微專題17 圓錐曲線壓軸小題 -2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題17圓錐曲線壓軸小題【秒殺總結(jié)】1、求的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有以下方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．③幾何法：尋找?guī)缀侮P(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化④坐標(biāo)法：一般套路將坐標(biāo)代入曲線求解2、解析幾何中與動點有關(guān)的最值問題一般的求解思路：①幾何法：利用圖形作出對應(yīng)的線段，利用幾何法求最值；②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來，利用函數(shù)求最值.【典型例題】例1．（2024·遼寧·一模）已知雙曲線的下焦點和上焦點分別為，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的4倍，則（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由可知，，聯(lián)立，消元得：，則，即，由面積是面積的4倍可知，到直線的距離是到直線距離的4倍，即，化簡可得，即，解得或（舍去），故選：D例2．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）焦點為的拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線交于點，點在拋物線上且在第一象限，在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，作軸的垂線，垂足為，則由拋物線的定義可得，由，在中，由正弦定理可知：，即，則，，，，所以故選：C.例3．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知，動點滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．動點的軌跡是一個圓 B．動點的軌跡所圍成的面積為6C．動點的軌跡跟坐標(biāo)軸不相交 D．動點離原點最短距離為1【答案】B【解析】設(shè)P點坐標(biāo)為，則由已知條件可得，整理得．又因為，所以P點坐標(biāo)對應(yīng)軌跡方程為．，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為．P點對應(yīng)的軌跡如圖所示：，且，所以P點的軌跡為菱形，故A、C錯誤；原點到：的距離為，D錯誤；軌跡圖形是平行四邊形，面積為，B正確．故選：B．例4．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）已知拋物線的方程為，為其焦點，點坐標(biāo)為，過點作直線交拋物線于、兩點，是軸上一點，且滿足，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，顯然，所以．又，即，即，，故，是方程的解，將代入方程，整理得，顯然，，，即．故選：B．例5．（2024·黑龍江·二模）雙曲線的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點．若，且，則直線與的斜率之積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線定義可知，，設(shè)，則有，，，由余弦定理可得，整理可得：，故，，則有，整理可得：，設(shè)，則有，即，故.故選：C.例6．（2024·安徽合肥·一模）已知直線與交于兩點，設(shè)弦的中點為為坐標(biāo)原點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】即，則圓心為，半徑，直線，令，解得，即直線恒過定點，又，所以點在圓內(nèi)，設(shè)，，，由，消去整理得，顯然，則，則，所以，，則，則，又直線的斜率不為，所以不過點，所以動點的軌跡方程為（除點外），圓的圓心為，半徑，又，所以，即，即的取值范圍為.故選：D例7．（多選題）（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知點，直線相交于點，且它們的斜率之和是2．設(shè)動點的軌跡為曲線，則（

）A．曲線關(guān)于原點對稱B．的范圍是的范圍是C．曲線與直線無限接近，但永不相交D．曲線上兩動點，其中，則【答案】ACD【解析】設(shè)，由題意，即，化簡得，即且，對于A，將代入得，即，所以曲線關(guān)于原點對稱，故A正確；對于B，由A選項知，的范圍是且，故B錯誤；對于C，由，得，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以曲線與直線無限接近，但永不相交，故C正確；對于D，要使最小，則曲線在兩點的切線平行，由，得，則，所以，因為，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，故D正確.故選：ACD例8．（多選題）（2024·高二·河南駐馬店·期末）法國著名數(shù)學(xué)家蒙日首先發(fā)現(xiàn)橢圓兩條互相垂直的切線的交點軌跡是以橢圓的中心為圓心的圓，后來這個圓被稱為蒙日圓．已知橢圓，其蒙日圓為圓，過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則下列選項正確的是（

）A．圓的方程為 B．四邊形面積的最小值為4C．的最小值為 D．當(dāng)點為時，直線的方程為【答案】BD【解析】當(dāng)切線的切點分別為橢圓上頂點和右頂點時，可以得到兩切線的交點為，所以蒙日圓的方程為，故A不正確；四邊形面積為：，只需求出的最小值，而的最小值為點到直線的距離，所以的最小值為，故B正確；設(shè),則，故，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，而的最小值，故的最小值8，故等號取不到，故C不正確；當(dāng)點為時，點，，，四點共以為直徑圓上，所以這個圓的方程為，與圓方程聯(lián)立，可得直的方程為，故D正確.故選：BD.例9．（多選題）（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線l過拋物線C：的焦點F且與C交于A，B兩點（點A在第一象限），，l為C的準(zhǔn)線，，垂足為M，，則下列說法正確的是（

