浙江省名校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024學(xué)年第二學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科命題：桐鄉(xiāng)高級中學(xué)縉云中學(xué)審校：玉環(huán)中學(xué)溫州中學(xué)考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校?班級?姓名?試場號?座位號及準(zhǔn)考證號；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)集合的交集的定義求結(jié)論.【詳解】不等式的解集為，所以，又，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算先求出復(fù)數(shù)z，再求模長.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故故選：C3.已知，且在方向上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合條件列方程可求結(jié)論.【詳解】在方向上的投影向量為，由已知可得，因?yàn)椋裕?，所以，又，所以與的夾角為.故選：D.4.一個(gè)底面邊長為的正四棱柱形狀的容器內(nèi)裝有一些水（底面放置于桌面上），現(xiàn)將一個(gè)底面半徑為的鐵制實(shí)心圓錐放入該容器內(nèi)，圓錐完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了.若該容器的厚度忽略不計(jì)，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由水上升的體積即為圓錐體積，然后求得圓錐的高、母線，即可求側(cè)面積．【詳解】設(shè)圓錐的高為，所以圓錐的體積，由題意正四棱柱中水上升的體積即為圓錐的體積，所以，所以，則圓錐的母線長為，故圓錐的側(cè)面積為.故選：A5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列，若，則（）A.13 B.26 C.30 D.33【答案】D【解析】【分析】由條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求的通項(xiàng)公式，由此可得，再由關(guān)系求結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以數(shù)列的公差為，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，故，故選：D.6.已知圓與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】求雙曲線的漸近線方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系列方程可得關(guān)系，結(jié)合離心率定義求結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，雙曲線的漸近線方程為，，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)閳A與雙曲線的漸近線相切，所以，即，所以雙曲線的離心率為.故選：B.7.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰好存在兩個(gè)不同的，使得，則的最小正周期不可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意在上恰好有兩個(gè)不同根，進(jìn)而有，再應(yīng)用最小正周期的求法求的范圍，即可得答案.【詳解】由，則，由題意，在上恰好有兩個(gè)不同根，所以在上恰好有兩個(gè)不同根，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)知：，可得，由，顯然各項(xiàng)中只有不可能.故選：D8.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.C D.0【答案】A【解析】【分析】先判斷，由和的符號可確定，故，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可.【詳解】由題意函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則由則恒成立，因的值域?yàn)?，故不可能恒成立，故不成立；?dāng)時(shí)，由得，由得，由得，由得，因，故，即，故，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上遞減；當(dāng)時(shí)，，在上遞增，故，故選：A二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.有一組數(shù)1，2，3，5，這組數(shù)第75百分位數(shù)是3B.在的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若不小于對應(yīng)的臨界值，可以推斷兩變量不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05C.隨機(jī)變量，若，則D.用擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)代換后得到的回歸直線方程為，則，【答案】BD【解析】【分析】對于A：利用百分位數(shù)求解，對于B：用獨(dú)立性檢驗(yàn)知識求解；對于C：利用二項(xiàng)分布求解；對于D：擬合回歸方程來計(jì)算【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故?5百分位數(shù)是，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：在的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若不小于對應(yīng)的臨界值，可以推斷兩變量不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，故B正確；對于選項(xiàng)C：隨機(jī)變量，若，則，解得，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：用擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)代換后得，因?yàn)榇鷵Q后得到的回歸直線方程為，所以，，故D正確；故選：BD10.若正實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由條件結(jié)合基本不等式證明，由此可判斷ABD，消元結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求的最小值判斷C.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，A錯(cuò)誤；，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，正確；因?yàn)椋?，，故，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，正確；故選：BCD.11.已知直棱柱的所有棱長均為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為D.記點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對于選項(xiàng)A；證明平面，即可得到結(jié)論；對于選項(xiàng)B：利用三棱錐的等體積轉(zhuǎn)化法即可求得；對于選項(xiàng)C：主要找準(zhǔn)球心位置，再求出半徑即可；對于選項(xiàng)D：建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量求解距離最小值問題.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋渣c(diǎn)M在平面內(nèi)，因?yàn)榈酌鏋榱庑危?又因?yàn)橹崩庵?，所?又因?yàn)槠矫?平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)M在直線上，由選項(xiàng)A知平面，所以點(diǎn)到平面的距離為,在三角形中，由余弦定理得則，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在體對角線交點(diǎn)處，故點(diǎn)M在與底面垂直且到底面距離為1，因?yàn)?所以的外接圓半徑為，設(shè)外接球半徑為，球心到平面的距離為h，則,即，兩式聯(lián)立得，故外接球體積為，故C正確；對于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)M在線段上，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,,則，故,則,又得，,故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的外接球問題則考慮球心位置，再利用勾股定理求出半徑；求解最短距離問題的基本思路建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求解.非選擇題部分三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在展開式中，常數(shù)項(xiàng)是___________.【答案】【解析】【分析】求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，x的指數(shù)為0的項(xiàng)即為所求.【詳解】的展開式通項(xiàng)，展開式的常數(shù)必使，此時(shí)，，所求常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：13.