2024年河南省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(全國新課標(biāo)ⅰ)

2024年河南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國新課標(biāo)I）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合A={x|xVl},B={x|3x<l},則（）

A.AC1B={x|x<0}B.AUB=RC.AUB={x|x>l}D.ADB=0

2.（5分）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓

中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),

則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）

A.B.C.D.

3.（5分）設(shè)有下面四個(gè)命題

Pi：若復(fù)數(shù)z滿意WR,則zWR；

p2：若復(fù)數(shù)z滿意Z2￡R,則Z￡R；

P3：若復(fù)數(shù)Zi，Z2滿意Z1Z20R,則Z1二;

P4：若復(fù)數(shù)Z0R,則ER.

其中的真命題為（）

A.Pl，p3B.P1，P4C.P2，P3D.P2，P4

4.（5分）記Sn為等差數(shù)列凡}的前n項(xiàng)和.若M+a5=24,S6=48,則{aj的公差

為（）

A.1B.2C.4D.8

5.（5分）函數(shù)f（x）在（-8,+8）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f（1）=-1,

則滿意-lWf（x-2）W1的x的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

6.（5分）（1+）（1+x）6綻開式中X?的系數(shù)為（）

A.15B.20C.30D.35

7.（5分）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰

直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各

個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）

A.10B.12C.14D.16

8.（5分）如圖程序框圖是為了求出滿意到-2n的最小偶數(shù)n,那么在

A.A>1000和n=n+1B.A>1000#n=n+2

C.AW1000和n=n+lD.AW1000和n=n+2

分）已知曲線J：：則下面結(jié)論正確的是（）

9.（5y=cosx,C2y=sin（2x+）,

A.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右

平移個(gè)單位長度，得到曲線C2

B.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左

平移個(gè)單位長度，得到曲線C2

C.把J上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平

移個(gè)單位長度，得到曲線C2

D.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平

移個(gè)單位長度，得到曲線C2

分）己知為拋物線：的焦點(diǎn)，過作兩條相互垂直的直線，

10.（5FCy2=4xFh12,

直線k與C交于A、B兩點(diǎn),直線12與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值

為（）

A.16B.14C.12D.10

11.（5分）設(shè)X、V、z為正數(shù)，且2x=3Y=5z,則（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

12.（5分）幾位高校生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大

家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好，他們推出了〃解數(shù)學(xué)題獲得軟件激活碼〃的活動(dòng).這款軟件的

激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,

2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是2°,接下來的兩項(xiàng)是2°,21,再接下來的三項(xiàng)

是2。，21，22,依此類推.求滿意如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前

N項(xiàng)和為2的整數(shù)球.那么該款軟件的激活碼是（）

A.440B.330C.220D.110

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知向量，的夾角為60。，||=2,||=1,則|+2|二.

14.（5分）設(shè)x,y滿意約束條件，則z=3x-2y的最小值為.

15.（5分）已知雙曲線C：-=1（a>0,b>0）的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，b

為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若NMAN=60。,

貝ijC的離心率為.

16.（5分）如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形

ABC的中心為0.D、E、F為圓0上的點(diǎn)，ADBC,AECA,aFAB分別是以BC,

CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起

△DBC,AECA,AFAB,使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)^ABC的邊長改變

時(shí)，所得三棱錐體積（單位：err?）的最大值為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求

作答.

17.(12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知^ABC的面積

為.

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=l,a=3,求aABC的周長.

18.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/7CD,MZBAP=ZCDP=90°.

(1)證明：平面PAB_L平面PAD；

(2)若PA=PD二AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

19.(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)

線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸(單位：cm).依據(jù)長期生產(chǎn)閱歷，可

以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸聽從正態(tài)分布N(R,o2).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(口-3o,

H+3O)之外的零件數(shù)，求P(X21)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(p-3o,|i+3o)之外的零件，就

認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程

進(jìn)行檢查.

