2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．3 D．52．無(wú)論為何值，直線過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．3．在平行四邊形中，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．6．已知橢圓：的離心率為，則（

）A． B．或 C．8或2 D．87．已知實(shí)數(shù)滿足，則的范圍是（

）A． B． C． D．8．已知平面上一點(diǎn)若直線l上存在點(diǎn)P使則稱該直線為點(diǎn)的“相關(guān)直線”，下列直線中不是點(diǎn)的“相關(guān)直線”的是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知直線：，圓：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則B．點(diǎn)到直線的距離的最大值為C．存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切D．存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為10．已知圓：與圓：的一個(gè)交點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線的方程為B．曲線的方程為C．過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與曲線相交所得弦長(zhǎng)為D．曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為11．在邊長(zhǎng)為2的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．與所成角的余弦值為B．過(guò)，，三點(diǎn)的正方體的截面面積為3C．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為3D．若為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別為的三等分點(diǎn)，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．通過(guò)科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：地震時(shí)釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為.已知2011年甲地發(fā)生里氏9級(jí)地震，2019年乙地發(fā)生里氏7級(jí)地震，若甲、乙兩地地震釋放能量分別為，，則13．直線的傾斜角的取值范圍是.14．如圖，設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．已知兩圓和．求：(1)取何值時(shí)兩圓外切？(2)當(dāng)時(shí)，兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．16．在ΔABC中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知（1）

求的值（2）

若，求ΔABC的面積.17．如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.18．某校高一年級(jí)設(shè)有羽毛球訓(xùn)練課，期末對(duì)學(xué)生進(jìn)行羽毛球五項(xiàng)指標(biāo)（正手發(fā)高遠(yuǎn)球、定點(diǎn)高遠(yuǎn)球、吊球、殺球以及半場(chǎng)計(jì)時(shí)往返跑）考核，滿分100分.參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中的值，并估計(jì)考核得分的第60百分位數(shù)；(2)為了提升同學(xué)們的羽毛球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練.現(xiàn)采用分層抽樣的方法（樣本量按比例分配），從得分在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)闹刑舫鰞扇诉M(jìn)行試課，求兩人得分分別來(lái)自和的概率；(3)若一個(gè)總體劃分為兩層，通過(guò)按樣本量比例分配分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，證明.19．已知?jiǎng)又本€與橢圓C:交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，且的面積=,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)證明和均為定值;(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；(3)橢圓C上是否存在點(diǎn)D，E，G，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1．B【分析】按照復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】..故選：B.2．A【分析】先化簡(jiǎn)直線分是否有兩部分，再求交點(diǎn)得出定點(diǎn).【詳解】由得：，由得∴直線恒過(guò)定點(diǎn).故選：A.3．A【分析】由即可求解.【詳解】設(shè)，則，，又，解得.即.故選：A.4．A【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂?，，故選：A5．A【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的求法可求得直線上一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，代入直線中即可得到對(duì)稱直線方程.【詳解】設(shè)直線上一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，整理可得：，，即直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程為.故選：A.方法點(diǎn)睛：本題考查直線關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱直線的求解，解決思路是將直線上一點(diǎn)坐標(biāo)，利用其關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，代入原直線即可，核心依然是求解點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求解.求解點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的基本方法如下：①與連線與直線垂直，即；②中點(diǎn)在直線上，即；③與到直線的距離相等，即；上述三個(gè)等量關(guān)系中任選兩個(gè)構(gòu)成方程組，即可求得對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).6．C【分析】分焦點(diǎn)在軸和軸上兩種情況，由離心率得到方程，求出或.【詳解】橢圓：的離心率為，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得.故選：C.7．A【分析】由的幾何意義表示斜率即可求解.【詳解】表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)與的連線的斜率，結(jié)合圖象可知，斜率分別過(guò)0,2與相切時(shí)取最大值和最小值，由0,2和可求斜率，設(shè)過(guò)斜率為的直線與圖象相切，與聯(lián)立可得：，由，可得或（舍去）結(jié)合圖象可知：所以的范圍是.故選：A.8．D分別計(jì)算點(diǎn)到四條直線的距離，結(jié)合點(diǎn)相關(guān)直線的定義得：當(dāng)距離小于或等于4時(shí)，則稱該直線為點(diǎn)的“相關(guān)直線”，利用點(diǎn)到直線距離公式即可得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)?shù)街本€的距離小于或等于4時(shí)，則稱該直線為點(diǎn)的“相關(guān)直線”A，，直線為，所以點(diǎn)到直線的距離為：，即點(diǎn)到直線的最小值距離小于4，所以直線上存在點(diǎn)使成立，是點(diǎn)的“相關(guān)直線”；B，，直線為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的最小值距離小于4，所以直線上存在點(diǎn)使成立，是點(diǎn)的“相關(guān)直線”；C，，直線為，所以點(diǎn)到直線的距離為：，所以點(diǎn)到直線的最小值距離等于4，所以直線上存在點(diǎn)使成立，是點(diǎn)的“相關(guān)直線”；D，，直線為，所以點(diǎn)到直線的距離為：，即點(diǎn)到直線的最小值距離大于4，所以直線上不存在點(diǎn)使成立，不是點(diǎn)的“相關(guān)直線”．故選：D．本題解決成立問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解新定義，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式解決問(wèn)題，新定義問(wèn)題這是近幾年高考命題的方向．屬于中檔題.9．ABD【分析】先確定直線過(guò)定點(diǎn)，圓心，半徑，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】直線：過(guò)定點(diǎn)，圓：，圓心，半徑，對(duì)選項(xiàng)A：直線過(guò)圓心，則，解得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C：直線與圓相切，則圓心到直線的距離，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，圓心到直線的距離，解得，故選項(xiàng)D正確.故選:ABD.10．BCD【分析】對(duì)于A，B由橢圓的定義即可判斷，對(duì)于C，由通徑的概念即可判斷，對(duì)于D，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成求與平行，且與橢圓相切的直線即可判斷.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)與B選項(xiàng)，由題意知圓與圓交于點(diǎn)，則，，所以，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，即，，所以，所以曲線的方程為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)，通徑的長(zhǎng)度為，故C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)與直線平行的直線為，，將與聯(lián)立得，令，解得，此時(shí)直線與橢圓相切，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最大，直線的方程為，此時(shí)兩平行線的距離為，故曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11．AC【分析】建系，由異面直線夾角向量法即可判斷A,取的中點(diǎn)，連接，，，確定即為截面即可判斷B，由對(duì)稱性得到進(jìn)而可判斷C,設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，可判斷當(dāng)與平面的交點(diǎn)為時(shí)，最小，即可判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，∴，∴與所成角的余弦值為，故A正確；取的中點(diǎn)，連接，，，則，故梯形為過(guò)點(diǎn)，，的該正方體的截面，∵，，，∴梯形的高為，∴梯形的面積為，故B錯(cuò)誤；由對(duì)稱性可知，，故，又由于，，，四點(diǎn)共面，故，當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故C正確，設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，當(dāng)與平面的交點(diǎn)為時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，兩者交于點(diǎn)，此時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.故選:AC.12．1000【分析】首先根據(jù)題意得到，再作差即可得到答案.【詳解】由題知.故100013．【分析】分，，討論即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，當(dāng)時(shí)，直線為，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，綜上可得.故14．##0.5【分析】連接，，利用圓的性質(zhì)、橢圓的定義，結(jié)合勾股定理列式求解即得.【詳解】連接，，由點(diǎn)在以為直徑的圓上，故.