）A．B．的最小值為C．若，則D．x軸上存在一點N，使為定值【答案】ABD【解析】如圖，對于A項，因直線經(jīng)過點,故當(dāng)且僅當(dāng)為通徑時，最短，即，即，故A項正確；對于B項，由拋物線定義知，故，由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取得最小值，即,故B項正確；對于C項，因,在中，由可得：,即得點，于是代入中，整理得：，解得：，即得，故,即C項錯誤；對于D項，設(shè)直線，代入中，整理得：，設(shè)，則得：，設(shè)在x軸上存在一點，則，故當(dāng)時，，即存在點使得為定值0.故D項正確.故選：ABD.例10．（多選題）（2024·河北·一模）已知，是雙曲線C：的左、右焦點，，為C右支上一點，，的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為r，直線PE與x軸交于點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．D．若的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為【答案】ACD【解析】A.如圖，作，，，根據(jù)切線長定理，，，，又，所以，，所以，即，故A正確；B.因為，，所以，解得：，，所以，故B錯誤；C.由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，為角平分線，則，即，整理為，即，所以，由A選項的證明可知，，即，故C正確；D.若的內(nèi)切圓與軸相切，則，則由選項AB知，，即，則，即，或（舍），所以雙曲線C的離心率為，故D正確.故選：ACD例11．（多選題）（2024·高三·河南濮陽·開學(xué)考試）費馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要定理，由此定理可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些性質(zhì)，例如，若點是雙曲線（為的兩個焦點）上的一點，則在點處的切線平分.已知雙曲線的左?右焦點分別為，直線為在其上一點處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的一條漸近線與直線相互垂直B．若點在直線上，且，則（為坐標(biāo)原點）C．直線的方程為D．延長交于點，則的內(nèi)切圓圓心在直線上【答案】ABD【解析】選項A：雙曲線的一條漸近線方程為與相互垂直，故A正確；選項BC：因為，所以，，所以，，又，所以，所以，直線：，即，故C錯誤，設(shè)，則，化簡得：，所以，則，故B正確；選項D：，直線，聯(lián)立，化簡得：，解得，所以，，所以直線，因為的內(nèi)切圓圓心在直線直線：上，若又在直線上，則內(nèi)切圓圓心為，圓心到直線的距離為：，圓心到直線的距離為：，即，所以點也在的角平分線上，即點為的內(nèi)切圓圓心，圓心在直線上，故D正確；故選：ABD.【過關(guān)測試】1．（2024·遼寧·一模）已知為橢圓的右焦點，過原點的直線與相交于兩點，且軸，若，則的長軸長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，如圖，記為的左焦點，連接，則由橢圓的對稱性可知，由，設(shè)，則.又軸，所以，即，所以，解得.所以的長軸長為.故選：B2．（2024·遼寧·一模）過圓上的兩點分別作圓的切線，若兩切線的交點恰好在直線上，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】因為圓的方程為，所以圓心，半徑.因為是圓的兩條切線，所以，由圓的知識可知四點共圓，且，所以，又，所以當(dāng)最小，即時，取得最小值，此時，所以.故選：D.3．（2024·高三·河南·期末）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于A，B兩點，點在軸上方，且的橫坐標(biāo)為5，則（