(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

(ii)下面是椅險(xiǎn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經(jīng)計(jì)算得=9.97,s==^0.212,其中均為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=l,2,

16.

用樣本平均數(shù)作為口的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值，利用估計(jì)值推

斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(?3+3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)

據(jù)估計(jì)口和o(精確到0.01).

附：若隨機(jī)變量Z聽從正態(tài)分布N(n，a2),則P3o<Z<ri+3a)=0.9974,

0.997416^0.9592,g0.09.

分)已知橢圓四點(diǎn)匕(

20.(12C:+=1(a>b>0),1,1),P2(0,1),P3(-

1,),P4(1,)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求C的方程：

(2)設(shè)直線I不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜

率的和為-1,證明：I過定點(diǎn).

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)探討f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

［選修4?4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，(8為參數(shù))，直線I

的參數(shù)方程為，(t為參數(shù)).

(1)若a=-l,求C與I的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若C上的點(diǎn)到I距離的最大值為，求a.

［選修4?5：不等式選講］

23.已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+11+x-1.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f(x)2g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)2g(x)的解集包含［-1,1］,求a的取值范圍.

2024年河南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國新課標(biāo)I）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）己知集合A={x|x<l},B={x|3x<l）,則（）

A.AAB={x|x<0}B.AUB=RC.AUB={x|x>l}D.ADB=0

【分析】先分別求出集合A和B,再求出AAB和AUB,由此能求出結(jié)果.

【解答】解：???集合A={x|xVl},

B={x|3x<l}={x|x<0）,

AAnB={x|x<0},故A正確,D錯(cuò)誤;

AUB={x|x<l},故B和C都錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查交集和并集求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意

交集、并集定義的合理運(yùn)用.

2.（5分）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓

中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),

則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）

A.B.C.D.

【分析】依據(jù)圖象的對稱性求出黑色圖形的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行

求解即可.

【解答】解：依據(jù)圖象的對稱性知，黑色部分為圓面積的一半，設(shè)圓的半徑為1,

則正方形的邊長為2,

則黑色部分的面積s=,

則對應(yīng)概率p==,

故選：B

【點(diǎn)評】本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，依據(jù)對稱性求出黑色陰影部分為面

積是解決本題的關(guān)鍵.

3.（5分）設(shè)有下面四個(gè)命題

Pi：若復(fù)數(shù)z滿意￡R,則z￡R；

P2：若復(fù)數(shù)z滿意Z2￡R,則Z￡R；

P3：若復(fù)數(shù)Zl，Z2滿意Z1Z2ER，則Z1:；

P4：若復(fù)數(shù)z￡R,則ER.

其中的直命題為（）

A.P1，p3B.P1，p4C.P2，P3D.P2，P4

【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的分類，有復(fù)數(shù)性質(zhì)，逐一分析給定四個(gè)命題的真假，可得答

案.

【解答】解：若復(fù)數(shù)z滿意￡R,則z￡R,故命題Pl為真命題；

P2：復(fù)數(shù)Z=i滿意Z?=-R,則zER,故命題P2為假命題；

P3：若復(fù)數(shù)Zi=i,Z2=2i滿意Z1Z2WR,但zi*,故命題P3為假命題；

P4：若復(fù)數(shù)ZWR,則=ZER,故命題P4為真命題.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題以命題的真假推斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的分類，

復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.若a4十a(chǎn)$=24,%=48,則｛而｝的公差

為（）

A.1B.2C.4D.8

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差,

由此能求出屈｝的公差.

【解答】解：為等差數(shù)列國｝的前項(xiàng)和，

YSnna4+a5=24,S6=48,

解得ai=-2,d=4,

???{an}的公差為4.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的面公式的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要仔細(xì)市

題，留意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

5.（5分）函數(shù)f（x）在（-8,+oo）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f（1）=-1,

則滿意?lWf（x-2）<1的x的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【分析】由已知中函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可將不等式-lWf（x-2）W1化為

-1<x-2W1,解得答案.

