能列寫出獨立方程的回路稱為獨立回路。對于平面電路(注:平面電路是可以畫在平面上不出現(xiàn)支路交叉的電路)，有幾個網(wǎng)孔就有幾個獨立的回路數(shù)，這是因為任何一個網(wǎng)孔總有一條支路是其它網(wǎng)孔所沒有的。這樣，沿著網(wǎng)孔的回路列寫KVL方程，其方程中總會出現(xiàn)一個新的變量。

綜上所述，對于具有n個結(jié)點，

b條支路的電路，

KCL獨立方程的個數(shù)為n-1個;KVL獨立方程的個數(shù)為b-(n-1)個，兩個獨立方程的個數(shù)之和是b個，正好是求b個支路電流所需的方程數(shù)。

2.1.3支路電流法的步驟和特點

1.支路電流法的一般步驟

用支路電流法求解具有n個結(jié)點、b條支路的線性電阻電路的步驟如下:

(1)選定b個支路電流的參考方向;

(2)對n-1個獨立結(jié)點，列出獨立KCL方程;

(3)選定b-n+1個獨立回路(基本回路或網(wǎng)孔)，指定回路繞行方向，根據(jù)KVL列出回路電壓方程(將支路電壓用支路電流來表示):

(4)聯(lián)立求解上述b個支路的電流方程;

(5)求解題中要求的支路電壓或功率等。

2.支路電流法的特點

支路法列寫的是KCL和KVL方程，所以方程列寫方便、直觀，但方程數(shù)較多，宜于在支路數(shù)不多的情況下使用。

【例2.1.1】求圖2.1.3所示各支路電流及各電壓源發(fā)出的功率。

解

各支路電流的參考方向及兩個網(wǎng)孔的繞行方向如圖2.

1.3所示。

(1)n-1=1個KCL方程:

結(jié)點a:圖2.1.3例2.1.1的圖

(2)b-(n-1)=2個KVL方程:

用克萊姆法則求解由式

(2.1.7)、式(2.1.8)和式

(2.1.9)組成的三元一次方程組。

Δ和Δj分別為

【例2.1.2】用支路電流法求圖2.1.4所示電路中的各支路電流(電路中含有理想電流源)。

解

顯然I1

=2A已知，故只列寫兩個方程。

上邊結(jié)點:

避開電流源支路取回路(回路按照逆時針方向繞行):

聯(lián)立求解得圖2.1.4例2.1.2的圖

【例2.1.3】用支路法求解圖2.1.5所示電路中各支路電流(電路中含有受控源)。圖2.1.5例2.1.3的圖

解各支路電流、各網(wǎng)孔繞向如圖2.1.5所示。受控電壓源當(dāng)獨立電壓源一樣處理，對電流源的處理方法:在其兩端設(shè)定一電壓U。

對獨立結(jié)點a，列KCL方程:

對兩個網(wǎng)孔，利用KVL列回路方程:

上面三個方程共有四個未知量。補充一個方程:將受控源控制量u1

用支路電流表示，即

解式(2.1.10)~式(2.1.13)得支路電流為

2.2網(wǎng)孔分析法

支路電流法適用于簡單電路計算，由于獨立方程數(shù)目等于電路的支路數(shù)，對支路數(shù)較多的復(fù)雜電路，需要列寫的方程往往太多，手工解算較麻煩。那么，能否使方程數(shù)減少呢?若能，則解算方程的工作量就可大大減少，這是我們所期望的。本節(jié)要討論的網(wǎng)孔分析法就是基于這種想法而提出的一種改進方法。

1.網(wǎng)孔分析法的定義

以沿網(wǎng)孔連續(xù)流動的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法稱為網(wǎng)孔電流法。它僅適用于平面電路。

2.網(wǎng)孔分析法的基本思想

為減少未知量(方程)的個數(shù)，假想每個網(wǎng)孔中有一個網(wǎng)孔電流。各支路電流可用網(wǎng)孔電流的線性組合表示，來求得電路的解。

需要注意的是，網(wǎng)孔電流是一種假想的電流，實際電路中并不存在。引入網(wǎng)孔電流純粹是為了分析電路方便

下面通過圖2.2.1所示的電路加以說明。此平面電路有兩個網(wǎng)孔，假設(shè)有兩個電流im1

、im2

分別沿著該電路的兩個網(wǎng)孔連續(xù)流動。由于支路1

只有電流im1流過，實際的支路1的電流為i1

，可見i1

=im1

;類似地，

i2=im2

;而支路3有兩個電流im1

、im2流過，支路3的電流應(yīng)為假設(shè)的兩個電流im1

、im2的代數(shù)和，實際支路3的電流為

i3

，可見i3=im1

-im2

。我們把沿著網(wǎng)孔1

流動的電流im1和沿著網(wǎng)孔2流動的電流im2稱為網(wǎng)孔電流。當(dāng)各支路電流用網(wǎng)孔電流表示后，則KCL自動滿足，這是因為網(wǎng)孔電流在網(wǎng)孔中是閉合的，對每個相關(guān)結(jié)點均流進一次，流出一次，所以KCL自動滿足。因此網(wǎng)孔分析法是對網(wǎng)孔回路列寫KVL方程，方程數(shù)為網(wǎng)孔數(shù)。圖2.2.1網(wǎng)孔分析法示意圖

