高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明211合情推理人教版省公開課一等獎(jiǎng)新課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第二章推理與證實(shí)2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理1/39

從前有個(gè)財(cái)主，想教兒子識(shí)字，請(qǐng)來(lái)一位教書先生.先生把著學(xué)生筆桿兒，寫一橫，告訴是個(gè)“一”字；寫兩橫，告訴是個(gè)“二”字；寫三橫，告訴是個(gè)“三”字.學(xué)到這里，兒子就告訴父親說(shuō)：“我已經(jīng)學(xué)會(huì)了寫字，不用先生再教了.”于是，財(cái)主就把教書先生給解聘了.

一天，財(cái)主要邀請(qǐng)一位姓萬(wàn)朋友，叫兒子寫張請(qǐng)?zhí)?財(cái)主兒子怎么寫?2/39探究點(diǎn)1歸納推理【1】1742年哥德巴赫(Goldbach,1690～1764,是德國(guó)一位中學(xué)教師,也是一位著名數(shù)學(xué)家,1725年當(dāng)選為俄國(guó)彼得堡科學(xué)院院士)觀察到:3/39猜測(cè):任何一個(gè)大于6偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和.

任何一個(gè)大于6偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和.哥德巴赫猜測(cè)4/39哥德巴赫猜測(cè)過(guò)程：詳細(xì)材料觀察分析猜測(cè)出普通性結(jié)論5/39【3】成語(yǔ)“一葉知秋”【2】統(tǒng)計(jì)初步中用樣本預(yù)計(jì)總體

經(jīng)過(guò)從總體中抽取部分對(duì)象進(jìn)行觀察或試驗(yàn),進(jìn)而對(duì)整體作出推斷.

意思是從一片樹葉凋謝,知道秋天將要來(lái)到.比喻由細(xì)微跡象看出整體形勢(shì)改變,由部分推知全體.6/39

由某類事物

含有一些特征,推出該類事物

都含有這些特征推理,或者由

概括出

推理,稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）.歸納推理特點(diǎn)：部分→整體，個(gè)別→普通.銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜測(cè):全部金屬都導(dǎo)電.又如猜測(cè):部分對(duì)象全部對(duì)象個(gè)別事實(shí)普通結(jié)論7/39

分析：數(shù)列通項(xiàng)公式表示是數(shù)列{an}第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間對(duì)應(yīng)關(guān)系.為此，我們先依據(jù)已知遞推公式，算出數(shù)列前幾項(xiàng).例1.已知數(shù)列{an}第1項(xiàng)a1=1,且(n=1,2,…)，試歸納出這個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式.解:當(dāng)n=1時(shí)，a1=1;當(dāng)n=2時(shí)，8/39當(dāng)n=3時(shí)，當(dāng)n=4時(shí)，

觀察可得，數(shù)列前4項(xiàng)都等于對(duì)應(yīng)序號(hào)倒數(shù).由此猜測(cè)，這個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式為9/39

春秋時(shí)代魯班在林中砍柴時(shí)被齒形草葉割破了手,他由此受到啟發(fā)從而創(chuàng)造了鋸.探究點(diǎn)2類比推理10/39

類似于魯班創(chuàng)造鋸子，還有一些創(chuàng)造或發(fā)覺也是這么得到.魚類潛水艇蜻蜓直升機(jī)形狀，沉浮原理外形，飛行原理

仿生學(xué)中許多創(chuàng)造最初構(gòu)想都是類比生物機(jī)制得到.11/39可能有生命存在有生命存在溫度適合生物生存一年中有四季變更有大氣層大部分時(shí)間溫度適合地球上一些已知生物生存一年中有季節(jié)變更有大氣層行星、圍繞太陽(yáng)運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)行星、圍繞太陽(yáng)運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)火星地球火星上是否有生命？12/39火星與地球類比思維過(guò)程：火星地球存在類似特征地球上有生命存在猜測(cè)火星上也可能有生命存在類比推理過(guò)程（步驟）觀察、比較聯(lián)想、類推猜測(cè)新結(jié)論13/39

由兩類對(duì)象含有一些類似特征和其中一類對(duì)象一些已知特征,推出另一類對(duì)象也含有這些特征推理稱為類比推理.類比推理(1)類比推理是由特殊到特殊推理.(2)利用類比推理經(jīng)常先要尋找適當(dāng)類比對(duì)象,我們能夠從不一樣角度出發(fā)確定類比對(duì)象,基本標(biāo)準(zhǔn)是要依據(jù)當(dāng)前問(wèn)題需要,選擇適當(dāng)類比對(duì)象.14/39(1)類比是從人們已經(jīng)掌握事物屬性,推斷正在研究中事物屬性,它以已經(jīng)有知識(shí)為基礎(chǔ),類比出新結(jié)論.(2)是從一事物特殊屬性推斷另一個(gè)事物特殊屬性.(3)類比結(jié)果含有猜測(cè)性.類比推理特點(diǎn)15/39例2類比實(shí)數(shù)加法和乘法，列出它們相同運(yùn)算性質(zhì).分析：實(shí)數(shù)加法和乘法都是由兩個(gè)數(shù)參加運(yùn)算，都滿足一定運(yùn)算律，都存在逆運(yùn)算，而且“0”和“1”分別在加法和乘法中占有特殊地位.所以，我們能夠從上述4個(gè)方面來(lái)類比這兩種運(yùn)算.解：（1）兩個(gè)實(shí)數(shù)經(jīng)過(guò)加法運(yùn)算或乘法運(yùn)算后，所得結(jié)果依然是一個(gè)實(shí)數(shù).16/39(2)從運(yùn)算律角度考慮，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，即(3)從逆運(yùn)算角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，加法逆運(yùn)算是減法，乘法逆運(yùn)算是除法，這就使得方程17/39都有唯一解(4)在加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大?。怀朔ㄖ?與加法中0類似，即任意實(shí)數(shù)與1積都等于原來(lái)數(shù).即18/39三角形思索：你認(rèn)為平面幾何中哪一類圖形能夠作為四面體類比對(duì)象？例3：類比平面內(nèi)直角三角形勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)猜測(cè)．分析：考慮到直角三角形兩條邊相互垂直，我們能夠選取有3個(gè)面兩兩垂直四面體，作為直角三角形類比對(duì)象.ＡＢＣabcDPEFs1s2s319/39解：如上圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.設(shè)a,b,c分別表示三條邊長(zhǎng)度，由勾股定理，得20/39類比勾股定理結(jié)構(gòu)，我們猜測(cè)成立.21/39

