廣東省汕頭市潮陽區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

潮陽區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高一級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)第I卷選擇題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元一次不等式得集合N，然后與集合M取并集即得答案.【詳解】求解不等式，得，即集合，又所以；故選：C2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解.【詳解】命題“，”的否定為“，”，故選：B.3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡即可求出.【詳解】,故選：4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，綜上，.故選：B5.設(shè)，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且時(shí)，才可能使得，根據(jù)分段函數(shù)，代數(shù)對(duì)應(yīng)的解析式，建立關(guān)于的方程，解方程即可得解.【詳解】畫出畫出函數(shù)的圖象，如上圖所示，由圖象可知，當(dāng)且時(shí)，才可能使得，所以解得故選：B6.已知冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)嗎函數(shù)的定義和圖象與性質(zhì)可得，進(jìn)而求出，結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性求出參數(shù)即可.【詳解】由冪函數(shù)定義知，，解得或，當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，符合題意，故.所以，其圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為直線，又在上單調(diào)，則或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D7.已知，，則的值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知條件兩邊平方，求得的值以及判斷和的符號(hào)，將由，求得的值，再等價(jià)變形，代入即可得解.【詳解】由兩邊平方得，即，而，故.所以，而解得，所以，故選：A.8.已知是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且的圖象關(guān)于對(duì)稱．對(duì)于給定的正數(shù)，定義函數(shù)，若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得出的奇偶性，然后利用奇偶性求出的解析式，根據(jù)函數(shù)定義，再結(jié)合的解析式即可畫出的圖象，最后將函數(shù)有零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有交點(diǎn)問題，從而可得解.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，即，所以，由題意可得，函數(shù)的圖象如下圖所示：若函數(shù)有零點(diǎn)，等價(jià)于方程有解，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，由上圖可知，當(dāng)時(shí)，滿足題意.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.可能為銳角 B.C. D.點(diǎn)在第二象限【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定角所在象限判斷A；利用三角函數(shù)定義求解判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角為第二象限角，不可能為銳角，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，，則點(diǎn)在第三象限，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知且，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知條件求的取值范圍，即可判斷A；由指數(shù)冪的運(yùn)算判斷C；利用基本不等式判斷B、D.【詳解】對(duì)于A，且，可知，，所以所以，即，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故D正確；故選：ACD11.已知不等式，下列說法正確的有（）A.若，則不等式的解集為B.若，則不等式的解集為C.若，恒成立，則整數(shù)的取值集合為D.若恰有兩個(gè)整數(shù)使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】先因式分解得到二次函數(shù)的兩點(diǎn)式，代入，即可得，從而可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)得出，從而可直接解，即可判斷B選項(xiàng)；分與討論，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為含參二次不等式恒成立問題，寫出等價(jià)條件，解不等式組即可判斷C選項(xiàng)；分與討論，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】，對(duì)于A，若，恒成立，所以的解集為，故A正確；對(duì)于B，若，則，的解集為，故B正確；對(duì)于C，恒成立，即，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于解不等式組得，所以整數(shù)的取值為，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意.綜上所述，整數(shù)的取值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，的解集為，易知該解集中不止兩個(gè)整數(shù)解，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，的解集為，若該解集中恰有兩個(gè)整數(shù)解，則，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D正確故選：ABD第II卷非選擇題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶次根式的被開方數(shù)大于等于0及分母不等于0，建立不等式組，解不等式組即可得解.【詳解】由題意可得，解不等式組得且所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?3.________．【答案】13【解析】【分析】由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合換底公式即可求得結(jié)果.【詳解】原式故答案為：1314.設(shè)函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，，則________，集合中所有元素之積為________【答案】①.②.##【解析】【分析】代入計(jì)算求出函數(shù)值；分段求出函數(shù)的值域，進(jìn)而求出集合中所有元素之積.【詳解】函數(shù)，則；，因此函數(shù)的周期為，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，因此，，所以集合中所有元素之積.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分段討論求出函數(shù)的值域是求得第2空答案的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)全集，集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，且“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化簡集合A，代入，得到集合B根據(jù)補(bǔ)集與交集的運(yùn)算，可得答案；（2）根據(jù)必要不充分條件的集合表示，建立不等式組，可得答案.【小問1詳解】解一元二次不等式，得或，所以或，所以當(dāng)時(shí)，所以【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以，又因?yàn)樗曰蚪獠坏仁浇M得綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為16.已知函數(shù)的最小正周期為，且．（1）求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求在上的最大值與最小值．【答案】（1），；（2）最大值與最小值分別為.【解析】【分析】（1）利用給定條件，求出即得的解析式，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性求出遞減區(qū)間.（2）求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值.【小問1詳解】由函數(shù)的最小正周期為，得，解得，由，得，解得，所以函數(shù)的解析式為；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上的最大值與最小值分別為.17.某科研單位的研究人員對(duì)某種細(xì)菌的繁殖情況進(jìn)行了研究，在培養(yǎng)皿中放入了一定數(shù)量的細(xì)菌，經(jīng)過1小時(shí)細(xì)菌的數(shù)量變?yōu)?2個(gè)，再經(jīng)過2小時(shí)細(xì)菌的數(shù)量變?yōu)?7個(gè)，并發(fā)現(xiàn)該細(xì)菌的個(gè)數(shù)增長的速度越來越快．現(xiàn)該細(xì)菌數(shù)量（單位：個(gè)）與經(jīng)過時(shí)間（，單位：小時(shí)）的關(guān)系有以下兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇：①；②．（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；（2）求開始時(shí)放入的細(xì)菌的數(shù)量，并求至少經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)該細(xì)菌的數(shù)量多于開始放入時(shí)的100000倍．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）開始時(shí)放入的細(xì)菌的數(shù)量為8個(gè)，至少經(jīng)過29個(gè)小時(shí)該細(xì)菌的數(shù)量多于開始放入時(shí)的100000倍.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的增長速度比較即可得模型，代入數(shù)值即可待定出參數(shù)；（2）由題意列出指數(shù)不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)函數(shù)圖象可知：的增長速度越來越快，的增長速度越來越慢，依題意選函數(shù)更適合，則有，解得，即.【小問2詳解】令，則，即開始時(shí)放入的細(xì)菌的數(shù)量為8個(gè)，令，∴，∵，∴至少經(jīng)過29個(gè)小時(shí)該細(xì)菌的數(shù)量多于開始放入時(shí)的100000倍.18.設(shè)函數(shù)．（1）判斷的奇偶性并予以證明；（2）設(shè)，經(jīng)研究，此時(shí)有，證明：；（3）設(shè)，且，若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)定義推理即得.（2）根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可得證.（3）探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，求出在上的最大值與最小值的差即可得解.【小問1詳解】函數(shù)是奇函數(shù).函數(shù)中，由，得，，，所以函數(shù)是奇函數(shù).【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，因此，，所以.【小問3詳解】由，得，又，由（1）（2）得，函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，由，，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)，并說明理由．（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出的取值集合；若不存在，說明理由．（3）若函數(shù)同時(shí)滿足下列條件，求所有可能的非空數(shù)集：①具有性質(zhì)；②，都有．【答案】（1）函數(shù)，具有性質(zhì)，理由見解析（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)具有性質(zhì)，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)具有性質(zhì)的定義判斷即可；（2）根據(jù)余弦函數(shù)的周期性，即可求出的取值集合.（3）采用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行分類討論分析即可得出結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以，即；所以函數(shù)，具有性質(zhì)；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)具有性質(zhì)，理由如下：由函數(shù)周期性可知，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，所以函數(shù)具有性質(zhì).【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，與的草圖如下圖所示：