2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考專用)專題44兩條直線的位置關(guān)系(原卷版+解析)

專題44兩條直線的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】?jī)芍本€的平行與垂直 4【考點(diǎn)2】?jī)芍本€的交點(diǎn)與距離問題 5【考點(diǎn)3】對(duì)稱問題 6【考點(diǎn)4】直線系方程的應(yīng)用 8【分層檢測(cè)】 9【基礎(chǔ)篇】 9【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 11考試要求：1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.2.直線的交點(diǎn)與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系(1)兩直線的交點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).(2)兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行3.距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離公式平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4.對(duì)稱問題(1)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)A(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x0，2b－y0).(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.1.“直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要條件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2＋B1B2”＝0.2.討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)應(yīng)考慮直線的斜率是否存在.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·高考真題）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空題4．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】?jī)芍本€的平行與垂直一、單選題1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知直線與直線平行，則的值為（

）A．4 B． C．2或 D．或42．（23-24高二上·山東·階段練習(xí)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，若直線與的歐拉線垂直，則直線與的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·廣東·一模）下列說法正確的是（

）A．已知直線與平行，則k的值是3B．直線與圓的位置關(guān)系為相交C．圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有3個(gè)D．已知AC、BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形ABCD的面積的最大值為104．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要定理，由此定理可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些性質(zhì)，例如，若點(diǎn)是雙曲線（為的兩個(gè)焦點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切線平分.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，直線為在其上一點(diǎn)處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的一條漸近線與直線相互垂直B．若點(diǎn)在直線上，且，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）C．直線的方程為D．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心在直線上三、填空題5．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知P，Q是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為4，若直線PQ與直線平行，則直線PQ與之間的距離等于．6．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知直線，直線過點(diǎn)且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則．反思提升：1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.【考點(diǎn)2】?jī)芍本€的交點(diǎn)與距離問題一、單選題1．（2023·北京東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個(gè)部分，則滿足條件的的值共有（

）A．個(gè) B．2個(gè) C．個(gè) D．無數(shù)個(gè)2．（24-25高三上·河南焦作·開學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線上，則C的焦點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為（

）A．4 B． C．2 D．二、多選題3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若直線與函數(shù)在上有1個(gè)公共點(diǎn)，在上有個(gè)公共點(diǎn)，則的值不可能為（

）A．1 B． C． D．4．（2024·甘肅定西·一模）下列命題為真命題的是（

）A．的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是三、填空題5．（2024·山東·二模）過直線和的交點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為.6．（2022·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）過拋物線的焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.若，則，.反思提升：(1)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法：先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.【考點(diǎn)3】對(duì)稱問題一、單選題1．（2024·天津和平·二模）過直線上的點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線，一束光線從原點(diǎn)出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點(diǎn)，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn).若，則的值為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知圓，直線（且不同時(shí)為0），下列說法正確的是（

）A．當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為B．當(dāng)時(shí)，直線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的方程為：C．當(dāng)時(shí)，圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為D．過點(diǎn)與平行的直線方程為：4．（23-24高二上·廣東東莞·期中）已知直線和三點(diǎn)，，，過點(diǎn)C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（

）A．P在直線l上，則的最小值為B．直線l上一點(diǎn)使最大C．當(dāng)最小時(shí)的方程是D．當(dāng)最小時(shí)的方程是三、填空題5．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：關(guān)于直線的對(duì)稱直線為軸，則的方程為.6．（23-24高二上·福建三明·階段練習(xí)）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營(yíng)所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為．反思提升：(1)光的反射問題實(shí)質(zhì)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，要注意轉(zhuǎn)化.(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決，也可考慮利用兩條對(duì)稱直線是相互平行的，并利用對(duì)稱中心到兩條直線的距離相等求解.(3)求直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2，有兩種處理方法：①在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程.②設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程.【考點(diǎn)4】直線系方程的應(yīng)用一、單選題1．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知直線的方程是，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線一定經(jīng)過（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（23-24高三上·山東臨沂·期末）過圓C：外一點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線過定點(diǎn)（