3.方程的列寫

觀察可以看出如下規(guī)律:

R11=R1+R3

:網(wǎng)孔1中所有電阻之和，稱為網(wǎng)孔1的自電阻。

R22=R2+R3

:網(wǎng)孔2中所有電阻之和，稱為網(wǎng)孔2的自電阻。

R12=R21=-R3:網(wǎng)孔1、網(wǎng)孔2之間的互電阻。

usm1=us1

:網(wǎng)孔1中所有電壓源電壓的代數(shù)和。

usm2=us2

:網(wǎng)孔2中所有電壓源電壓的代數(shù)和。

以下幾點需注意:

(1)自電阻總為正。

(2)當(dāng)兩個網(wǎng)孔電流流過相關(guān)支路方向相同時，互電阻取正號，否則為負號。

(3)當(dāng)電壓源電壓方向與該網(wǎng)孔電流方向一致時，取負號，反之取正號。

這樣改寫上面兩式，得到方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:

式(2.2.1)稱為網(wǎng)孔電流方程，簡稱網(wǎng)孔方程。

對于具有m個網(wǎng)孔的電路，有

式(2.2.2)的方程可以憑觀察直接列出，其中:

當(dāng)網(wǎng)孔電流均取順(或逆)時針方向時，

Rjk均為負。無受控源的線性網(wǎng)絡(luò)Rjk=Rkj，系數(shù)矩陣為對稱陣。

uskk(k=1，

2，…，

m)為第k個網(wǎng)孔所有獨立電壓源的代數(shù)和，當(dāng)網(wǎng)孔電流的繞行方向從電壓源的“-”極指向“+”極時，此電壓源的電壓值取正號，否則取負號。

網(wǎng)孔分析法的一般步驟如下:

(1)選網(wǎng)孔為獨立回路，并確定其繞行方向;

(2)以網(wǎng)孔電流為未知量，列寫其KVL方程;

(3)求解上述方程，得到m個網(wǎng)孔電流;

(4)求各支路電流;

(5)其它分析。

網(wǎng)孔電流法僅適用于平面電路。

4.網(wǎng)孔法求解電路舉例

【例2.2.1】電路如圖2.2.2所示，試用觀察法直接列出網(wǎng)孔電流方程。圖2.2.2例2.2.1的圖

解首先假設(shè)各網(wǎng)孔電流的繞行方向如圖2.2.2所示，用觀察法直接列出網(wǎng)孔電流方程。

整理得

【例2.2.2】電路如圖2.2.3(a)所示。試用網(wǎng)孔電流法求解通過6Ω電阻的電流I。圖2.2.3例2.2.2的圖

解此電路為平面電路，可用網(wǎng)孔法分析。電路有兩個網(wǎng)孔，假設(shè)其電流繞行方向如圖2.2.3(b)所示。本例中電流源是兩個網(wǎng)孔的公共支路，由于網(wǎng)孔方程是KVL方程，因此在電流源兩端設(shè)一個電壓變量U，將其按照獨立電壓源對待。列寫網(wǎng)孔方程如下:

上式中多了一個變量U，還應(yīng)補充一個方程:

聯(lián)立式(2.2.3)和式(2.2.4)解得:I2=-1A，則由圖顯然有:I=-I2=1A。

【例2.2.3】電路如圖2.2.4所示，用網(wǎng)孔電流法求電壓Uab

。圖2.2.4例2.2.3的圖

解此電路為平面電路，可用網(wǎng)孔法分析。設(shè)電路中兩個網(wǎng)孔的繞行方向均為順時針方向。此電路有一受控電壓源，先將其當(dāng)作獨立電壓源對待。列寫網(wǎng)孔方程:

上式多了一個變量U，將其用網(wǎng)孔電流表示，增補一個方程:

以上兩式聯(lián)立解得

進而根據(jù)KVL有

在MATLAB中，所有的變量和常量都以矩陣的形式存在。行向量可視作1×n的矩陣，列向量可視作n×1的矩陣，標(biāo)量可視作1×1的矩陣。矩陣中的各元素可以是復(fù)數(shù)或者表達式。這些特點使MATLAB具有強大的矩陣運算和復(fù)數(shù)運算能力，在處理電路分析的各種問題時，相比于其它語言，編程更加簡便，運算效率更高，更易于實現(xiàn)。