）A． B．． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)點A，B在拋物線的準(zhǔn)線上的投影分別是，作，垂足為D，BD與軸交于點，由題意可知．設(shè)，則，易證，則，即，整理得，解得，故．故選：C4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于A，B兩點．則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】由題意可知，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，所以，而.當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.故選：D5．（2024·山東煙臺·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點，向量，且.若為橢圓上一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點，由及，得，即，而，消去得：，設(shè)橢圓上的點，則點到直線的距離，其中銳角由確定，當(dāng)時，，而，所以的最小值為.故選：A6．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知直線，圓，若直線上存在兩點，圓上存在點，使得，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若直線上存在兩點，圓上存在點，使得，且，則條件等價于圓心（設(shè)為D）在直線上且半徑為的動圓與圓有交點，圓的圓心為到直線的距離，當(dāng)圓與直線相離時，即時，則圓上的動點到直線的最小距離為，此時只需滿足即可，所以；當(dāng)時，圓與直線有交點，此時圓和直線上一定分別存在點，使得，符合題意.綜上，.故選：C.7．（2024·天津·一模）過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為，直線交直線于點．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取右焦點，連接、，作于點，由為圓的切線，故，又，為中點，故為中點，又，故為中點，，則，，則，，由直線為雙曲線的漸近線，故有，則，在中，由余弦定理可得，則，即，即，化簡得，即，故.故選：D.8．（2024·天津南開·一模）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：的左、右焦點分別是，離心率為，點P是C的右支上異于頂點的一點，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則點P到C的兩條漸近線距離之積為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】如圖，延長，交于點,由已知是的平分線，且，所以,且點是中點.由原點是中點，可得，又，所以，又離心率為，，.設(shè)點，所以，即，所以點P到兩條漸近線距離之積為：.故選：B.9．（2024·青?！ひ荒＃┮阎^拋物線C：焦點F的直線l與C交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖：拋物線C：，所以焦點，所以當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，，，由，得，所以，由于圓心為的中點，則，根據(jù)拋物線的定義可知，所以圓的半徑，過作，垂足為，則，根據(jù)垂徑定理，得，所以，令，，則，又知在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，此時，，所以，綜上，的取值范圍為，故選：B.10．（多選題）（2024·江蘇·一模）已知拋物線E：的焦點為F，過F的直線交E于點，，E在B處的切線為，過A作與平行的直線，交E于另一點，記與y軸的交點為D，則（

）A． B．C． D．面積的最小值為16【答案】ACD【解析】A選項，由題意得，準(zhǔn)線方程為，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，故，A正確；B選項，，直線的斜率為，故直線的方程為，即，聯(lián)立，得，故，所以B錯誤；C選項，由直線的方程，令得，又，所以，故，故，又由焦半徑公式得，所以C正確；D選項，不妨設(shè)，過B向作平行于y軸的直線交于M，根據(jù)B選項知，，故，根據(jù)直線的方程，當(dāng)時，，故，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的面積最小值為16，D正確.故選：ACD11．（多選題）（2024·云南·一模）已知是直線上的動點，為坐標(biāo)原點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則（

）A．當(dāng)點為直線與軸的交點時，直線經(jīng)過點B．當(dāng)為等邊三角形時，點的坐標(biāo)為C．的取值范圍是D．的最小值為【答案】ABC【解析】設(shè)點，則，，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，以為直徑的圓的方程為，化簡得，聯(lián)立，得，所以直線的方程為：，對于A，令，則，所以直線的方程為：，則直線經(jīng)過點，故A正確；對于B，設(shè)點，則，當(dāng)為等邊三角形時，可知，又平分，所以，在直角三角形中，由于,所以，即，所以，又點，所以，化簡得，解得，所以，則，故B正確；對于D，圓心到直線的距離為，所以的最小值為，故D錯誤；對于C，在中，因為，當(dāng)最小時，有最大值為，又因為，所以，此時的最大值為，的取值范圍是，故C正確.故選：ABC.12．（多選題）（2024·山東菏澤·一模）如圖，過點的直線交拋物線于A，B兩點，連接、，并延長，分別交直線于M，N兩點，則下列結(jié)論中一定成立的有（