）A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）已知圓，直線，下列說法正確的是（

）A．無論取何值，直線與圓相交B．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為C．若，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為D．直線的方程能表示過點(diǎn)的所有直線的方程4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則B．的最小值為C．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，曲線恒過直線與圓的交點(diǎn)D．若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）四點(diǎn)共圓，則三、填空題5．（23-24高三上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知直線恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．6．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為.反思提升：幾種常見的直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A．20 B． C．0 D．242．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足：且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·河北保定·開學(xué)考試）函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B．1 C． D．24．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．二、多選題5．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）若三條直線可以圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B．0 C．1 D．36．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營(yíng)，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)，軍營(yíng)所在位置為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營(yíng)，則將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營(yíng)的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是7．（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知直線，下列說法正確的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，關(guān)于軸的對(duì)稱直線為C．直線一定經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．點(diǎn)到直線的最大距離為三、填空題8．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）若與平行，則兩直線之間的距離為.9．（23-24高二上·江蘇南京·期末）求過兩條直線和的交點(diǎn)，且與垂直的直線方程．10．（23-24高二下·山西·期中）已知圓：，則圓心到直線：的最大距離為.四、解答題11．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知兩條平行直線與之間的距離是．(1)求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程；(2)求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程．12．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）已知直線：和：．(1)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)若與互相平行，求與間的距離．【能力篇】一、單選題1．（24-25高二上·上海·課堂例題）過原點(diǎn)的直線l的傾斜角為θ，則直線l關(guān)于直線對(duì)稱的直線的傾斜角不可能為（

）A．θ B． C． D．二、多選題2．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四個(gè)命題敘述正確的是（

）A．直線在軸上的截距是1B．直線和的交點(diǎn)為，且在直線上，則的值是C．設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值是2D．直線，若，則或2三、填空題3．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線：與直線：交于點(diǎn)Q，m是實(shí)數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是．四、解答題4．（23-24高二上·天津南開·期中）已知直線與直線．(1)當(dāng)m為何值時(shí)，與相交；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，與平行，并求與的距離；(3)當(dāng)m為何值時(shí)，與垂直．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面幾何中有定理：已知四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，且，過點(diǎn)分別作邊，，，的垂線，垂足分別為，，，，則，，，在同一個(gè)圓上，記該圓為圓.若在此定理中，直線，，的方程分別為，，，點(diǎn)，則圓的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┲袊?guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對(duì)稱精致，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，中國(guó)結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，到兩定點(diǎn)，距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．曲線C經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C．曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過3D．曲線C上有且僅有3個(gè)點(diǎn)P滿足三、填空題3．（23-24高三下·全國(guó)·強(qiáng)基計(jì)劃），，有零點(diǎn)，則的最小值為專題44兩條直線的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 7【考點(diǎn)1】?jī)芍本€的平行與垂直 7【考點(diǎn)2】?jī)芍本€的交點(diǎn)與距離問題 13【考點(diǎn)3】對(duì)稱問題 16【考點(diǎn)4】直線系方程的應(yīng)用 24【分層檢測(cè)】 28【基礎(chǔ)篇】 28【能力篇】 36【培優(yōu)篇】 38考試要求：1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.2.直線的交點(diǎn)與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系(1)兩直線的交點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).(2)兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行3.距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離公式平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4.對(duì)稱問題(1)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)A(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x0，2b－y0).(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.1.“直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要條件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2＋B1B2”＝0.2.討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)應(yīng)考慮直線的斜率是否存在.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·高考真題）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空題4．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．參考答案：1．C【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，AB最小，，此時(shí).

