2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則（）A.15 B.－15 C.－13 D.133.如果數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，那么的值為（）A.38 B.39 C.40 D.414.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（）A. B. C.11 D.95.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A. B.C.或 D.或6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則取最小值時(shí)，的值為（）A. B. C. D.或7.記為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則（）A.23 B.24 C.25 D.268.設(shè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，，則的最大值為（）A.32 B.16 C.128 D.64二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分．部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論正確的有（）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線的傾斜角的取值范圍是C.經(jīng)過點(diǎn)，直線方程均可用表示D.直線和都經(jīng)過點(diǎn)，則過兩點(diǎn)，的直線方程為10.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.使為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為0 D.的最小值為11.數(shù)列an前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（）A. B.C. D.數(shù)列前項(xiàng)和為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若平面內(nèi)三點(diǎn)，，共線，則實(shí)數(shù)______．13.已知是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，若，，則的值是______．14.如圖，將一個(gè)邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…，記為第n個(gè)圖形的周長，記為第n個(gè)圖形的面積，則______，______．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.設(shè)m為實(shí)數(shù)，直線在x軸、y軸上截距之和等于1，且與x軸的交點(diǎn)記作A．（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）直線過點(diǎn)A且傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的方程16.已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列an（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．17.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.18已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求；（3）對(duì)于（2）中的，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．19.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：；（3）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)，記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】把直線的一般式方程化為斜截式方程，然后根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】，由此可知該直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，故選：A2.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則（）A.15 B.－15 C.－13 D.13【正確答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以有，或舍去，，故選：C3.如果數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，那么的值為（）A.38 B.39 C.40 D.41【正確答案】B【分析】根據(jù)與之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B4.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（）A. B. C.11 D.9【正確答案】C【分析】由定比數(shù)列的項(xiàng)之間的性質(zhì)求出的值，再用等比中項(xiàng)知道，從而計(jì)算出結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴∴故選：C5.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A B.C.或 D.或【正確答案】D【分析】在用截距式求直線方程時(shí)需要討論解決是否為0，截距為0則過原點(diǎn)；截距不為0用截距式設(shè)出方程后帶點(diǎn)即可.【詳解】設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：，，則①，則直線過原點(diǎn)，則直線方程為：②則，則設(shè)直線方程為：，即，則，∴直線方程為：綜上所述：該直線方程為或故選：D6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則取最小值時(shí)，的值為（）A. B. C. D.或【正確答案】D【分析】由題意按等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列出含和的方程組，解出和，再利用求和公式寫出，進(jìn)而求出取最小值時(shí)的值即可.【詳解】由題意知：，則，解得，所以，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值.故選：D.7.記為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則（）A.23 B.24 C.25 D.26【正確答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，由可得，進(jìn)一步可得數(shù)列是等差數(shù)列，并求得其通項(xiàng)公式，即可求出；【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列an的前n項(xiàng)積，當(dāng)時(shí)，，所以，∴，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)可得：，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.所以.故選：C.8.設(shè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，，則的最大值為（）A.32 B.16 C.128 D.64【正確答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，結(jié)合【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，由，，即，顯然當(dāng)，或時(shí)，最大，最大值為，故選：D關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是要根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分．部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論正確的有（）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線的傾斜角的取值范圍是C.經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程均可用表示D.直線和都經(jīng)過點(diǎn)，則過兩點(diǎn)，的直線方程為【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A：將直線方程化為點(diǎn)斜式方程即可判斷；對(duì)于B：首先求出斜率范圍，進(jìn)而得到傾斜角范圍；對(duì)于C：利用兩點(diǎn)式即可判斷；對(duì)于D：將點(diǎn)代入兩個(gè)方程分析兩個(gè)方程的即可判斷.