湖南省岳陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

岳陽(yáng)市2025年高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷高一數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，共19道小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、考號(hào)、姓名和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡指定位置.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4．考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】由題意，所以．故選：A．2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由帶存在量詞的命題的否定要求，改變量詞，否定結(jié)論即得.【詳解】將命題的量詞改變，并否定結(jié)論即得：命題“，”的否定是“，”.故選：A.3.的值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再代入特殊角的三角函數(shù)值即得.【詳解】.故選：C.4.已知，，則“關(guān)于的不等式有解”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：若關(guān)于的不等式有解，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式一定有解，此時(shí)無(wú)法確定判別式是否大于零，當(dāng)時(shí)，則，則關(guān)于的不等式有解不能推出，若，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式一定有解，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，所以能推出關(guān)于的不等式有解，所以“關(guān)于的不等式有解”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.若如圖是函數(shù)（且，）的大致圖象，則函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象確定的范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象知，則，所以函數(shù)為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象是由函數(shù)向上平大于零小于個(gè)單位，所以函數(shù)的大致圖象是C選項(xiàng).故選：C.6.下列函數(shù)中，不能用二分法求其零點(diǎn)近似值的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二分法的概念，在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)進(jìn)行逐一判定.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)上單調(diào)遞增，有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于B，函數(shù)，故函數(shù)有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)，故不能用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn).故選：B7.玻璃的透光性是玻璃的一項(xiàng)重要的性能指標(biāo)．某玻璃廠在進(jìn)行產(chǎn)品的性能測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)光線通過(guò)一塊玻璃，強(qiáng)度要損失10%．設(shè)光線原來(lái)的強(qiáng)度為k，通過(guò)x塊這樣的玻璃以后，光線強(qiáng)度為，要使光線削弱為原來(lái)的，至少需要通過(guò)幾塊這樣的玻璃？（已知，）（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】D【解析】【分析】由題意列方程，通過(guò)取對(duì)數(shù)并代值估計(jì)即得.【詳解】由題意，設(shè)通過(guò)x塊這樣的玻璃以后，光線削弱為原來(lái)的，則易得：，即，兩邊取對(duì)數(shù)，可得，故至少需要通過(guò)16塊這樣的玻璃.故選：D.8.已知是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，求解即得參數(shù)范圍.【詳解】由題意，需使①；在上恒成立②；③；④同時(shí)滿足，由②可得；由③可得；由④可得.綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題有個(gè)細(xì)節(jié)是關(guān)鍵，就是需要考慮第一段函數(shù)中真數(shù)部分函數(shù)在上恒為正數(shù)這一條件,而且還要考慮對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形C.函數(shù)的最大值為2D.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】ACD【解析】【分析】由周期公式求出周期即可判斷A；計(jì)算即可判斷B；由正弦函數(shù)性質(zhì)即可判斷C；計(jì)算不等式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以函?shù)的最大值為2，故C正確；對(duì)于D，令，解得，故D正確；故選：ACD10.已知實(shí)數(shù)a,b,c,m，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為D.若，且，則的最小值為【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，利用不等式性質(zhì)即可判斷；對(duì)于B，運(yùn)用作差法比較即得；對(duì)于C，利用三個(gè)二次的關(guān)系，求出的值，再解一元二次不等式即可；對(duì)于D，由題設(shè)等式推出，代入所求式，運(yùn)用基本不等式并判斷等號(hào)成立條件即可判斷.詳解】對(duì)于A，由可知，故可得，即A正確；對(duì)于B，由，因，，可得，故有，即B正確；對(duì)于C，依題意，是方程的兩根，且，則得，解得，于是不等式即，解得或，故其解集為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，且可得或，解得或，因，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但當(dāng)時(shí)，不滿足，故等號(hào)不成立，即的最小值不是，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用軸對(duì)稱有中心對(duì)稱的意義推理可得函數(shù)是偶函數(shù)，再利用單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由為奇函數(shù)，得，即，由偶函數(shù)，得，則，，于是，因此函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，對(duì)于A，，則，A正確；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，，則，，即，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)（且）的圖象過(guò)定點(diǎn)______．【答案】【解析】【分析】代入即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則其所過(guò)定點(diǎn)為.故答案為：.13.已知分別是方程與的實(shí)數(shù)解，則的值為_(kāi)_____．