故選：C2．D【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.3．C【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點(diǎn)，從而可得當(dāng)時(shí)，AB的最小，結(jié)合勾股定理代入計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€，即，令，則，所以直線過定點(diǎn)，設(shè)，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，所以圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，AB的最小，此時(shí).故選：C4．②③【分析】先分析的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對(duì)于①，取，結(jié)合圖像即可判斷；對(duì)于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對(duì)于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對(duì)于④，取，結(jié)合圖像可知此時(shí)存在最小值，從而得以判斷.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線；當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線；對(duì)于①，取，則的圖像如下，

顯然，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，顯然取得最大值；當(dāng)時(shí)，，綜上：取得最大值，故②正確；對(duì)于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且接近于處，，此時(shí)，，故③正確；對(duì)于④，取，則的圖像如下，

因?yàn)?，結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點(diǎn)在上，點(diǎn)在，同時(shí)的最小值為點(diǎn)到的距離減去半圓的半徑，此時(shí)，因?yàn)榈男甭蕿椋瑒t，故直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，顯然在上，滿足取得最小值，即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得的圖像，特別是當(dāng)時(shí)，的圖像為半圓，解決命題④時(shí)，可取特殊值進(jìn)行排除即可.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】?jī)芍本€的平行與垂直一、單選題1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知直線與直線平行，則的值為（

）A．4 B． C．2或 D．或42．（23-24高二上·山東·階段練習(xí)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，若直線與的歐拉線垂直，則直線與的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·廣東·一模）下列說法正確的是（

）A．已知直線與平行，則k的值是3B．直線與圓的位置關(guān)系為相交C．圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有3個(gè)D．已知AC、BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形ABCD的面積的最大值為104．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要定理，由此定理可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些性質(zhì)，例如，若點(diǎn)是雙曲線（為的兩個(gè)焦點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切線平分.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，直線為在其上一點(diǎn)處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的一條漸近線與直線相互垂直B．若點(diǎn)在直線上，且，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）C．直線的方程為D．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心在直線上三、填空題5．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知P，Q是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為4，若直線PQ與直線平行，則直線PQ與之間的距離等于．6．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知直線，直線過點(diǎn)且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則．參考答案：1．B【分析】根據(jù)兩直線平行得到，求出的值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)直線與直線重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)直線與直線平行.故選：B2．B【分析】由題求出歐拉線方程，即可得直線l方程，后可得交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可知其重心為.注意到，直線BC斜率不存在，則為直角三角形，則其垂心為其直角頂點(diǎn)，則歐拉線方程為：.因其與垂直，則.則，則直線與的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足，即交點(diǎn)為.故選：B3．BC【分析】A由直線平行的判定求參數(shù)，注意驗(yàn)證是否重合；B根據(jù)直線所過的定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷即可；C由圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可判斷；D設(shè)圓心到的距離分別為，則及，結(jié)合基本不等式求最大值即可判斷.【詳解】A：由平行知：，則或，當(dāng)時(shí)有，滿足題設(shè)，當(dāng)時(shí)有，滿足題設(shè)，故或，錯(cuò)誤；B：由過定點(diǎn)，而在圓內(nèi)，故它們的關(guān)系為相交，正確；C：由題設(shè)知：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑為，所以圓心到距離為，易知圓上點(diǎn)到直線距離為的點(diǎn)共有3個(gè)，正確；D：設(shè)圓心到的距離分別為，則，又相互垂直，所以，而，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故錯(cuò)誤.故選：BC4．ABD【分析】根據(jù)雙曲線方程即可求出漸近線可判斷A，由角平分線性質(zhì)可得G點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線方程可判斷C，設(shè)出B點(diǎn)坐標(biāo)由條件可判斷B，假設(shè)的內(nèi)切圓圓心在直線上，由內(nèi)心性質(zhì)可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：雙曲線的一條漸近線方程為與相互垂直，故A正確；選項(xiàng)BC：因?yàn)?，所以，，所以，，又，所以，所以，直線：，即，故C錯(cuò)誤，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得：，所以，則，故B正確；選項(xiàng)D：，直線，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：，解得，所以，，所以直線，因?yàn)榈膬?nèi)切圓圓心在直線直線：上，若又在直線上，則內(nèi)切圓圓心為，圓心到直線的距離為：，圓心到直線的距離為：，即，所以點(diǎn)也在的角平分線上，即點(diǎn)為的內(nèi)切圓圓心，圓心在直線上，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：充分利用角平分線的性質(zhì)得出G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線垂直關(guān)系及點(diǎn)到直線距離公式可判斷各項(xiàng).5．【分析】設(shè)出直線的方程，聯(lián)立曲線，可得與縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，借助韋達(dá)定理轉(zhuǎn)換題目條件計(jì)算可得直線所過定點(diǎn)，或結(jié)合直線PQ與直線平行可得具體方程，后借助平行線間的距離公式計(jì)算即可得..【詳解】法一：顯然直線PQ的斜率不為0，故可設(shè)，由，可得，如圖，設(shè)Px1,y1所以，則，同理，由題意，得，所以，則，即，直線，故直線PQ恒過定點(diǎn)．故當(dāng)直線PQ與直線平行時(shí)，兩直線之間的距離等于定點(diǎn)到直線的距離，即.法二：由題意，設(shè)，由，得，由，解得．設(shè)，，則，，又，所以，由題意，，解得，故兩平行直線之間的距離為．故答案為：.6．【分析】根據(jù)題意求得直線的方程為，以及圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由直線，可得斜率，因?yàn)榍抑本€過點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以的方程為，又由圓，即，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng).故答案為：.反思提升：1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.【考點(diǎn)2】?jī)芍本€的交點(diǎn)與距離問題一、單選題1．（2023·北京東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個(gè)部分，則滿足條件的的值共有（