）

A． B．以為直徑的圓與直線相切C． D．【答案】ACD【解析】對于A，令，聯(lián)立，消可得，則，，，則故，同理，故A正確；對于C，設(shè)與軸交于，，則，，故C正確；對于D，則，而，所以，故D正確；對于B，中點，即則到直線的距離，以為直徑的圓的半徑，所以，當(dāng)時相切，當(dāng)時不相切，故B錯誤.故選：ACD.13．（2024·廣東湛江·一模）已知，分別為橢圓C：的左、右焦點，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為．【答案】【解析】由，得為線段的中點，且點在橢圓外，所以，則，又，所以為線段的中點，所以，設(shè)，則，又，所以，由橢圓的定義可知：，得，如圖，延長交橢圓C于點，連接，則由橢圓的對稱性可知，，又，故，由余弦定理可得：，在中，，由余弦定理可得，即，所以橢圓C的離心率為.故答案為：14．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）已知為拋物線上兩點，為焦點，為坐標(biāo)原點，在第一象限，且點的縱坐標(biāo)大于點的縱坐標(biāo)，若，則點的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)，，，則，，結(jié)合拋物線定義，，當(dāng)位于軸的不同側(cè)時，，由，整理可得，所以，，所以，解得(負(fù)值舍)，此時的坐標(biāo)為；當(dāng)位于軸同側(cè)時，，此時無解.故答案為：15．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知，若直線與有個交點，則.【答案】【解析】當(dāng)時，，即，，當(dāng)時，，所以可得函數(shù)周期為2，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：若直線與有個交點，根據(jù)圖象知，直線與第個半圓相切其圓心為不妨設(shè)切點為，連接，所以在中，，，故，所以.故答案為：.16．（2024·高三·安徽·階段練習(xí)）過雙曲線的右焦點的直線分別在第一?第二象限交的兩條漸近線于兩點，且.若，則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】由題意可知該雙曲線的漸近線方程為，如圖所示：令，于是有，由雙曲線和兩條漸近線的對稱性可得：，因為，所以，即，在直角三角形中，設(shè)，根據(jù)勾股定理可得：，或舍去，即，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，因為，所以，或舍去，由，故答案為：17．（2024·高二·山東青島·期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的方法，如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的頂點和軸都重合），已知兩個圓錐的底面直徑均為2，側(cè)面積均為，記過兩個圓錐軸的截面為平面，平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為．已知平面平行于平面，平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為雙曲線的一部分，且的兩條漸近線分別平行于，則該雙曲線的離心率為．【答案】【解析】以矩形的中心為原點，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓錐的底面直徑為2，側(cè)面積為，得，顯然，即，所以雙曲線的離心率.故答案為：18．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）1675年，卡西尼在礦究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)了卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡．已知點，動點滿足，則面積的最大值為．【答案】3【解析】已知定點為，，因為動點滿足，所以點的軌跡方程為，兩邊同時平方可得，整理得，所以，此時，當(dāng)且僅當(dāng)，時，取得最大值，故答案為：319．（2024·河北唐山·一模）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，過的直線交E于A，B兩點，是線段的中點，且，則E的方程為．【答案】【解析】由于是線段的中點，是線段的中點，所以,故,設(shè)橢圓焦距為，則，將代入橢圓方程可得，故，因此,是線段的中點，所以，故，，由得，故，解得，又，故，，故橢圓方程為，故答案為：20．（2024·廣東湛江·一模）已知點P為直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若點M為圓上的動點，則點M到直線AB的距離的最大值為．【答案】【解析】設(shè)，則滿足；易知圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，如下圖所示：易知，所以，即，整理可得；同理可得，即是方程的兩組解，可得直線的方程為，聯(lián)立，即；令，可得，即時等式與無關(guān)，所以直線恒過定點，可得；又在圓內(nèi)，當(dāng)，且點為的延長線與圓的交點時，點到直線的距離最大；最大值為；故答案為：21．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知圓系，圓過軸上的定點，線段是圓在軸上截得的弦，設(shè)，．對于下列命題：①不論取何實數(shù)，圓心始終落在曲線上；②不論取何實數(shù)，弦的長為定值1；③不論取何實數(shù)，圓系的所有圓都與直線相切；④式子的取值范圍是．其中真命題的序號是（把所有真命題的序號都填上）【答案】②④【解析】對于①，由圓的方程知，圓心在曲線上，故①不正確．對于②，由弦長公式得：弦的長為，故②正確．對于③，圓心到直線的距離等于，而半徑為，二者不一定相等，故③不正確．對于④，在圓方程令，可得，或，即，，，，由圓方程知，，，由基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），中，由余弦定理得，，的面積為，，，，即，故④正確．故答案為：②④．22．（2024·遼