【答案】10【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象，將看成與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，看成與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線也關(guān)于直線對(duì)稱，則得點(diǎn)與點(diǎn)也關(guān)于直線對(duì)稱，即可列式計(jì)算.【詳解】由可得，由可得，不妨記，依題意，為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出這些函數(shù)的圖象如下：因函數(shù)與是一對(duì)反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而直線與直線垂直，故也關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)與點(diǎn)也關(guān)于直線對(duì)稱，故得，化簡(jiǎn)得：，即.故答案為：10.14.已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由原函數(shù)和所求函數(shù)求得其定義域，化簡(jiǎn)所求函數(shù)解析式，利用換元，得到一元二次函數(shù)，結(jié)合其圖象性質(zhì)即可求得函數(shù)值域.【詳解】因，，，則由，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，則，且在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，因，故函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)，，滿足，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明．【答案】（1）（2）為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用函數(shù)值代入解析式，得到方程組，求解即得；（2）利用奇函數(shù)的定義計(jì)算化簡(jiǎn)即可判別.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以得，，所以【小?wèn)2詳解】因的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，恰好與單位圓O相交于點(diǎn)，過(guò)A作x軸的垂線，垂足為B．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）理解題意，利用三角函數(shù)的定義即可求得；（2）由三角函數(shù)的定義先求得，再利用二倍角公式將所求式化簡(jiǎn)成齊次的弦的分式，運(yùn)用同角的三角函數(shù)關(guān)系式化弦為切，代入計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】由題意得角的終邊與單位圓O相交于，所以．【小問(wèn)2詳解】因角的終邊與單位圓O相交于，故，則．17.春節(jié)期間，“旅游潮”、“探親潮”將為交通帶來(lái)巨大壓力．已知某火車(chē)站候車(chē)廳，候車(chē)人數(shù)與時(shí)刻t有關(guān)，時(shí)刻t滿足，．經(jīng)觀察，當(dāng)時(shí)，候車(chē)人數(shù)達(dá)到滿廳人數(shù)5000人，當(dāng)時(shí)，候車(chē)人數(shù)相對(duì)于滿廳人數(shù)減少，減少人數(shù)與成正比．已知時(shí)，候車(chē)人數(shù)為3800人，記候車(chē)廳候車(chē)人數(shù)為．（1）求的表達(dá)式；（2）鐵路系統(tǒng)為了體現(xiàn)“人性化”管理，每逢整點(diǎn)時(shí)，會(huì)給旅客提供免費(fèi)面包，數(shù)量為，求t為何值時(shí)，需要提供的免費(fèi)面包數(shù)量最少．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依題意設(shè)得的解析式，代入，確定參數(shù)，即得的表達(dá)式；（2）根據(jù)分段函數(shù)解析式，分別利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求其最值并比較即得.【小問(wèn)1詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，因，解得，，【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，故得.又，所以當(dāng)時(shí)，需要提供的面包數(shù)量最少．18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象得出周期，即可根據(jù)三角函數(shù)周期計(jì)算得出，將點(diǎn)代入新解析式，得，根據(jù)已知得出范圍，結(jié)合三角函數(shù)的零點(diǎn)得出，將點(diǎn)代入新解析式，即可得出，即可得出答案；（2）設(shè)，根據(jù)已知結(jié)合誘導(dǎo)公式與輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合已知與函數(shù)單調(diào)性的定義得出在區(qū)間上單調(diào)遞減，由三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解出的單調(diào)遞減區(qū)間，即可根據(jù)范圍結(jié)合集合包含關(guān)系列出不等式組，即可解出答案.【小問(wèn)1詳解】由圖象可知，周期，，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以，即，又，，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以，即，故函數(shù)的解析式為.【小問(wèn)2詳解】由題意可得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，令，解得，因?yàn)?，所以，則，故，解得，所以最大值為.19.若函數(shù)滿足：對(duì)于任意正數(shù)m,n，都有,，且，則稱函數(shù)為“速增函數(shù)”．（1）試判斷函數(shù)與是否為“速增函數(shù)”；（2）若函數(shù)為“速增函數(shù)”，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)為“速增函數(shù)”，且，求證：對(duì)任意，都有．【答案】（1）不是“速增函數(shù)”，不是“速增函數(shù)”（2）．（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“速增函數(shù)”的定義易判斷不是“速增函數(shù)”；通過(guò)舉反例，結(jié)合“速增函數(shù)”的定義可判斷不是“速增函數(shù)”；（2）由是“速增函數(shù)”可得①與②兩式恒成立，經(jīng)等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用參變分離，即可求得參數(shù)范圍；（3）由函數(shù)為“速增函數(shù)”，取可推得f2mfm>2，利用迭代法推出f2kmf【小問(wèn)1詳解】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，有f1m=m>0，f因?yàn)?，所以，故根?jù)“速增函數(shù)”的定義可得：不是“速增函數(shù)”．對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有f2m故根據(jù)“速增函數(shù)”的定義可得：不是“速增函數(shù)”．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭恰八僭龊瘮?shù)”，根據(jù)“速增函數(shù)”的定義可得：當(dāng)時(shí)，gn=當(dāng)，時(shí)，恒成立②．由①可得：對(duì)一切正數(shù)n恒成立又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以對(duì)一切正數(shù)n恒成立，故得．由②可得：gn+m即對(duì)一切正數(shù)n，m恒成立．因?yàn)?，所以，又因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，所以，由對(duì)