）A．個(gè) B．2個(gè) C．個(gè) D．無數(shù)個(gè)2．（24-25高三上·河南焦作·開學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線上，則C的焦點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為（

）A．4 B． C．2 D．二、多選題3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若直線與函數(shù)在上有1個(gè)公共點(diǎn)，在上有個(gè)公共點(diǎn)，則的值不可能為（

）A．1 B． C． D．4．（2024·甘肅定西·一模）下列命題為真命題的是（

）A．的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是三、填空題5．（2024·山東·二模）過直線和的交點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為.6．（2022·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）過拋物線的焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.若，則，.參考答案：1．C【分析】考慮三條直線交于一點(diǎn)或與或平行時(shí)，滿足條件，求出答案.【詳解】當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，可將平面分為六個(gè)部分，聯(lián)立與，解得，則將代入中，，解得，當(dāng)與平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)，當(dāng)與平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)，綜上，滿足條件的的值共有3個(gè).故選：C2．D【分析】根據(jù)在拋物線上可求的值，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)后結(jié)合距離公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)樵趻佄锞€上，故，整理得到：即，解得或（舍），故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故所求距離為，故選：D.3．AD【分析】作出函數(shù)的圖象，由直線與函數(shù)在上有1個(gè)公共點(diǎn)，可得，又在上有2個(gè)公共點(diǎn)，可得且，計(jì)算可得的取值范圍．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，

直線與函數(shù)在上有個(gè)公共點(diǎn)，與圓在軸上方的半圓相切，，即，直線與在上有個(gè)公共點(diǎn)，且，且，，，，．故選：AD．4．BC【分析】利用兩點(diǎn)距離公式將題干中復(fù)雜式子轉(zhuǎn)化為幾個(gè)點(diǎn)間的距離，結(jié)合拋物線的定義，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】設(shè)，易知點(diǎn)的軌跡是拋物線的上半部分，拋物線的準(zhǔn)線為直線到準(zhǔn)線的距離，為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于AB，，所以的最小值為，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，，所以的最小值是，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化根號(hào)內(nèi)的式子，聯(lián)想到兩點(diǎn)距離公式，從而數(shù)形結(jié)合即可得解.5．【分析】聯(lián)立直線求解交點(diǎn)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程.【詳解】聯(lián)立與可得，故交點(diǎn)為，傾斜角為，所以斜率為1，故直線方程為，即，故答案為：6．【分析】利用切線長(zhǎng)公式可得，然后利用兩點(diǎn)間距離公式可得.【詳解】由題可知拋物線的焦點(diǎn)為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，所以.由，解得或.又，所以.故答案為：，.反思提升：(1)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法：先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.【考點(diǎn)3】對(duì)稱問題一、單選題1．（2024·天津和平·二模）過直線上的點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線，一束光線從原點(diǎn)出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點(diǎn)，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn).若，則的值為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知圓，直線（且不同時(shí)為0），下列說法正確的是（

