2024-2025學(xué)年湖南省常德市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省常德市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．2.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若OM=25OA+16OB+λOC，則A．λ=1730B．λ=13303.直線l過圓C：的圓心，并且與直線垂直，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．4.在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直且相等，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線AC和PE所成角為（

）A． B． C． D．5.兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（

）A．， B．，C．， D．，6.已知兩點(diǎn)A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－6或eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)或1C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)D．0或eq\f(1,2)7.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8.直線：，點(diǎn)，，若與線段相交，則的范圍為（

）A．B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列說法正確的是（

）A．過，兩點(diǎn)的直線方程為B．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為10.已知，，，，則下列說法正確的有（

）A．與夾角的余弦為 B．的面積為C．平面的一個(gè)法向量 D．四面體的體積為11.如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，將△ABD沿對(duì)角線BD翻折到△PBD位置，連結(jié)PC，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）A．PC與平面BCD所成的最大角為45°B．存在某個(gè)位置，使得PB⊥CDC．當(dāng)二面角P﹣BD﹣C的大小為90°時(shí)，PCD．存在某個(gè)位置，使得B到平面PDC的距離為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量?jī)蓛蓨A角均為，其模均為1，則____.13．已知直線，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是____.14．平面直角坐標(biāo)系上有兩點(diǎn)，直線的方程為，直線上有一點(diǎn)P，最短，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知：，，，求：(1)；(2)與所成角的余弦值．16.（15分）已知直線.（1）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.17.（15分）已知△ABC的頂點(diǎn)C（2，﹣8），直線AB的方程為y＝﹣2x+11，AC邊上的高BH所在直線的方程為x+3y+2＝0．（1）求頂點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；（2）求△ABC外接圓的一般方程．18.（17分）如圖，在四棱錐中，面．，四邊形滿足，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由．19.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合如圖所示將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段DC上．（1）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程（2）當(dāng)時(shí)，求折痕長(zhǎng)的最大值．2024-2025學(xué)年湖南省常德市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．【正確答案】A因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的一個(gè)方向向量為，又因?yàn)榕c共線，所以的一個(gè)方向向量可以是，故選：A.2.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若OM=25OA+16OB+λOC，則A．λ=1730B．λ=1330【正確答案】BO是平面ABC外任意一點(diǎn)，且OM=若A，B，C，M四點(diǎn)共面的充要條件是25+16+λ=13.直線l過圓C：的圓心，并且與直線垂直，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【正確答案】D由圓C：，則，又直線l與直線垂直，即，∴直線l的方程為，即.故選：D4.在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直且相等，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線AC和PE所成角為（

）A． B． C． D．【正確答案】A由于是的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，則，則或補(bǔ)角即為異面直線與所成的角．可設(shè)，由于、、兩兩垂直，且均相等，則，，，即有，，，則有．故選：．5.兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（

）A．， B．，C．， D．，【正確答案】D兩直線平行，，解得，將化為，.故選：D.6.已知兩點(diǎn)A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－6或eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)或1C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)D．0或eq\f(1,2)【正確答案】Aeq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋12）＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋12），即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或eq\f(1,2).故選：A.7.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【正確答案】B因?yàn)槠矫娴姆匠虨椋势浞ㄏ蛄繛?，因?yàn)橹本€的方程為，故其方向向量為，故直線與平面所成角的正弦值為，故選：B.8.直線：，點(diǎn)，，若與線段相交，則的范圍為（

）A．B． C． D．【正確答案】C直線方程變形得.由得，∴直線恒過點(diǎn)，，，由圖可知直線的斜率的取值范圍為：或，又，∴或，即或，又時(shí)直線的方程為，仍與線段相交，∴的取值范圍為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列說法正確的是（

）A．過，兩點(diǎn)的直線方程為B．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【正確答案】BC對(duì)于A：當(dāng)，時(shí)，過，兩點(diǎn)的直線方程為，故A不正確；對(duì)于B：點(diǎn)

(0,2)

與

(1,1)

的中點(diǎn)坐標(biāo)，

滿足直線方程,

并且兩點(diǎn)的斜率為：

?1,

所以點(diǎn)

(0,2)

關(guān)于直線

y=x+1

的對(duì)稱點(diǎn)為

(1,1)

，所以

B

正確；對(duì)于C：直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：

2,?2,

直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，所以C

正確；

對(duì)于D：經(jīng)過點(diǎn)

(1,1)