【解答】解：???函數(shù)f（X）為奇函數(shù).

若f（1）=-1,則f（-1）=1,

又??,函數(shù)f（x）在（-8,+8）單調(diào)遞減，（X-2）Wl,

：.f（1）Wf（x-2）Wf（-1）,

???-IWX-2W1,

解得：xe[1,3],

故選：D

【點(diǎn)評】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，

難度中檔.

6.（5分）（1+）（1+x）6綻開式中X?的系數(shù)為（）

A.15B.20C.30D.35

【分析】干脆利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可.

【解答】解：（1+）（1-X）6綻開式中：

若（1+）=（1+X-2）供應(yīng)常數(shù)項(xiàng)1,則（1+X）6供應(yīng)含有X2的項(xiàng)，可得綻開式中

X?的系數(shù)：

若（1+）供應(yīng)X”項(xiàng)，則（1+X）6供應(yīng)含有X，的項(xiàng)，可得綻開式中X?的系數(shù)：

由(l+x)6通項(xiàng)公式可得.

可知r=2時(shí)，可得綻開式中x2的系數(shù)為.

2

可知r=4時(shí)二可得綻開式中x的系數(shù)為.

(1+)(l+x)6綻開式中x2的系數(shù)為:15+15=30.

故選C.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的學(xué)問點(diǎn)，通項(xiàng)公式的敏捷運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)邈.

7.(5分)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰

直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各

個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()

A.10B.12C.14D.16

【分析】由三視圖可得直觀圖，由圖形可知該立體圖中只有兩個(gè)相同的梯形的面,

依據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可

【解答】解：由三視圖可畫出直觀圖，

該立體圖中只有兩個(gè)相同的梯形的面，

S櫛形=X2X(2+4)=6,

?,?這些梯形的面積之和為6X2=12,

故選：B

【點(diǎn)評】本題考查了體積計(jì)算公式，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.

8.（5分）如圖程序框圖是為了求出滿意3n-2n>1000的最小偶數(shù)n,那么在

和I-------1兩個(gè)空白框中，可以分別填入（）

/輸入kO/

否工

/福必/

A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2

C.人?1000和11="1D.AW1OOO和n=n+2

【分析】通過要求A>1OOO時(shí)輸出且框圖中在〃否〃時(shí)輸出確定"內(nèi)不能

輸入〃A>1OOO〃，進(jìn)而通過偶數(shù)的特征確定n=n+2.

【解答】解：因?yàn)橐驛A1000時(shí)輸出，且框圖中在"否〃時(shí)輸出，

所以“O〃內(nèi)不能輸入伙>1000〃，

又要求n為偶數(shù)，且n的初始值為0,

所以“I---------1〃中n依次加2可保證其為偶數(shù)，

所以D選項(xiàng)滿意要求，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題，意在讓大部分考生得分.

9.（5分）已知曲線Ci：y=cosx,C2：y=sin（2x+）,則下面結(jié)論正確的是（）

A.把J上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右

平移個(gè)單位長度，得到曲線C2

B.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左

平移個(gè)單位長度，得到曲線C2

C.把C】上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平

移個(gè)單位長度，得到曲線C2

D.把J上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平

移個(gè)單位長度，得到曲線C2

【分析】利用三角函數(shù)的伸縮變換以及平移變換轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解:把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y二C0S2X

圖象，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=cos2(x+)=cos(2x+)

=sin(2x+)的圖象，即曲線Cz，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力.

2

10.(5分)已知F為拋物線C：y=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條相互垂直的直線h，12,

直線h與C交于A、B兩點(diǎn)，直線12與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值

為()

A.16B.14C.12D.10

【分析】方法一：依據(jù)題意可推斷當(dāng)A與D,B,E關(guān)于x軸對稱，即直線DE的

斜率為1,|AB|+|DE|最小，依據(jù)弦長公式計(jì)算即可.