又，在橢圓上，故有，.設(shè)，則，，，.在中，由勾股定理得，解得，于是PF2=2a3，故15．(1)(2)；【分析】（1）利用配方法，結(jié)合兩圓外切的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩圓公共弦的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、圓的垂徑定理進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由已知化簡(jiǎn)兩圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，則圓心分別為，半徑分別為和，當(dāng)兩圓外切時(shí)，滿足；（2）當(dāng)時(shí)，有，則，所以兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程為：，即，圓心到直線的距離，所以公共弦長(zhǎng)．16．（1）

（2）【分析】（1）正弦定理得邊化角整理可得，化簡(jiǎn)即得答案．（2）由（1）知，結(jié)合題意由余弦定理可解得，，從而計(jì)算出面積．【詳解】（1）由正弦定理得，所以即即有，即所以（2）由（1）知，即，又因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼茫?，即，解?所以，又因?yàn)?，所以，故ΔABC的面積為=.正弦定理與余弦定理是高考的重要考點(diǎn)，本題主要考查由正余弦定理解三角形，屬于一般題．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，或【分析】（1）根據(jù)所給條件可建立空間直角坐標(biāo)系，由平面向量基本定理可證明向量與平面共面，從而證明結(jié)果；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，空間向量法計(jì)算平面與平面所成角的余弦值為，求解點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，，平面，所以，，又，所以，，兩兩垂?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則，，，，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，又，，所以，所以，，為共面向量，則在平面內(nèi)存在直線與平面外的直線平行，所以平面.（2）設(shè)，，，，依題意可知，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則.因?yàn)槠矫媾c平面所成角的余弦值為，所以，即，解得或，所以存在點(diǎn)使得平面與平面所成角的余弦值為，此時(shí)或.18．(1)，85(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先根據(jù)頻率和為1求出，再根據(jù)百分?jǐn)?shù)公式即可得到答案；（2）求出各自區(qū)間人數(shù)，列出樣本空間和滿足題意的情況，根據(jù)古典概型公式即可；（3）根據(jù)方差定義，證明出分層抽樣的方差公式，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意得：，解得，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，即第60百分位數(shù)為85.（2）由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在的有人，設(shè)為，，在80,90的有人，設(shè)為a，b，C.則樣本空間為，.設(shè)事件“兩人分別來(lái)自和80,90”，則，，因此，所以兩人得分分別來(lái)自和80,90的概率為.（3）由題得①；②又同理，∴.得證.19．(1)；(2)(3)橢圓C上不存在三點(diǎn)，使得【分析】（1）根據(jù)已知設(shè)出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)O到直線的距離，根據(jù)三角形面積公式，即可求得和均為定值；（2）由（I）可求線段PQ的中點(diǎn)為M，代入|OM|?|PQ|并利用基本不等式求最值；（3）假設(shè)存在，滿足，由（1）得，，，，，，從而得到的坐標(biāo)，可以求出方程，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以∵在橢圓上∴①又∵，∴②由①②得，．此時(shí)；（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，是直線的方程為，將其代入得故即又，∴∵點(diǎn)到直線的距離為∴又整理得此時(shí)綜上所述結(jié)論成立．（2）（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（1）知，