重點(diǎn)突圍：專題4 用勾股定理求解最短路徑問(wèn)題（解析版）-人教八下期中綜合復(fù)習(xí)

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）專題4用勾股定理求解最短路徑問(wèn)題【典型例題】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為7cm、寬為5cm，高是9cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線的長(zhǎng)是多少？【答案】它所走的最短路線的長(zhǎng)是15cm．【解析】【分析】根據(jù)題意，過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)的平面展開圖分三種情況，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理可以分別求得三種情況下的最短路線，然后比較大小，即可得到A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路線，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，當(dāng)展開前面和右面時(shí)，最短路線長(zhǎng)是：=15（cm）；當(dāng)展開前面和上面時(shí)，最短路線長(zhǎng)是：（cm）；當(dāng)展開左面和上面時(shí)，最短路線長(zhǎng)是：（cm）；∵15＜7＜，∴一只螞蟻從長(zhǎng)為7cm、寬為5cm，高是9cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線的長(zhǎng)是15cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開-最短路徑問(wèn)題，熟知兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】一、選擇題1．（2022·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方體透明容器（無(wú)蓋）內(nèi)的點(diǎn)B處有一滴糖漿，容器外A點(diǎn)處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長(zhǎng)為5cm，寬為3cm，高為4cm，點(diǎn)A距底部1cm，請(qǐng)問(wèn)螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計(jì)）（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】將點(diǎn)沿著它所在的棱向上翻折至點(diǎn)處，分如圖（見解析）所示的三種情況討論，分別利用化曲為直的思想和勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將點(diǎn)沿著它所在的棱向上翻折至點(diǎn)處，則新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，將這個(gè)新長(zhǎng)方體展開為以下三種情況，如圖所示：，，，∵，∴螞蟻需爬行的最短距離是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．2．（2021·四川東坡·八年級(jí)期中）如圖，有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為、、的長(zhǎng)方體，現(xiàn)一只螞蟻沿長(zhǎng)方體表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，那么最短的路徑是（）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】將圖形分三種情況展開，利用勾股定理求出兩種情況下斜邊的長(zhǎng)進(jìn)行比較，其值最小者即為正確答案．．【詳解】解：如圖（1），AB=(m)；如圖（2），AB=2(m)；如圖（3），AB=3(m)，∵，∴最短的路徑是3m．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵在于能夠把長(zhǎng)方體展開，利用勾股定理求解．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【答案】B【解析】【分析】立體圖形展開后，利用勾股定理求解．【詳解】解：將長(zhǎng)方體沿著邊側(cè)面展開，并連接，如下圖所示：由題意及圖可知：，，兩點(diǎn)之間，線段最短，故的長(zhǎng)即是細(xì)線最短的長(zhǎng)度，中，由勾股定理可知：，故所用細(xì)線最短需要．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了勾股定理求最短路徑、兩點(diǎn)之間線段最短以及立體圖形的側(cè)面展開圖，因此，正確得到立體圖形的側(cè)面展開圖，熟練運(yùn)用勾股定理求邊長(zhǎng)，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為（）cm．A．15 B．20 C．18 D．30【答案】A【解析】【分析】把圓柱沿螞蟻所在的高剪開并展開在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)矩形，作A點(diǎn)關(guān)于DF的對(duì)稱點(diǎn)B，分別連接BD、BC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DH于點(diǎn)E，則BC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)．【詳解】把圓柱沿螞蟻所在的高剪開并展開在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)矩形，作A點(diǎn)關(guān)于DF的對(duì)稱點(diǎn)B，分別連接BD、BC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DH于點(diǎn)E，如圖所示：則DB=AD=4cm，由題意及輔助線作法知，M與N分別為GH與DF的中點(diǎn)，且四邊形CMHE為長(zhǎng)方形，∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，∴DE=DH－EH=12－4=8cm，∴BE=DE+DB=8+4=12cm，在Rt△BEC中，由勾股定理得：，即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm，故選;：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，兩點(diǎn)間線段最短，關(guān)鍵是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決，這是數(shù)學(xué)上一種重要的轉(zhuǎn)化思想．二、填空題5．（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)AB為6m，寬AD為4m的矩形草地上放著一根長(zhǎng)方體木塊，已知該木塊的較長(zhǎng)邊和場(chǎng)地寬AD平行，橫截面是邊長(zhǎng)為1m的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處爬過(guò)木塊到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是______m．【答案】【解析】【分析】將木塊表面展開，再根據(jù)平面中，兩點(diǎn)之間線段最短解答【詳解】解：由題意得，將木塊表面展開，相當(dāng)于是AB+2個(gè)正方形的寬，即長(zhǎng)為6+2×1=8m，寬為4m，最短路徑為：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開圖—最短路徑問(wèn)題，有一定難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．6．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上高二丈四尺，周六尺，有葛藤自根纏繞而上，三周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為24尺，底面周長(zhǎng)為6尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞三周后其末端恰好到達(dá)B處，則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是____尺．【答案】30【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開圖，進(jìn)而利用勾股定理求得葛藤的最短長(zhǎng)度【詳解】解：圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，在如圖所示的直角三角形中，∵BC＝24尺，AC＝6×3＝18尺，∴AB＝＝30（尺）．答：葛藤長(zhǎng)為30尺．