已知定義在上的函數(shù)，滿足是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】【分析】由條件結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)和奇函數(shù)性質(zhì)，求函數(shù)的周期，結(jié)合周期性性質(zhì)求結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，取可得，令可得，令可得，，所以，，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，是該函數(shù)的一個(gè)周期，所以.故答案為：.14.如圖所示網(wǎng)格中，要從點(diǎn)出發(fā)沿實(shí)線走到點(diǎn)，距離最短的走法中，經(jīng)過點(diǎn)的概率為__________.【答案】【解析】【分析】求出從點(diǎn)出發(fā)沿實(shí)線走到點(diǎn)的情況數(shù)，再求出從點(diǎn)出發(fā)沿實(shí)線走到點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)C的情況數(shù)，兩個(gè)作商即可.【詳解】從點(diǎn)A到點(diǎn)C一共有（一共六步需要向下走兩步），點(diǎn)C到點(diǎn)B一共有（一共四步向右走一步），則根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得從點(diǎn)出發(fā)沿實(shí)線走到點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)C的情況數(shù)為；計(jì)算從點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)沿實(shí)線走到點(diǎn)：如圖連接,則從點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)沿實(shí)線走到點(diǎn)又經(jīng)過的情況為：,同理經(jīng)過另外一條不連上的線情況為，則從點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)沿實(shí)線走到點(diǎn)的情況為；故距離最短的走法中，經(jīng)過點(diǎn)的概率為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：計(jì)算從點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)沿實(shí)線走到點(diǎn)的情況時(shí)先假設(shè)所有的線都是連著的情況數(shù)為，再將經(jīng)過不連著的兩條線時(shí)的情況數(shù)求出來，相減即可.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別是，已知.（1）求角的大?。唬?）若為上一點(diǎn)，且，為的角平分線，求線段的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換可得，進(jìn)而可得；（2）由角平分線定理得，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而根據(jù)可得.【小問1詳解】由得，故，故即，因，故【小問2詳解】由角平分線定理得：，則，中，由余弦定理得：，得，由得：，得.16.如圖，在四棱錐中，，，，，是棱的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取為中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得出且，可證出四邊形為平行四邊形，得出，最后根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明平面.（2）取的中點(diǎn)為，連接，，以為原點(diǎn)，為軸，軸正向，垂直面向上為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量法求出平面的法向量，再利用空間向量求線面角的公式，求出直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】取為中點(diǎn)，連接，且，所以為平行四邊形，故，且平面平面，所以平面.【小問2詳解】取的中點(diǎn)為，連接，.以為原點(diǎn)，為軸，軸正向，垂直面向上為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由面，得：中，，，設(shè)點(diǎn)在平面上的投影是點(diǎn)，,,.則，，設(shè)平面的法向量為.，，令，則，則平面的法向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解不等式可得答案；（2）方法一先分離參數(shù)，結(jié)合隱零點(diǎn)和切線放縮求解函數(shù)最值可得答案，方法二先利用特值求出，然后檢驗(yàn)可得答案.【小問1詳解】定義域?yàn)?令，得；令，得所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.【小問2詳解】方法一：，即成立.記，則，記，顯然為增函數(shù)，且；又由得，所以存在，使得，即，且時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，所以，且，即，所以由整數(shù)恒成立，即整數(shù)，得，即整數(shù)的最大值為.下證：，設(shè)，，時(shí)，，為增函數(shù)，時(shí)，，為減函數(shù)，所以，即.方法二：記，由得，當(dāng)時(shí)，，所以在附近遞增，則且時(shí)，，所以不符合條件.當(dāng)時(shí)，，令，得：令，得，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以時(shí)，恒成立，符合條件，綜上所述，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）分離參數(shù)法：把參數(shù)分離出來，構(gòu)造新函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值來確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用兩個(gè)函數(shù)的最值：通過分析兩個(gè)函數(shù)的最值情況來解決恒成立問題；（3）必要性探路：利用特值先求出參數(shù)的范圍，再證明充分性.18.已知離心率為的橢圓與軸正半軸?軸正半軸分別交于?兩點(diǎn)且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).若面積為，求直線的方程；（3）點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足（記直線的斜率為，直線斜率為），過點(diǎn)作的垂線，垂足為，問：是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出此定值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）或（3）是定值，定值【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率以及三個(gè)參數(shù)的關(guān)系時(shí)，結(jié)合弦長的計(jì)算，建立方程，可得答案；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用分割求三角形面積建立方程，可得答案；（3）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用兩點(diǎn)斜率代入等式，由解方程分情況檢驗(yàn)，可得答案【小問1詳解】由題意可得，又，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】顯然直線的斜率不會(huì)為0，設(shè)直線，設(shè)，則，消去可得，由，則，，解得，所以，直線的方程為或.【小問3詳解】若直線的斜率存在，設(shè)直線，，消可得，由，則，由，即，整理得，，整理得，或.當(dāng)即時(shí)，直線，過點(diǎn)，不符合；當(dāng)即時(shí)，直線，過點(diǎn)，符合；而，故，即點(diǎn)在為直徑的圓上，所以只需取的中點(diǎn)，則故存在，使得為定值.19.定義：為在集合中去掉一個(gè)元素后得到的集合；為集合中的所有元素之和.已知由個(gè)正整數(shù)組成的集合，若對于，都存在兩個(gè)集合，使得，且，就稱集合為“完美集”.（1）若，判斷是否為“完美集”，并說明理由；（2）若集合是“完美集”，證明：是奇數(shù)；（3）若集合是“完美集”，且中所有元素從小到大排序后能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則稱為“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值.【答案】（1）不是；理由見解析（2）證明見解析（3）7【解析】【分析】（1）根據(jù)“完美集”的定義即可判斷；（2）由是偶數(shù)，所以與必定同奇同偶.再分奇數(shù)偶數(shù)討論；（3）先假設(shè)最小值為，推出矛盾，再求當(dāng)時(shí)成立即可.【小問1詳解】不是“完美集”，因?yàn)槿サ?時(shí)，所有元素和為15，無法拆分為兩個(gè)和相等的集合；【小問2詳解】記為集合中的所有元索之和，是偶數(shù)，所以與必定同奇同偶.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，也是奇數(shù)，是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加，故是奇數(shù)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，也是偶數(shù)，設(shè)，則也是“完美集”，重復(fù)上述操