方法二：設(shè)直線k的傾斜角為9,則I2的傾斜角為+6,利用焦點(diǎn)弦的弦長公式

分別表示出|AB|,|DE|,整理求得答案

【解答】解：如圖，li±l2,直線k與C交丁A、B兩點(diǎn)，

直線12與C交于D、E兩點(diǎn)，

要使|人8|十出￡|最小,

則A與D,B,E關(guān)于X軸對稱，即直線DE的斜左為1,

又直線12過點(diǎn)(1，0),

則直線12的方程為y=x?l,

聯(lián)立方程組，則y2-4y-4=0,

Ayi+y2=4,yiy2=-4,

DE|=?yi-y2!=X=8,

/.AB|+1DE|的最小值為2|DE|=16,

方法二：設(shè)直線ii的傾斜角為e,則b的傾斜角為+e,

依據(jù)焦點(diǎn)弦長公式可得AB==

|DE|===

；?AB|+1DE|=+==,

V0<sin220^1,

???當(dāng)0=45。時(shí),|AB|十|DE|的最小,最小為16,

故選：A

【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的簡潔性質(zhì)以及直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長公式,

對于過焦點(diǎn)的弦，能嫻熟駕馭相關(guān)的結(jié)論，解決問題事半功倍屬于中檔題.

11.（5分）設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2*=3丫=52,則（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

【分析】x、y、z為正數(shù)，2x=3v=5z=k>l.lgk>0.可得x=,y=,z=.可得3y=,

2x=,5z=.依據(jù)==,>=.即可得出大小關(guān)系.

另解：x、v、z為正數(shù)，4-2x=3v=5z=k>l.lgk>0.可得x=,y=,z=.==>1,可

得2x>3y,同理可得5z>2x.

【解答】解：x、v、z為正數(shù)，

令2、=3y=5z=k>l.lgk>0.

則x=,y=,z=.

3y=,2x=,5z=.

V==,>=.

A>lg>>0.

.*.3y<2x<5z.

另解：x、y、z為正數(shù)，

令萬田=sz=k>1.lgk>0.

貝!Jx=,y=,z=.

.'.==>1,可得2x>3y,

==>1.可得5z>2x.

綜上可得:5z>2x>3y.

解法三：對k取特別值，也可以比較出大小關(guān)系.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、換底公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理

實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.

12.（5分）幾位高校生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大

家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲得軟件激活碼〃的活動(dòng).這款軟件的

激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：口知數(shù)列1，1，2,1,2,4,1,2,4,8,1,

2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是2°,接下來的兩項(xiàng)是2°,21,再接下來的三項(xiàng)

是2。，2］，22,依此類推.求滿意如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前

N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼是（）

A.440B.330C.220D.110

【分析】方法一：由數(shù)列的性質(zhì)，求得數(shù)列｛>｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，可知當(dāng)

n，1

N為時(shí)(nEN),數(shù)列｛an｝的前N項(xiàng)和為數(shù)列｛6｝的前n項(xiàng)和，即為2-n-2,

簡潔得到NA100時(shí)，n214,分別推斷，即可求得該款軟件的激活碼；

方法二：由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng)，及前n項(xiàng)和5行2日-2?3及項(xiàng)數(shù)，由題意

可知：2日為2的整數(shù)幕.只需將-2-n消去即可，分別即可求得N的值.

【解答】解：設(shè)該數(shù)列為｛aj,設(shè)*+...+=2--1,(n￡N.),則二a”

由題意可設(shè)數(shù)列｛aj的前N項(xiàng)和為SN，數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn=2】-1+22

-l+...+2n，1-l=2n，1-n-2,

可知當(dāng)N為時(shí)(n￡M),數(shù)列｛aj的前N項(xiàng)和為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，即為2日

-n-2,

簡潔得到N>100時(shí)，n214,

A項(xiàng),由=435,440=435+5,可知S44o=T29+bs=23。-29-2+2$-1=23。，故A項(xiàng)符合

題意.