【詳解】對(duì)于A，直線，即，直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則,所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程均可用表示，故C正確；對(duì)于D，直線和都經(jīng)過點(diǎn)，則所以點(diǎn)，的直線方程為上，故D正確.故選：ACD.10.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.使為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為0 D.的最小值為【正確答案】ACD【分析】化簡(jiǎn)已知等式由函數(shù)的單調(diào)性可得A正確；取反例結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得B錯(cuò)誤；化簡(jiǎn)已知等式可得C正確；結(jié)合等差數(shù)列的求和公式判斷為遞增數(shù)列，再討論的取值可得D正確；【詳解】對(duì)于A，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，若，則，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可知無整數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閍n和bn是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為和，所以為遞增，所以也為遞增，所以最小值為時(shí)，為，故D正確；故選：ACD.11.數(shù)列an前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（）A. B.C. D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【正確答案】ABD【分析】A選項(xiàng)直接由遞推關(guān)系式即可求出；B選項(xiàng)由即可判斷；C,D選項(xiàng)由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A：，正確；對(duì)于B:，有，兩式相加，得，又，所以，為偶數(shù)由，得：，也即，為奇數(shù)，所以，正確；對(duì)于C:由B可知：，則，錯(cuò)誤對(duì)于D：數(shù)列的前項(xiàng)和記為，，正確故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若平面內(nèi)三點(diǎn)，，共線，則實(shí)數(shù)______．【正確答案】-1或0或3【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，，因?yàn)槿c(diǎn)，，共線，所以,解得：，或，或故-1或0或313.已知是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，若，，則的值是______．【正確答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列式求解首項(xiàng)和公差，然后代入通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，解得，則故14.如圖，將一個(gè)邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…，記為第n個(gè)圖形的周長，記為第n個(gè)圖形的面積，則______，______．【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)等邊三角形的面積公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)第個(gè)圖形的邊長為由題意知，從第2個(gè)圖形開始，每一個(gè)圖形邊長均為上一圖形邊長的，即，bn是一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列從第2個(gè)圖形開始，每一個(gè)圖形的邊數(shù)都是上一個(gè)圖形邊數(shù)的4倍，第個(gè)圖形邊數(shù)為：，設(shè)第個(gè)圖形的周長為：；（2）設(shè)第個(gè)圖形的面積為，則故第個(gè)圖形的面積為.故；關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是從邊數(shù)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.設(shè)m為實(shí)數(shù)，直線在x軸、y軸上截距之和等于1，且與x軸的交點(diǎn)記作A．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）直線過點(diǎn)A且傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的方程【正確答案】（1）（2）【分析】（1）把直線一般式化為截距式方程，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合二倍角的正切公式、直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以由，由題意可知：，因?yàn)?，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為；【小問2詳解】由（1）可知，所以有直線，設(shè)直線傾斜角為，則有，所以直線的傾斜角為，設(shè)直線的斜率為，則有，所以直線直線的方程為.16.已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列an（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，進(jìn)而求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）由（1），利用等差數(shù)列的求和公式，求得,令，得到時(shí)，，時(shí)，，根據(jù)，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列an的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】解：由（1）知，，可得,令，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋覕?shù)列bn的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上可得，數(shù)列bn的前項(xiàng)和.17.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由題中條件，得到，推出數(shù)列是等差數(shù)列，得出，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先由（1）的結(jié)果，結(jié)合（2）中條件，得到，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，所以，，因此，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以，則有，當(dāng)時(shí)，，又也適合，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）當(dāng)時(shí)，得，所以；當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，則有，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，(符合上式)，故.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于利用題中條件，確定是等差數(shù)列，求出，利用與之間關(guān)系，即可求解.（求解時(shí)，要注意的范圍）.18.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求；（3）對(duì)于（2）中的，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）通過取倒數(shù)法，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可；（3）結(jié)合（2）條件，結(jié)合作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，利用單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，則有；【小問2詳解】由（1）可知：，所以【小問3詳解】由（2）可知：，所以由，因?yàn)?，所以由，設(shè)，由，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，，，于是有時(shí)，，所以，，因此，存在，使得成立，則有，因此實(shí)數(shù)k的最大值.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵利用作差法判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.19.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：；（3）令，數(shù)列前n項(xiàng)和為，設(shè)，記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．【正確答案】（1）