湖北省十一校2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考(一模)數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

鄂南高中黃岡中學(xué)黃石二中荊州中學(xué)龍泉中學(xué)武漢二中孝感高中襄陽(yáng)四中襄陽(yáng)五中宜昌一中夷陵中學(xué)2025屆高三湖北省十一校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)命題學(xué)校:黃岡中學(xué)命題教師:李鋼鋒蔡盛陳曉潔審題學(xué)校:荊州中學(xué)注意事項(xiàng):1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合交集的知識(shí)求解即可.【詳解】則故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可；【詳解】由，則，即.故選：A.3.已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量為，則（）A B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用投影向量的定義可得，代入坐標(biāo)計(jì)算可求得.【詳解】向量在方向上的投影向量為，所以，解得.故選：A.4.某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測(cè)量其長(zhǎng)度(單位:厘米)，將測(cè)量數(shù)據(jù)分成6組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果要讓90%的產(chǎn)品長(zhǎng)度不超過(guò)厘米，根據(jù)直方圖估計(jì)，下列最接近的數(shù)是（）A.93.5 B.94.1C.94.7 D.95.5【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，結(jié)合第90百分位數(shù)求出.【解答】觀察頻率分布直方圖，得，則，，所以，與最接近的數(shù)為.故選：C5.下列選項(xiàng)中，與不相等的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判斷A；根據(jù)正切的誘導(dǎo)公式可判斷BC，根據(jù)正切的和角公式可判斷D.詳解】，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：D6.已知直三棱柱中，，，點(diǎn)到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可得三棱柱的高，確定外接球球心，結(jié)合勾股定理可得外接球半徑與外接球表面積.【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，平面，又平面，，，，平面，且，平面，平面，，易知，，，，，則，設(shè)外接圓圓心為，外接圓圓心為，則，即，且三棱柱外接球球心為中點(diǎn)，則外接球半徑，表面積為，故選：.7.蒙日是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上.若恒為銳角，根據(jù)蒙日?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)得橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)蒙日?qǐng)A定義求得橢圓的蒙日?qǐng)A方程，根據(jù)為銳角可知直線與蒙日?qǐng)A相離，根據(jù)直線與圓位置關(guān)系可求得范圍，進(jìn)而得到離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，直線，與橢圓都相切，，所圍成矩形的外接圓即為橢圓的蒙日?qǐng)A，為橢圓上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足為銳角，