【例2.2.4】在圖2.2.5所示的電路中，已知R1=R2=10Ω，

R4=R5=8Ω，

R3=R6

=2Ω，

Us3=20V，

Us6=40V，用網(wǎng)孔法求解i5

。圖2.2.5例2.2.4的圖

【例2.2.5】電路如圖2.2.6所示，電壓源U1=8V，

U2=6V，

R1=20Ω，

R2=40Ω，R3=60Ω，用網(wǎng)孔電流分析法求網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ的電流。

解

假定網(wǎng)孔電流在網(wǎng)孔中順時針方向流動，用網(wǎng)孔電流分析法可求得網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ的電流分別為127mA、-9.

091mA。在Multisim的電路窗口中創(chuàng)建圖2.2.7所示的電

路，啟動仿真，圖中電流表的讀數(shù)即為仿真分析的結(jié)果。可見，理論計算與電路仿真結(jié)果相同。圖2.2.6例2.2.5電路圖圖2.2.7例2.2.5仿真電路圖

2.3回路電流法

網(wǎng)孔分析法僅適用于平面電路，而回路電流法則更具有一般性。它不僅適用于分析平面，也適用于分析非平面電路，在使用中還具有一定的靈活性。

1.回路電流法的定義

以獨立回路(它不一定是網(wǎng)孔)中沿回路連續(xù)流動的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法，稱為回路電流法。它適用于平面和非平面電路。

回路電流法就是找出獨立回路，假設(shè)回路電流，按獨立回路列寫KVL方程求解電路的方法，方程數(shù)為b-(n-1)。獨立回路的選取是使所選回路都包含一條其它回路所沒有的新支路。下面說明怎樣用回路電流法來求解電路。

2.方程的列寫

【例2.3.1】如圖2.3.1所示，用回路法求解電流i圖2.3.1例2.3.1的圖

解本例中，只需求R5

上的電流。因此，選取獨立回路時，只讓一個回路電流經(jīng)過R5支路。如圖選取回路，其中回路1、2是平面電路中的兩個網(wǎng)孔，而回路3的選取不是右下的網(wǎng)孔，而是由R1

、R2

、R3

、R4

構(gòu)成的回路，則i=i2

。仿照之前的網(wǎng)孔分析法，根據(jù)所選獨立回路列寫KVL方程，有

求解此方程組，我們只需解出i2

就可完成本電路的求解。而若是用網(wǎng)孔分析法的話，則需要求解出至少兩個網(wǎng)孔電流，然后根據(jù)待求支路電流和兩個網(wǎng)孔電流的關(guān)系才能求解出待求變量，明顯要比回路電流法的計算量大。

一般地，對于具有l(wèi)=b-(n-1)個回路的電路，其回路方程與2.2節(jié)中的式(2.2.2)類似，只需將式(2.2.2)中的m換為l即可。

綜上，回路法的一般步驟如下:

(1)選定l=b-(n-1)個獨立回路，并確定其繞行方向;

(2)對l個獨立回路，以回路電流為未知量，列寫其KVL方程;

(3)求解上述方程，得到l個回路電流;

(4)求各支路電流;

(5)其它分析。

回路法的特點:①通過靈活地選取回路可以減少計算量;②互有電阻的識別難度加大，易遺漏互有電阻。

【例2.3.2】求圖2.3.2所示電路中電壓U、電流I和電壓源產(chǎn)生的功率。圖2.3.2例2.3.2的圖

解

本題n=3，

b=6，則l=b-(n-1)=4，即有4個獨立回路。選取4個獨立回路并指定繞行方向，如圖所示。顯然，幾個電流源的電流與回路電流相同，即:i1

=2A，

i2=2A，i3=3A。因此，只需對獨立回路4列寫KVL方程:

解得

進而可求得

如果此例選網(wǎng)孔法進行分析，那么除了兩個網(wǎng)孔電流已知外，還需要再列兩個網(wǎng)孔方程;而利用回路電流法，按照上面選取獨立回路，僅需要列一個回路方程，計算量明顯減少。

最后，需要明確的是網(wǎng)孔法是回路法的特殊情況。網(wǎng)孔只是平面電路的一組獨立回路，許多實際電路都屬于平面電路，選取網(wǎng)孔作獨立回路方便易行，所以把這種特殊條件

下的回路法歸納為網(wǎng)孔法。

【例2.3.3】如圖2.3.3所示電路，用回路電流法求兩電路中的電流I。

解

(a)本題n=3，

b=5，則l=b-(n-1)=3，即有3個獨立回路。選取3個獨立回路并指定繞行方向如題2.3.3圖(a)所示。顯然，幾個電流源的電流與回路電流相同，即i1=1A，

i2=3A。因此，只需對獨立回路3列寫KVL方程:

解得

則

(b)類似地，本題n=4，

b=6，則l=b-(n-1)=3，即有3個獨立回路。選取3個獨立回路并指定繞行方向，如題2.3.3圖(b)所示。顯然，幾個電流源的電流與回路電流相同，即

i1=3A，

i2=2I。因此，只需對獨立回路3列寫KVL方程:

補充:

解得

則題2.3.3圖

【例2.3.4】在圖2.3.4所示的電路中，已知R=1Ω，

Us

=14V，試求支路電流i和支路電壓U。

圖2.3.4例2.3.4的圖

解設(shè)三個回路電流分別為Im1、Im2、Im3，有

補充方程:

將方程整理為

2.4結(jié)點電位法

上一節(jié)介紹的網(wǎng)孔分析法中網(wǎng)孔電流自動滿足KCL，僅應(yīng)用KVL列寫方程就可求解電路。那么我們能否找到另外一種變量，它自動滿足KVL，而僅利用KCL列寫方程就可求解電路呢?本節(jié)要討論的結(jié)點電位法正是這樣一種電路求解方法。該方法又稱為結(jié)點電壓法，簡稱結(jié)點法，是減少方程數(shù)目的另一種改進的方程分析方法。

在電路中，任選一結(jié)點作參考點，其余結(jié)點與參考點之間的電壓便是相應(yīng)各結(jié)點的電位。

1.結(jié)點電位法的定義

以結(jié)點電位為未知量列寫電路方程分析電路的方法，稱為結(jié)點電位法。該方法適用于結(jié)點較少的電路。

2.結(jié)點電位法的基本思想

選結(jié)點電位為未知量，則KVL自動滿足，無需列寫KVL方程。各支路電流、電壓可視為結(jié)點電壓的線性組合，求出結(jié)點電壓后，便可方便地得到各支路的電壓、電流。

下面以圖2.4.1為例，說明怎樣以結(jié)點電位為獨立變量來求解電路。設(shè)以結(jié)點0為參考點，其余兩個結(jié)點的電壓分別記為u1

和u2

。支路電壓可用結(jié)點電壓表示為:u12

=

u1-u2

，

u10=u1

，

u20=u2

，對電路的任意回路，如最中間的G2

、G3

和G5

所在回路，有u12+u20-u10=u1-u2

+u2-u1≡0，所以，結(jié)點電壓自動滿足KVL方程。圖2.4.1結(jié)點法分析圖

因此，結(jié)點電位法列寫的是結(jié)點上的KCL方程，獨立方程數(shù)為n-1。有兩點需注意:

①與支路電流法相比，方程數(shù)減少b-(n-1)個;

②任意選擇參考點:其它結(jié)點與參考點的電位差即為結(jié)點電壓(位)，方向為從獨立結(jié)點指向參考結(jié)點。

3.方程的列寫

(1)選定參考結(jié)點，標(biāo)明其余n-1個獨立結(jié)點的電壓。

把支路電流用結(jié)點電壓表示:

整理得

這就是以結(jié)點電位u1

、u2

為未知量的結(jié)點電位方程。

方程組(2.4.3)可進一步改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式的結(jié)點電壓方程:

式中，

G11=G1+G2+G3+G4

，表示結(jié)點1的自電導(dǎo);G22=G3+G4+G5+G6

，表示結(jié)點2的自電導(dǎo);結(jié)點的自電導(dǎo)等于接在該結(jié)點上所有支路的電導(dǎo)之和。G12=G

21=-(G3+G4

)，表示結(jié)點1與結(jié)點2之間的互電導(dǎo)。互電導(dǎo)為接在結(jié)點與結(jié)點之間所有支路的電導(dǎo)之和，總為負值。

由于假設(shè)結(jié)點電位的參考方向總是由獨立結(jié)點指向參考結(jié)點，所以各結(jié)點電位在自電導(dǎo)中所引起的電流總是流出該結(jié)點的，在結(jié)點方程左邊流出節(jié)點的電流取“+”號，因而自電導(dǎo)總是正的;但在另一結(jié)點電位通過互電導(dǎo)引起的電流總是流入本結(jié)點的，在結(jié)點方程左邊流入結(jié)點的電流取“-”號，因而互電導(dǎo)總是負的。

式(2.4.4)右邊的Is11=Is1-Is3

，為流入結(jié)點1的電流源電流的代數(shù)和;Is22=Is2+Is3，為流入結(jié)點2的電流源電流的代數(shù)和。流入結(jié)點取為正號，流出結(jié)點取為負號。

由結(jié)點電壓方程求得各結(jié)點電壓后即可求得各支路電壓，各支路電流可用結(jié)點電壓表示:

對于一般情況，若一個電路有n+1個結(jié)點，就有n