26526

B項(xiàng)，仿上可知上25,可知S330=T25+bs=2-25-2+2-1=2+4,明顯不為2的

整數(shù)鬲，故B項(xiàng)不符合題意.

C項(xiàng)，仿上可知=210,可知S22o=T2o+bio=22i?20?2+21°?1=221+210?23,明顯不

為2的整數(shù)箱，故C項(xiàng)不符合題意.

15515

D項(xiàng)，仿上可知知05,可知Siio=Ti4+bs=2-14-2+2-1=2+15,明顯不為2的

整數(shù)幕，故D項(xiàng)不符合題意.

故選A.

方法二：由題意可知：，，，…，

依據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：21-1,22-1,23-1,2n

-1,

每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：L2,3,n,

總共的項(xiàng)數(shù)為N=1十2十3十…十n二,

123n1z3nnl

全部項(xiàng)數(shù)的和為Sn：2-1+2-1+2-l+...+2-1=(2+2+2+...+2)-n=-n=2

-2-n,

由題意可知：2日為2的整數(shù)幕.只需將-2-n消去即可，

則①1+2+(-2-n)=0>解得：n=l,總共有+2=3,不滿意N>100?

②1+2+4+(-2-n)=0,解得：n=5,總共有+3=18,不滿意N>100,

③1+2+4+8+(-2-n)=0,解得：n=13,總共有+4=95,不滿意N>100,

④1+2+4+8+16+(-2-n)=0,解得：n=29,總夫有+5=440,滿意N>100,

，該款軟件的激活碼440.

故選A.

【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算實(shí)力,

屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知向量，的夾角為60。，||=2,||=1,則1+2]=2.

【分析】依據(jù)平面對量的數(shù)量積求出模長即可.

【解答】解：【解法一】向量，的夾角為60。,且||=2,||=1,

/.=+4?+4

=22+4X2X1Xcos600+4XI2

=12,

A|+2|=2.

【解法二】依據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；

結(jié)合圖形=+=42；

在△OAC中，由余弦定理得

I1==2,

即|+21=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了平面對量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)利用數(shù)量積求出模

長，是基礎(chǔ)題.

14.(5分)設(shè)x,y滿意約束條件，則z=3x-2V的最小值為-5.

【分析】由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)

合得答案.

【解答】解：由x,y滿意約束條件作出可行域如圖，

由圖可知，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為A,

聯(lián)立，解得A(-1,1).

Az=3x-2y的最小值為-3X1-2X1=-5.

故答案為：-5.

【點(diǎn)評】本題考查了簡潔的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔

題.

15.(5分)已知雙曲線C：-=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，b

為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若NMAN=60。,

則C的離心率為—.

【分析】利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解A到漸近線的距離，推出a,c的關(guān)系，然后

求解雙曲線的離心率即可.

【解答】解：雙曲線C：-=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A(a,0),

以A為圓心，b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).

若NMAN=60。，可得A到漸近線bx+ay=0的距離為：bcos30°=,

可得：=,即，可得離心率為：e=.

故答案為：.

【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡潔性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的方程

的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算實(shí)力.

16.（5分）如圖，圓形紙片的圓心為0,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形

ABC的中心為0.D、E、F為圓0上的點(diǎn)，△DBC,AECA,Z\FAB分別是以BC,

CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起

△DBC,AECA,AFAB,使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)AABC的邊長改變

時(shí)，所得三棱錐.體積（單位：cn?）的最大值為4cm3.

【分析】由題，連接0D,交BC于點(diǎn)G,由題意得0DJ_BC,0G=BC,設(shè)0G=x,

則BC=2x,DG=5-x?三棱錐的高h(yuǎn)=,求出SMBC=3,V==,令f(X)=25X4-10x5,

xe(0,),f(x)=100x3-50x3f(x)Wf(2)=80,由此能求出體積最大值.