點(diǎn)在圓外，又動(dòng)點(diǎn)在直線上，直線與圓相離，，解得：，又，；橢圓離心率，，.故選：B.8.已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，是的?dǎo)數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（）A.80 B.75 C.70 D.65【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合題意可得，，進(jìn)而可得，且，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，求導(dǎo)可得，因?yàn)椋?，則，可得，且，則，可得，即，可得，可知8為的一個(gè)周期，且，對(duì)于，，令，可得，，可得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期即可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷B；根據(jù)左右平移的原則即可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，的周期，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)?，所以，所以在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知函數(shù)，定義域?yàn)椋瑒t下列結(jié)論正確的是（）A若且，則B.已知且，則“”是“”的充分條件C.方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，利用可判斷A；計(jì)算得可判斷B；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，進(jìn)而可判斷C，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得結(jié)論判斷D.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以的單調(diào)遞增區(qū)間，對(duì)于A，令，得，所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B，由已知得，充分性得證，所以B正確;對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，且，所以方程與分別有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，故方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故C正確;對(duì)于D中，由，即，令，可得，所以在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即，因，可得，所以，得，所以，故D正確.故選：BCD.11.雙紐線是卡西尼卵形線的一類(lèi)分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美.雙紐線的圖形輪廓像“”，是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形B.曲線上滿足的點(diǎn)有2個(gè)C.D.曲線上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處切線的斜率為0【答案】ACD【解析】【分析】由題意中等式結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式表示出曲線方程可得A正確；由可得這樣的點(diǎn)只有1個(gè)，即為原點(diǎn)可得B錯(cuò)誤；由曲線方程整理出可得C正確；由圖象觀察可得D正確；也可由導(dǎo)數(shù)的意義求出.【詳解】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為則曲線，故正確；對(duì)于，若，則，這樣的點(diǎn)只有1個(gè)，即為原點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得，整理得，，所以，故C正確；對(duì)于D，從雙紐線的圖形上，可以觀察有四個(gè)點(diǎn)處切線的斜率為0，另外，由得，則，令或0，經(jīng)計(jì)算曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)的關(guān)鍵是能利用曲線方程整理出兩點(diǎn)間公式，再求出范圍.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且其前項(xiàng)和為.若，則_____.【答案】1【解析】【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)與通項(xiàng)公式求解即可；【詳解】由得，，解得，即，解得，所以.故答案為：1.13.若直線為曲線的一條切線，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再結(jié)合題意求出的關(guān)系，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，整理可得，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)直線為曲線的一條切線，求出的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.14.克羅狄·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師，托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為:圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積等于兩組對(duì)邊長(zhǎng)的乘積之和.已知四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，且，若，則（1）圓的半徑是______________，（2）四邊形面積的取值范圍是_________.【答案】①.2②.【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用正弦定理可得，即可得，即可得外接圓半徑；分析可知，，取臨界狀態(tài)，分析可知點(diǎn)A在劣弧或上，且與的夾角，進(jìn)而可求面積.【詳解】由托勒密定理，得．因?yàn)椋裕O(shè)圓的半徑為，由正弦定理，得．又，所以．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，則，故．因?yàn)椋芍c(diǎn)到直線的距離，可知直線為以為圓心，半徑為1的圓的切線，在中，可知，結(jié)合圓的性質(zhì)可知點(diǎn)在優(yōu)弧上，取，則；取，則；取，則；取，則；可知點(diǎn)A在劣弧或上，且與的夾角，所以四邊形面積.故答案為：2；.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，.（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件建立空間直角坐坐標(biāo)系，利用向量證明線面垂直即可；（2）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠橹崩庵覟檎切?，以、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件得、、、、，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，所以，，所以，，又，、平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】易知，則，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，故當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值為.16.已知雙曲線：（，）的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上，當(dāng)時(shí)，.（1）求的離心率；（2）已知，，兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若，求的面積.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求出時(shí)的坐標(biāo)，根據(jù)，列出關(guān)于的齊次等式，即可求離心率；（2）先求出雙曲線方程與漸近線方程，通過(guò)找出坐標(biāo)之間關(guān)系，用坐標(biāo)表示的坐標(biāo)，代入雙曲線方程得到，再用表示出的面積，整體代入即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，將代入雙曲線方程得，此時(shí)，所以，即，，則，所以（負(fù)值舍去），故的離心率為2.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由?）知，雙曲線方程為：，漸近線方程為，設(shè)，則，所以，又在雙曲線上，所以，整理得：，由漸近線方程為得，所以的面積為.17.2023年6月7日，21世紀(jì)汽車(chē)博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車(chē)模型公司共有25個(gè)汽車(chē)模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求和，并判斷事件和事件是否獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車(chē)模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎(jiǎng)金額，寫(xiě)出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），，事件和事件不獨(dú)立．（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式和事件的獨(dú)立性定義即可得出.

（2）分別求出三種結(jié)果對(duì)應(yīng)的概率，比較大小，確定對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列，利用期望公式進(jìn)行計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾個(gè)，米色內(nèi)飾個(gè)，則對(duì)應(yīng)的概率，若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀個(gè)，藍(lán)色外觀個(gè)，則對(duì)應(yīng)的概率．取到紅色外觀的模型同時(shí)是棕色內(nèi)飾的有個(gè)，即，則，，，即事件和事件不獨(dú)立．【小問(wèn)2詳解】由題意知，，，則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率，外觀和內(nèi)飾都異色的概率，僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率，，，，，則的分布列為：150300600則（元）．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)任意的時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記，若，且，求證：.（參考公式：）【答案】（1）在上為增函數(shù)（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求得，即可求解；（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，可得，再分和兩種情況討論，即可求解；（3）根據(jù)條件得到，令，得到，再利用，可得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，則，令，得到，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則，所以在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，設(shè)，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間為增函數(shù)，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，故，符合題意；當(dāng)時(shí)，，且在為增函數(shù)，故存在滿足，則在遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】，由，得，所以，兩邊同除以，得，所以，令，得，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋郑字?，所以，又，所以，故，?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題；③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為