）A．當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為B．當(dāng)時(shí)，直線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的方程為：C．當(dāng)時(shí)，圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為D．過點(diǎn)與平行的直線方程為：4．（23-24高二上·廣東東莞·期中）已知直線和三點(diǎn)，，，過點(diǎn)C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（

）A．P在直線l上，則的最小值為B．直線l上一點(diǎn)使最大C．當(dāng)最小時(shí)的方程是D．當(dāng)最小時(shí)的方程是三、填空題5．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：關(guān)于直線的對(duì)稱直線為軸，則的方程為.6．（23-24高二上·福建三明·階段練習(xí)）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營(yíng)所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為．參考答案：1．A【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點(diǎn)等知識(shí)求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，直線關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，與直線垂直，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A.2．B【分析】根據(jù)光學(xué)的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)稱性可先求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，后求直線，可得、兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而由可得.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則得，即，由題意知與直線不平行，故，由，得，即，故直線的斜率為，直線的直線方程為：，令得，故，令得，故由對(duì)稱性可得，由得，即，解得，得或，若，則第二次反射后光線不會(huì)與軸相交，故不符合條件．故，故選：B.3．AB【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：利用直線經(jīng)過?1,1得到x+y=0，求出圓心到直線的距離，借助圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可;對(duì)于B選項(xiàng)：利用直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的求法，求解即可;對(duì)于C選項(xiàng)：借助圓心到直線的距離，半徑，以及圓上的點(diǎn)到直線的距離的大小關(guān)系判斷即可;對(duì)于D選項(xiàng)：借助直線平行的相關(guān)知識(shí)，求出與之平行的直線即可.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑，對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€經(jīng)過?1,1，所以，，所以圓心到直線的距離為，直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，直線，因?yàn)橹本€與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以直線與平行,由于到的距離為2，所以到的距離也為2，所以的方程為：，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，直線,此時(shí)圓心到直線的距離為，由于半徑，所以在直線的右側(cè)：，所以在直線的右側(cè)不存在滿足條件的點(diǎn)；在直線的左側(cè)：，所以在直線的左側(cè)存在滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)；所以圓上只存在2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng)：過點(diǎn)與平行的直線方程可設(shè)為:，將點(diǎn)代入，所以，即,所以過點(diǎn)與平行的直線方程為:，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.4．BC【分析】對(duì)于A：求出點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，然后通過求最小值；對(duì)于B：通過，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最大值來求解；對(duì)于C：設(shè)，求出坐標(biāo)，表示出，利用基本不等式求最小值；對(duì)于D：表示出，利用基本不等式求最小值.【詳解】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值.A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最大值，又，即，聯(lián)立，解得，即直線l上一點(diǎn)使最大，B正確；對(duì)于C：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即，C正確；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即，D錯(cuò)誤.故選：BC.5．或【分析】根據(jù)題意，求出與軸的交點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】

直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，則關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上，所以，則的中點(diǎn)在直線上，所以①，又②，聯(lián)立①②可得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.6．【分析】結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短，只需求其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再求對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的距離即可.【詳解】

由題可知在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得即．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，設(shè)將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)為，則即為與的交點(diǎn)，，解得，所以．故答案為：反思提升：(1)光的反射問題實(shí)質(zhì)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，要注意轉(zhuǎn)化.(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決，也可考慮利用兩條對(duì)稱直線是相互平行的，并利用對(duì)稱中心到兩條直線的距離相等求解.(3)求直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2，有兩種處理方法：①在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程.②設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程.【考點(diǎn)4】直線系方程的應(yīng)用一、單選題1．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知直線的方程是，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線一定經(jīng)過（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（23-24高三上·山東臨沂·期末）過圓C：外一點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線過定點(diǎn)（