【解答】解：由題意，連接OD,交BC于點(diǎn)G,由題意得OD_LBC,OG=BC,

即OG的長度與BC的長度成正比，

設(shè)OG=x,則BC=2x,DG=5-x,

三棱錐的高h(yuǎn)===,

=3,

貝|JV===,

令f(x)=25x4-10x5,xe(0,),V(x)=100x3-50x4,

令「(x)20,R[Jx4-2X3^0,解得XW2,

則f(x)Wf(2)=80,

.,.VW=4cm3,??.體積最大值為4cm3.

故答案為：4cm3.

【點(diǎn)評】本題考查三棱銖的體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關(guān)系、函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查推理論證實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力、

空間想象實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求

作答.

17.(12分)ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知aABC的面積

為.

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=l,a=3,求^ABC的周長.

【分析】(1)依據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案，

(2)依據(jù)兩角余弦公式可得cosA=,即可求出A=,再依據(jù)正弦定理可得bc=8,

依據(jù)余弦定理即可求出b+c,問題得以解決.

【解答】解：(1)由三角形的面積公式可得S^ABc=acsinB=,

.*.3csinBsinA=2a,

由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,

VsinA^O,

.e.sinBsinC=；

(2)V6cosBcosC=l,

cosBcosC=,

cosBcosC-sinBsinC="=",

cos(B+C)=-,

??cosA—,

V0<A<n,

??A=，

V===2R==2,

.*.sinBsinC=*===,

bc=8?

Va2=b2+c2-2bccosA,

/.b2+c2-bc=9,

/.(b+c)2=9+3cb=9+24=33,

b+c=

，周長a+b+c=3+.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式和正弦定

理余弦定理，考查了學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.

18.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/7CD,>ZBAP=ZCDP=90°.

(1)證明：平面PABL平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

【分析】(1)由已知可得PA_LAB,PD1CD,再由AB〃CD,得AB_LPD,利用線

面垂直的判定可得ABJ_平面PAD,進(jìn)一步得到平面PAB_L平面PAD；

(2)由已知可得四邊形ABCD為平行四邊形，由(1)知ABJ_平面PAD,得到

AB1AD,則四邊形ABCD為矩形，設(shè)PA=AB=2a,則AD=.取AD中點(diǎn)0,BC中

點(diǎn)E,連接PO、0E,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以0A、0E、0P所在直線為x、y、

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的一個(gè)法向量，再證明PD_L平面PAB,

得為平面PAB的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-PB-C

的余弦值.

【解答】(1)證明：VZBAP=ZCDP=90°,APA1AB,PD±CD,

VAB#CD,???AB_LPD,

又,；PAnpD=P,且PAu平面PAD,PDu平面PAD,

，ABJ_平面PAD,又ABu平面PAB,

???平面PAB_L平面PAD；

(2)解：VAB/7CD,AB=CD,二四邊形ABCD為平行四邊形,

由(1)知ABJ_平面PAD,??.ABJ_AD,則四邊形ABCD為矩形，

在4APD中，由PA二PD,ZAPD=90°,可得^PAD為等腰直角三角形，

設(shè)PA=AB=2a,則AD二.

取AD中點(diǎn)0,BC中點(diǎn)E,連接P0、0E,

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以0A、0E、0P所在直線為x、v、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

則：D(),B(),P(0,0,),C().

9，?

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，

由，得，取y=l,得.

〈ABJ_平面PAD,ADu平面PAD,AAB1PD,

又PDJ_PA,PAAAB=A,

???PD_L平面PAB,則為平面PAB的一個(gè)法向量，.

/.cosV>==.

由圖可知，二面角A-PB-C為鈍角，

???二面角A-PB-C的余弦值為.

【點(diǎn)評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象實(shí)力和思維實(shí)力，訓(xùn)練

了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題.

