廣東省湛江市2024屆高三下學(xué)期4月二模考試 數(shù)學(xué) 含解析

2024年湛江市普通高考第二次模擬測試數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在木試卷上無效。3，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容；高考全部內(nèi)容。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.如圖，這是一件西周晚期的青銅器，其盛酒的部分可近似視為一個圓臺（設(shè)上、下底面的半徑分別為a厘米，b厘米，高為c厘米），則該青銅器的容積約為（?。ǎ〢.立方厘米 B.立方厘米C.立方厘米 D.立方厘米3.函數(shù)在上的值域為（）A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù)的實部為4，則點(diǎn)的軌跡是（）A.直徑為2的圓 B.實軸長為2的雙曲線C.直徑為1的圓 D.虛軸長為2的雙曲線5.已知，則（）A.-2 B.-19 C.15 D.176.當(dāng)，時，，這個基本不等式可以推廣為當(dāng)時，，其中且，.考慮取等號的條件，進(jìn)而可得當(dāng)時，.用這個式子估計可以這樣操作：，則.用這樣的方；法，可得的近似值為（）A.3.033 B.3.035 C.3.037 D.3.0397.已知函數(shù)，，則（）A.當(dāng)有2個零點(diǎn)時，只有1個零點(diǎn)B.當(dāng)有3個零點(diǎn)時，有2個零點(diǎn)C.當(dāng)有2個零點(diǎn)時，有2個零點(diǎn)D.當(dāng)有2個零點(diǎn)時，有4個零點(diǎn)8.在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，與底面所成的角分別為，，且，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.廣東省湛江市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則（）A.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬B.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢C.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為730.50萬D.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為717.02萬10.已知函數(shù)的定義域為，不恒為零，且，則（）A. B.為偶函數(shù)C.在處取得極小值 D.若，則11.下列命題為真命題的是（）A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，，則____________，___________，（本題第一空3分，第二空2分）13.財富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時也是已建成的粵西第一高樓.為測量財富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個最高點(diǎn)A，點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)O，兩個測量基點(diǎn)B，C與O在同一水平面上，他測得米，，在點(diǎn)B處測得點(diǎn)A的仰角為，在點(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角為45°，則財富匯大廈的高度___________米.14.已知，是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)P滿足，則C的離心率的取值范圍是___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）甲、乙兩人進(jìn)行中國象棋比賽，采用五局三勝制，假設(shè)他們沒有平局的情況，甲每局贏的概率均為，且每局的勝負(fù)相互獨(dú)立.（1）求該比賽三局定勝負(fù)的概率；（2）在甲贏第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望16.（15分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若以為直徑的球的表面積為，求二面角的余弦值.17.（15分）在個數(shù)碼構(gòu)成的一個排列中，若一個較大的數(shù)碼排在一個較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個排列的所有逆序的總個數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記為，例如，.（1）計算；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求的通項公式；（3）設(shè)排列滿足，，，求.18.（17分）雙曲線：上一點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6.（1）求的方程.（2）已知，，過點(diǎn)（5，0）的直線與交于M，N（異于A，B）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)P，試問點(diǎn)P到直線的距離是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.19.（17分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，，且，證明：.

2024年湛江市普通高考第二次模擬測試數(shù)學(xué)參考答案1.D【解析】本題考查集合的交集，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因為，所以.2.C【解析】本題考查中國古代數(shù)學(xué)文化與圓臺的體積，考查應(yīng)用意識.該青銅器的容積約為立方厘米.3.B【解析】本題考查三角函數(shù)的值域，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因為，所以，所以，故在上的值域為.4.A【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與圓的方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因為，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是直徑為2的圓.5.D【解析】本題考查二項式定理，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).令，得.因為，所以.6.C【解析】本題考查基本不等式的推廣，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).，則.7.D【解析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)有2個零點(diǎn)時，無零點(diǎn)或只有1個零點(diǎn)；當(dāng)有3個零點(diǎn)時，只有1個零點(diǎn)；當(dāng)有2個零點(diǎn)時，有4個零點(diǎn).8.B【解析】本題考查線面角與三角恒等變換，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).設(shè)，，因為，所以，所以，.因為，所以，解得（負(fù)根已舍去）.9.ACD【解析】本題考查統(tǒng)計，考查數(shù)據(jù)處理能力.由圖可知，B錯誤.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，則極差為736-698.12≈38萬，6×0.6=3.6，所以第60百分位數(shù)為730.50萬，中位數(shù)為萬，A，C，D均正確.10.ABD【解析】本題考查抽象函數(shù)，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).令，得，解得或，當(dāng)時，令，則，則，這與不恒為零矛盾，所以，A正確.令，則，即，為偶函數(shù)，B正確.取，滿足題意，此時不是的極小值點(diǎn)，C錯誤.令，得，若，則，則，則，D正確.11.BC【解析】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，考查邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.設(shè)，，，，易知點(diǎn)P的軌跡是拋物線的上半部分，拋物線的準(zhǔn)線為直線，到準(zhǔn)線的距離，為拋物線的焦點(diǎn)：所以，所以的最小值為，A錯誤，B正確.，所以的最小值是，C正確，D錯誤.12.9；-4【解析】本題考查平面向量的共線問題與對數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因為，所以，解得，所以.13.204【解析】本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).設(shè)米，因為在點(diǎn)B處測得點(diǎn)A的仰角為，所以，則米.因為在點(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角為45°，所以米.由余弦定理，得，即，解得.4.【解析】本題考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).因為，所以，則，所以，則，又，所以C的離心率的取值范圍是.15.解：（1）該比賽三局定勝負(fù)意味著甲、乙兩人前面三局有一人連贏，則該比賽三局定勝負(fù)的概率為.（2）的可能取值為2，3，4，，,,則的分布列為234故.16.（1）證明：連接交于點(diǎn)E，則E為的中點(diǎn)，因為D為的中點(diǎn)，所以，又平面，在平面，所以平面.（2）解：因為，為的中點(diǎn)，所以，且.因為以為直徑的球的表面積為，所以，解得.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則令，得.設(shè)平面的法向量為，，則令，得.因為，且由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17.解：（1）在排列51243中，與5構(gòu)成逆序的有4個，與1構(gòu)成逆序的有0個，與2構(gòu)成逆序的有0個，與4構(gòu)成逆序的有1個，與3構(gòu)成逆序的有0個，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，所以，設(shè)，得，所以，解得，則.因為，所以數(shù)列是首項為1，公比為5的等比數(shù)列，所以，則.（3）因為，所以，所以（或），所以.18.解：（1）依題意可得解得，，故的方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，則，，.直線：，直線：，聯(lián)立與，消去得，解得，所以點(diǎn)在定直線上.因為直線與直線之間的距離為，