且在

x

軸和

y

軸上截距都相等的直線方程為

x+y?2=0

或

y=x

，所以

D

不正確；故選：BC.10.已知，，，，則下列說法正確的有（

）A．與夾角的余弦為 B．的面積為C．平面的一個(gè)法向量 D．四面體的體積為【正確答案】ACDA：，，則，正確；B：由A知：，錯(cuò)誤；C：若是面的一個(gè)法向量，則，令，有，正確；D：，則到面的距離，所以四面體的體積為，正確.故選：ACD11.如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，將△ABD沿對(duì)角線BD翻折到△PBD位置，連結(jié)PC，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）A．PC與平面BCD所成的最大角為45°B．存在某個(gè)位置，使得PB⊥CDC．當(dāng)二面角P﹣BD﹣C的大小為90°時(shí)，PCD．存在某個(gè)位置，使得B到平面PDC的距離為【正確答案】BC選項(xiàng)A，取BD的中點(diǎn)O，連接OP、OC，則OP＝OC．由題可知，△ABD和△BCD均為等邊三角形，由對(duì)稱性可知，在翻折的過程中，PC與平面BCD所成的角為∠PCO，當(dāng)PC時(shí)，△OPC為等邊三角形，此時(shí)∠PCO＝60°＞45°，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)P在平面BCD內(nèi)的投影為△BCD的重心點(diǎn)Q時(shí)，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，∴PQ⊥CD，又BQ∩PQ＝Q，BQ、PQ?平面PBQ，∴CD⊥平面PBQ，∵PB?平面PBQ，∴PB⊥CD，即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)二面角P﹣BD﹣C的大小為90°時(shí)，平面PBD⊥平面BCD，∵PB＝PD，∴OP⊥BD，∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC，又OP＝OC，∴△POC為等腰直角三角形，∴PCOP，即選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，∵點(diǎn)B到PD的距離為，點(diǎn)B到CD的距離為，∴若B到平面PDC的距離為，則平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，則有DB平面PCD，即DB⊥CD，與△BCD是等邊三角形矛盾．故選：BC．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量?jī)蓛蓨A角均為，其模均為1，則____.【正確答案】.13．已知直線，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是____.【正確答案】由題意知直線過定點(diǎn)，且不與軸垂直，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)到直線的距離最小為0，當(dāng)過點(diǎn)的直線垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)到該直線的距離最大,最大值為3，如圖示：由于的斜率存在，故點(diǎn)到直線的距離小于3，即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是14．平面直角坐標(biāo)系上有兩點(diǎn)，直線的方程為，直線上有一點(diǎn)P，最短，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.【正確答案】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，則，線段中點(diǎn)在直線l上，所以，整理得，解得，即.因?yàn)辄c(diǎn)在一條直線上時(shí)最短，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是直線與直線l的交點(diǎn)，

由得直線的方程為，所以，解得，即.故答案為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知：，，，求：(1)；(2)與所成角的余弦值．【正確答案】(1)(2)（1），，解得，故又因?yàn)椋?，即，解得，故?）由(1)可得設(shè)向量與所成的角為，，,則．16.（15分）已知直線.（1）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）或.（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.17.（15分）已知△ABC的頂點(diǎn)C（2，﹣8），直線AB的方程為y＝﹣2x+11，AC邊上的高BH所在直線的方程為x+3y+2＝0．（1）求頂點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；（2）求△ABC外接圓的一般方程．【正確答案】（1）A（5，1）B（7，﹣3）（2）x2+y2﹣4x+6y﹣12＝0．（1）由y=?2x+11x+3y+2=0可得頂點(diǎn)B（7，﹣3又因?yàn)锳C⊥BH得，kBH所以設(shè)AC的方程為y＝3x+b，將C（2，﹣8）代入得b＝﹣14，由y=?2x+11y=3x?14可得頂點(diǎn)為A（5，1所以A和B的坐標(biāo)分別為（5，1）和（7，﹣3），（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，將A（5，1）、B（7，﹣3）和C（2，﹣8）三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得5D+E+F+26=07D?3E+F+58=02D?8E+F+68=0則有所以△ABC的外接圓的一般方程為x2+y2﹣4x+6y﹣12＝0．18.（17分）如圖，在四棱錐中，面．，四邊形滿足，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由．【正確答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在，．（Ⅰ）因?yàn)槠矫?，所以，，又，所以，，兩兩垂直．以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示．則，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，故故，又，所以所以，，為共面向量，平面，所以平面．（Ⅱ）設(shè)，,依題意可知平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則．因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋裕?，解得或．所以存在點(diǎn)符合題意，當(dāng)或時(shí)，二面角的余弦值為．19.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合如圖所示將矩