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2022·河南·鄭州市第八中學(xué)八年級(jí)期末）在一個(gè)長(zhǎng)11cm，寬5cm的長(zhǎng)方形紙片上，如圖放置一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且大于紙片的寬，它的底面邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到點(diǎn)C處的最短路程是________cm．【答案】13【解析】【分析】將木塊展開看作平面后，由兩點(diǎn)之間線段最短知螞蟻的最短距離為線段AC，由勾股定理計(jì)算即可．【詳解】將長(zhǎng)方形紙片與木塊展開后如圖所示由兩點(diǎn)之間線段最短可知螞蟻的最短距離為線段AC此時(shí)AB長(zhǎng)度為11-1+2=12由勾股定理有即故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的展開以及勾股定理，將正三棱柱的木塊展開看作平面是解題的關(guān)鍵．8．（2021·山東薛城·八年級(jí)期中）如圖，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點(diǎn)繞到正上方的B點(diǎn)，已知圓柱底面周長(zhǎng)是3m，高為5m，則所需彩帶最短是______m．【答案】13【解析】【分析】把曲面展開變?yōu)槠矫?，利用兩點(diǎn)間線段最短，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，線段AC即為所需彩帶最短，由圖可知，∴由勾股定理得，，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間線段最短和勾股定理在生活中的應(yīng)用．將曲面問(wèn)題變?yōu)槠矫鎲?wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2021·寧夏中寧縣第三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，圓柱的高為16cm，底面半徑為4cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，問(wèn)：螞蟻至少要爬行多少路程才能食到食物？（的值取3）【答案】螞蟻至少要爬行20cm路程才能食到食物．【解析】【分析】先將圖形展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及勾股定理即可得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，將圓柱體展開，連接A、B，根據(jù)題意可得：AD是圓柱底面圓的周長(zhǎng)的一半，BD即為圓柱的高，AD⊥BD∴，，∴螞蟻至少要爬行20cm路程才能食到食物，答：螞蟻至少要爬行20cm路程才能食到食物．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的展開圖，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意把圓柱展開，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解．10．（2021·河北·臨漳縣教育體育局教研室八年級(jí)期中）如圖，臺(tái)階階梯每一層高，寬，長(zhǎng)，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)，最短路程是多少？【答案】【解析】【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖所示，∵它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬高為，寬，長(zhǎng)，∴，答：螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)的最短路程是．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開－最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意畫出臺(tái)階的平面展開圖是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短路程是多少?【答案】【解析】【分析】畫出長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是5，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是5，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第3個(gè)圖：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是5，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；，螞蟻爬行的最短距離是．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖，根據(jù)勾股定理求解．12．（2021·貴州·貴陽(yáng)市第十六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒(méi)有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．小明認(rèn)為螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的路徑AC1，小王認(rèn)為螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的路徑AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5時(shí)，請(qǐng)你幫忙他們求出螞蟻爬過(guò)的最短路徑長(zhǎng)．【答案】最短路徑長(zhǎng)是．【解析】【分析】根據(jù)題意，先將長(zhǎng)方體展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短．【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到C1'，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是AC1′；螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是AC1．因?yàn)椋篈C1′＞AC1，所以最短路徑長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問(wèn)題，本題是一道趣味題，將長(zhǎng)方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可．13．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）吳老師在與同學(xué)進(jìn)行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時(shí)設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你根據(jù)下列所給的條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路徑長(zhǎng)．（1）如圖1，正方體的棱長(zhǎng)為5cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)A沿正方體表面爬到點(diǎn)C1處；（2）如圖2，長(zhǎng)方體底面是邊長(zhǎng)為5cm的正方形，高為6cm，一只螞蟻欲從長(zhǎng)方體底面上的點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體表而爬到點(diǎn)C1處；（3）如圖3，是一個(gè)底面周長(zhǎng)為10cm，高為5cm的圓柱體，一只螞蟻欲從圓柱體底面上的點(diǎn)A沿圓柱體側(cè)面爬到點(diǎn)C處．【答案】（1）螞蟻需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm；（2）螞蟻需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm；（3）螞蟻需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm．【解析】【分析】（1）根據(jù)正方體的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求出AC1的長(zhǎng)即可得答案；（2）分橫向展開和豎向展開兩種情況，分別利用勾股定理求出AC1的長(zhǎng)，比較即可得答案；（3）畫出圓柱側(cè)面展開圖，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可得答案．【詳解】（1）正方體的側(cè)面展開圖如圖所示：AC1為螞蟻需要爬行的最短路徑長(zhǎng)，∵正方體的棱