歸納推理由部分到整體、特殊到普通推理;以觀察分析為基礎(chǔ),推測(cè)新結(jié)論;含有發(fā)覺功效;結(jié)論不一定成立

類比推理由特殊到特殊推理;以舊知識(shí)為基礎(chǔ),推測(cè)新結(jié)論;含有發(fā)覺功效;結(jié)論不一定成立【總結(jié)提升】22/39提出猜測(cè)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比從詳細(xì)問(wèn)題出發(fā)通俗地說(shuō)，合情推理是指“合乎情理”推理.合情推理歸納推理類比推理23/39

例4如圖所表示，有三根針和套在一根針上若干金屬片.按以下規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.123

1.每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；2.較大金屬片不能放在較小金屬片上面.

試推測(cè)：把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次?24/39分析：我們從移動(dòng)1,2,3,4個(gè)金屬片情形入手，探究其中規(guī)律性，進(jìn)而歸納出移動(dòng)n個(gè)金屬片所需次數(shù).解：當(dāng)n=1時(shí)，只需把金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，用符號(hào)（13）表示，共移動(dòng)了1次.

當(dāng)n=2時(shí)，為了防止將較大金屬片放在較小金屬片上面，我們利用2號(hào)針作為“中間針”，移動(dòng)次序是：25/39

（1）把第1個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針；（2）把第2個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針；（3）把第1個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針；用符號(hào)表示為：（12）（13）（23）共移動(dòng)了3次.當(dāng)n=3時(shí)，把上面兩個(gè)金屬片作為一個(gè)整體，歸結(jié)為n=2情形，移動(dòng)次序是：（1）把上面兩個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針；26/39

（2）把第3個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針；（3）把上面兩個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針；其中（1）和（3）都需要借助中間針.用符號(hào)表示為：（13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13）共移動(dòng)了7次.

當(dāng)n=4時(shí)，把上面3個(gè)金屬片作為一個(gè)整體，移動(dòng)次序是：（1）把上面3個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針；27/39

（2）把第4個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針；（3）把上面3個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針；用符號(hào)表示為：（12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）；（13）；（23）（21）（31）（23）（12）（13）（23）.共移動(dòng)了15次.至此，我們得到依次移動(dòng)1,2,3,4個(gè)金屬片所需次數(shù)組成數(shù)列.28/391,3,7,15.觀察這個(gè)數(shù)列，能夠發(fā)覺其中蘊(yùn)含著以下規(guī)律：

由此我們猜測(cè)：若把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，最少需要移動(dòng)an次，則數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為：29/39思索：把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,怎樣移動(dòng)才能到達(dá)最少移動(dòng)次數(shù)呢?

經(jīng)過(guò)探究上述n=1,2,3,4時(shí)移動(dòng)方法，我們能夠歸納出對(duì)n個(gè)金屬片都適用移動(dòng)方法.當(dāng)移動(dòng)n個(gè)金屬片時(shí)，可分為以下3個(gè)步驟：（1）把上面（n-1）個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針；（2）把第n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針；（3）把上面(n-1)個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針.30/39這么就把移動(dòng)n個(gè)金屬片任務(wù)，轉(zhuǎn)化為移動(dòng)兩次（n-1）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第n個(gè)金屬片任務(wù).而移動(dòng)（n-1）個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次（n-2）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第（n-1）個(gè)金屬片，移動(dòng)（n-2）個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次（n-3）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第（n-2）個(gè)金屬片……如此繼續(xù).直到轉(zhuǎn)化為移動(dòng)1個(gè)金屬片情形.依據(jù)這個(gè)過(guò)程，可得遞推公式31/39從這個(gè)遞推公式出發(fā)，能夠證實(shí)（1）式是正確.

普通來(lái)說(shuō)，由合情推理所取得結(jié)論，僅僅是一個(gè)猜測(cè)，未必可靠.費(fèi)馬猜測(cè)：32/39

一樣地，類比推理所得結(jié)論也不一定可靠，你能舉一個(gè)例子嗎？

半個(gè)世紀(jì)之后，歐拉發(fā)覺：猜測(cè)：不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬猜測(cè)33/39BC34/393.（·新課標(biāo)全國(guó)卷I）甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A、B、C三個(gè)城市時(shí)，

甲說(shuō)：我去過(guò)城市比乙多，但沒去過(guò)B城市；

乙說(shuō)：我沒去過(guò)C城市；

丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市；

由此可判斷乙去過(guò)城市為________.解：由丙可知，乙最少去過(guò)一個(gè)