）A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）已知圓，直線，下列說法正確的是（

）A．無論取何值，直線與圓相交B．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為C．若，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為D．直線的方程能表示過點(diǎn)的所有直線的方程4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則B．的最小值為C．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，曲線恒過直線與圓的交點(diǎn)D．若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）四點(diǎn)共圓，則三、填空題5．（23-24高三上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知直線恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．6．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為.參考答案：1．A【分析】首先求直線所過定點(diǎn)，再判斷選項(xiàng).【詳解】，，得，定點(diǎn)在第一象限，則直線一定經(jīng)過第一象限故選：A2．A【分析】首先求以為直徑的圓的方程，再讓兩圓相減得到直線的方程，即可求解直線所過的定點(diǎn).【詳解】以為直徑的圓的方程為，即，圓，兩圓方程相減就是直線的方程，即可，整理為，聯(lián)立，得，所以直線恒過定點(diǎn).故選：A3．AC【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可判斷A選項(xiàng)；求出圓心到直線距離的最大值，結(jié)合勾股定理可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求出圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程，可判斷C選項(xiàng)；【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線的方程可變形為，由可得，所以，直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以，點(diǎn)在圓內(nèi)，故無論取何值，直線與圓相交，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取最大值，且其最大值為，此時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，且最短弦長(zhǎng)為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)在直線上，則①，直線，且直線的斜率為，則②，聯(lián)立①②可得，，故若，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若直線表示直線，則，無解，且直線過點(diǎn)，故直線不能表示直線，D錯(cuò).故選：AC.4．BCD【分析】根據(jù)對(duì)稱性判斷直線過圓心，即可判斷A，將直線的方程整理為，即可說明直線所故定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，根據(jù)弦長(zhǎng)公式判斷B，根據(jù)圓系方程，可判斷C，根據(jù)幾何關(guān)系，設(shè)出過四點(diǎn)的圓的方程，再求過圓和圓的交點(diǎn)的直線的方程，代入定點(diǎn)，即可判斷D.【詳解】A.若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線過圓的圓心0,3，即，得，故A錯(cuò)誤；B.，整理為，不管為何值，直線始終過點(diǎn)，當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，圓，圓心是0,3，半徑，圓心0,3和點(diǎn)的距離是，所以最短弦長(zhǎng)，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，直線，曲線，即，所以曲線為過直線與圓交點(diǎn)的曲線方程，故C正確；D.若四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心，的中點(diǎn)為，所以的垂直平分線方程為，所以，圓的方程為，整理為，直線是圓與圓的交線，圓與圓的方程相減得所以直線的方程是，將直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得，得，所以直線，即直線的斜率為，即，則，故D正確.故選：BCD5．【分析】首先化簡(jiǎn)直線方程，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由直線化為，令，解得，于是此直線恒過點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，∴．故答案為：6．【分析】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)代入方程，求得，即可求解.【詳解】設(shè)所求直線方程為，點(diǎn)在直線上，，解得，所求直線方程為，即．故答案為：.反思提升：幾種常見的直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A．20 B． C．0 D．242．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足：且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·河北保定·開學(xué)考試）函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B．1 C． D．24．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．二、多選題5．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）若三條直線可以圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B．0 C．1 D．36．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營(yíng)，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)，軍營(yíng)所在位置為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營(yíng)，則將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營(yíng)的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是7．（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知直線，下列說法正確的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，關(guān)于軸的對(duì)稱直線為C．直線一定經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．點(diǎn)到直線的最大距離為三、填空題8．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）若與平行，則兩直線之間的距離為.9．（23-24高二上·江蘇南京·期末）求過兩條直線和的交點(diǎn)，且與垂直的直線方程．10．（23-24高二下·山西·期中）已知圓：，則圓心到直線：的最大距離為.四、解答題11．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知兩條平行直線與之間的距離是．(1)求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程；(2)求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程．12．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）已知直線：和：．(1)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)若與互相平行，求與間的距離．參考答案：1．B【分析】根據(jù)兩直線垂直可求出的值，將公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，再將公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，由此可得出的值.【詳解】已知直線的斜率為，直線的斜率為．又兩直線垂直，則，解得．，即，將交點(diǎn)代入直線的方程中，得．將交點(diǎn)代入直線的方程中，得．所以，．故選：B．2．C【分析】設(shè)，借助兩點(diǎn)間距離公式代入計(jì)算后化簡(jiǎn)即可得.【詳解】設(shè)，由，所以6，整理得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.3．A【分析】設(shè)與直線平行且與函數(shù)圖象相切的直線方程為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)，再求出切點(diǎn)到直線的距離，即得答案.【詳解】設(shè)與直線平行且與函數(shù)圖象相切的直線方程為，設(shè)切點(diǎn)為，又因?yàn)?，所以，解得，所以切點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是.故選：A.4．D【分析】根據(jù)平行線間方程的特征，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹突ハ嗥叫?，所以，解?直線可以轉(zhuǎn)化為，由兩條平行直線間的距離公式可得.故選：D5．BD【分析】由題意可得三條直線兩兩都不平行且不同時(shí)過同一個(gè)點(diǎn)，寫出限定條件即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知三條直線兩兩都不平行，且不同時(shí)過同一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)平行時(shí)可得，此時(shí)不合題意，因此；聯(lián)立，即，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為0,1，因此0,1不在上，即可得，可得；所以若三條直線圍成一個(gè)三角形，只需且即可.故選：BD6．ABD【分析】確定關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，確定關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間距離最小來判斷.【詳解】對(duì)于A，如圖①所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由解得，所以將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖②所示，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，將軍先去河流飲馬，再返回軍營(yíng)的最短路程是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖③所示，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程，故C正確；對(duì)于D，如圖④所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，由解得；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.