19.（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)

線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）.依據(jù)長期生產(chǎn)閱歷，可

以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸聽從正態(tài)分布N（u，a2）.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（口-3。，

H+3o）之外的零件數(shù)，求P（X21）及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在（p-3a,口+3。）之外的零件，就

認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程

進(jìn)行檢查.

（i）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

（ii）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.0S9.95

經(jīng)計(jì)算得==9.97,5=80.212,其中為為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=l,2,

16.

用樣本平均數(shù)作為口的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值，利用估計(jì)值推

斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除（-3+3）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)

據(jù)估計(jì)四和o（精確到0.01）.

附；若隨機(jī)變量z聽從正態(tài)分布N（|1,o2）,則P（|1-3o<z<|i+3o）=0.9974,

0.997416*0.9592,^0.09.

【分析】（1）通過P（X=0）可求由P（XN1）=1-P（X=0）=0.0408,利用二項(xiàng)

分布的期望公式計(jì)算G得結(jié)論；

（2）（i）由（1）及知落在（口-30,口+3。）之外為小概率事務(wù)可知該監(jiān)控生

產(chǎn)過程方法合理；

（ii）通過樣本平均數(shù)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差5估II、可知（-3+3）=（9334,10.606）,

進(jìn)而需剔除（-3+3）之外的數(shù)據(jù)9.22,利用公式計(jì)算即得結(jié)論.

【解答】解：（1）由題可知尺寸落在（H-3o,u+3。）之內(nèi)的概率為0.9974,

貝IJ落在（口-3。，口+3。）之夕卜的概率為1-0.9974=0.0026,

因?yàn)镻（X=0）=X（1-0.9974）°X0.9974*0.9592,

所以P（X21）=1-P（X=0）=0.0408,

又因?yàn)閄?B（16,0.0026）,

所以E（X）=16X0.0026=0.0416；

（2）（i）假如生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在（?3+3）之外的概率只有0.0026,

一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在（-3+3）之外的零件的概率只有0.0408,

發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的

生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生

產(chǎn)過程的方法是合理的.

（ii）由=9.97,s^0.212,得的估計(jì)值為=9.97,。的估計(jì)值為=0.212,由樣本

數(shù)據(jù)可以看出一個(gè)

零件的尺寸在（-3+3）之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

剔除（-3+3）之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

（16X9.97-9.22）=10.02,

因此日的估計(jì)值為10.02.

2=16X0.2122+16X9.972%1591.134,

剔除（-3+3）之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下的數(shù)據(jù)的樣本方差為

（1591.134-9.222-15X10.022）=0.008,

因此。的估計(jì)值為弋0.09.

【點(diǎn)評】本題考查正態(tài)分布，考查二項(xiàng)分布，考直方差、標(biāo)準(zhǔn)差，考查概率的計(jì)

算，考查運(yùn)算求解實(shí)力，留意解題方法的積累，屬于中檔題.

分）已知橢圓：四點(diǎn)

20.（12C+=1（a>b>0）,Pi（1,1）,P2（0,1）,P3（-

1,）,P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線I不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交丁A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜

率的和為-1,證明：I過定點(diǎn).

【分析】（1）依據(jù)橢圓的對稱性，得到P2（0，1），P3（-1，），P4（1，）三點(diǎn)在

橢圓上.把（代入橢圓求出22由此能求

CP20,1）,P3（-1,）C,a=4,b=l,

出橢圓C的方程.

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不滿意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)I：y=kx+t,（tWl）,聯(lián)立，

得(l+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程,結(jié)

合已知條件能證明直線I過定點(diǎn)(2,-1).

【解答】解：(依據(jù)橢圓的對稱性，((兩點(diǎn)必在橢圓上，

1)P3-1O,P41,)C

又P4的橫坐標(biāo)為1，?,,橢圓必不過Pi(1，1)，

AP2(0,1),P3(-1,),P4(1,)三點(diǎn)在橢圓C上.

把P2(0,1),P3(-1,)代入橢圓C,得：

，解得a2=4>b2=l,

?,?橢圓C的方程為=1.