7．BD【分析】A.由判斷；B.由時(shí)，直線方程為判斷；C.由時(shí)，直線方程為判斷；D.點(diǎn)到定點(diǎn)的距離判斷.【詳解】對(duì)于A，直線，所以直線過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B.當(dāng)時(shí)，直線方程為，關(guān)于軸的對(duì)稱直線為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線方程為，直線不經(jīng)過第四象限，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖所示：設(shè)，由圖象知：，點(diǎn)到直線的最大距離為，故D正確；故選：BD8．【分析】先根據(jù)直線與平行求出參數(shù)，再由兩平行直線間的距離公式可得答案.【詳解】∵直線與平行，∴，解得，∴直線，直線，∴直線與之間的距離，故答案為：.9．【分析】先求出直線和的交點(diǎn)，再設(shè)直線，代入交點(diǎn)求解即可．【詳解】由得，設(shè)直線為，代入解得，故方程為，故答案為：．10．5【分析】求出圓心坐標(biāo)，與直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，再求兩點(diǎn)間的距離，即可得解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，直線：，即，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，則圓心到直線的最大距離為.故答案為：11．(1)(2)【分析】（1）利用兩條直線平行的性質(zhì)求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.（2）根據(jù)所求直線過已知兩直線的交點(diǎn)，以及上的任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)在所求直線上即可求解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€：與：平行，所以，又兩條平行直線：與：之間的距離是，所以解得或（舍去），即直線：，：，設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為，則，解得或7（舍去），故所求直線方程為，（2）設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，由，解得，所以直線經(jīng)過點(diǎn)，在上取一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)設(shè)為，則有，解得，所以直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即：.12．(1)(2)【分析】（1）直接利用直線垂直的充要條件求出的值；（2）利用直線平行的充要條件求出的值，進(jìn)一步求出兩平行線間的距離．【詳解】（1）直線和．當(dāng)直線與互相垂直，故，解得；故；（2）當(dāng)直線與互相平行，則，故直線的方程為；所以直線與間的距離．【能力篇】一、單選題1．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）過原點(diǎn)的直線l的傾斜角為θ，則直線l關(guān)于直線對(duì)稱的直線的傾斜角不可能為（

）A．θ B． C． D．二、多選題2．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四個(gè)命題敘述正確的是（

）A．直線在軸上的截距是1B