證明：(①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)：))

2)Ix=m,A(m,yA,B(m,-yA,

???直線與直線的斜率的和為-

P2AP2B1,

??===-1,

解得m=2,此時(shí)I過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿意.

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)：，

Iy=kx+t,(tWl),A(xiyi),B(x2,yz),

聯(lián)立，整理,得(l+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,

,X1X2=，

則==

===-1,又tWl,

At=-2k-1,此時(shí)△=-64k,存在k,使得△>()成立，

???直線I的方程為y=kx-2k-l,

當(dāng)x=2時(shí)，y=-1,

??」過定點(diǎn)(2,-1).

【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定

理、直線方程位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查推理論證實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，考查函

數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)探討f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【分析】(1)求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類探討，即可求得f(x)

單調(diào)性；

(2)由(1)可知：當(dāng)a>0時(shí)才有兩個(gè)零點(diǎn)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得f(x)最

小值，由f(X)min<0,g(a)=alna+a-1,a>0,求導(dǎo)，由g(a)mm=g(e-2)

=e2lne2+e2-1=--1,g(1)=0?即可求得a的取值范圍.

(1)求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類探討，即可求得f(x)單調(diào)性；

(2)分類探討，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的推斷，分別求得函數(shù)的零點(diǎn)，

即可求得a的取值范圍.

【解答】解：(1)由f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,求導(dǎo)f'(x)=2ae2x+(a-2)ex

-1,

當(dāng)a=0時(shí),F(x)=-2ex-l<0,

,當(dāng)x￡R,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=(2AX+1)(APX-1)=2a(px+)(px-),

令「(x)=0,解得：x=ln,

當(dāng)r(x)>0,解得：x>ln,

當(dāng)F(x)VO,解得：x<ln,

(-8,in)時(shí):f(x)單調(diào)遞減，x￡(In,+°°)單調(diào)遞增；

當(dāng)aVO時(shí)，f(x)=2a(ex+)(ex-)<0,恒成立，

???當(dāng)xWR,f(x)單調(diào)遞減，

綜上可知：當(dāng)aWO時(shí)，f(x)在R單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-8,是減函數(shù)，在(In,+8)是增函數(shù)；

(2)①若a<0時(shí)，由(1)可知：f(x)最多有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,

當(dāng)x玲-8時(shí)，e2x^0,ex->0,

???當(dāng)x)-8時(shí)，f(x))十8,

當(dāng)xf8,e2x->+°°,且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于e'和x,

???當(dāng)x玲8,f(x)3+8,

???函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，f(x)的最小值小于0即可，

由f(x)在(-8,in)是減函數(shù)，在(In,+8)是增函數(shù)，

.*.f(x)min=f(In)=aX()+(a-2)X-ln<0.

1--InVO,即ln+-1>O,

設(shè)t=,則g(t)=lnt+t-1,(t>0),

求導(dǎo)g>(t)=+l,由g(1)=0,

At=>l,解得：OVa<l,

Aa的取值范圍(0,1).

方法二：(1)由f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,求導(dǎo)f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1,

當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)(x)=-2ex-l<0,

當(dāng)xWR,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=(2ex+l)(aex-1)=2a(ex+)(ex-),

令f'(x)=0,解得：x=-Ina,

當(dāng)？(x)>0,解得：x>-Ina,

當(dāng)7(x)<0.解得：x<-Ina,

...x￡(-°°,-Ina)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，x￡(-Ina,+°°)單調(diào)遞增；

當(dāng)aVO時(shí),f(x)=2a(ex+)(ex-)<0,恒成立，

???當(dāng)xWR,f(x)單調(diào)遞減，

綜上可知：當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在R單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng)a>0時(shí)，f(X)在(-8,-|na)是減函數(shù)，在(-Ina,+°°)是增函數(shù)；

(2)①若。<0時(shí)，由(1)可知：f(x)最多有