2024-2025學年新教材高中數學第五章統(tǒng)計與概率5.4統(tǒng)計與概率的應用學案新人教B版必修第二冊

PAGE1-5．4統(tǒng)計與概率的應用考點學習目標核心素養(yǎng)統(tǒng)計與概率的意義通過實例進一步理解統(tǒng)計與概率的意義及應用數學抽象統(tǒng)計與概率的應用能用統(tǒng)計與概率的學問解決實際生活中的問題數學抽象、數學運算推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)事務A發(fā)生的概率很小時，該事務為不行能事務．()(2)某醫(yī)院治愈某種病的概率為0.8，則10個人去治療，肯定有8人能治愈．()(3)平常的多次競賽中，小明獲勝的次數比小華的高，所以這次競賽應選小明參與．()答案：(1)×(2)×(3)√已知某人在投籃時投中的概率為50%，則下列說法正確的是()A．若他投100次，肯定有50次投中B．若他投一次，肯定投中C．他投一次投中的可能性大小為50%D．以上說法均錯解析：選C.概率是指一件事情發(fā)生的可能性大?。粼谕葪l件下進行n次重復試驗得到某個事務A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的漸漸增加，有()A．f(n)與某個常數相等B．f(n)與某個常數的差漸漸減小C．f(n)與某個常數差的肯定值漸漸減小D．f(n)在某個常數旁邊搖擺并趨于穩(wěn)定解析：選D.隨著n的增加，頻率f(n)會在概率旁邊搖擺并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關系．事務A發(fā)生的概率是eq\f(3,5)，則eq\f(3,5)表示的________．解析：依據概率的含義知eq\f(3,5)表示的是事務A發(fā)生的可能性大?。鸢福菏聞誂發(fā)生的可能性的大小統(tǒng)計在決策中的應用2024年4月20日，福建省人民政府公布了“3＋1＋2”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化學、生物4門中選擇2門．“2”中記入高考總分的單科成果是由原始分轉化得到的等級分，學科高考原始分在全省的排名越靠前，等級分越高．小明同學是2024級的高一學生．已確定了必選地理且不選政治，為確定另選一科，小明收集并整理了化學與生物近10大聯考的成果百分比排名數據x(如x＝19的含義是指在該次考試中，成果高于小明的考生占參與該次考試的考生數的19%)，繪制莖葉圖如下．(1)分別計算化學、生物兩個學科10次聯考的百分比排名的平均數和中位數；(2)依據已學的統(tǒng)計學問，并結合上面的數據，幫助小明作出選擇．并說明理由．【解】(1)化學學科10大聯考的成果百分比排名的平均數為eq\f(12＋16＋21＋23＋25＋27＋34＋42＋43＋59,10)＝30.2，化學學科10大聯考百分比排名的中位數為26.生物學科10大聯考百分比排名的平均數為eq\f(19＋21＋22＋29＋29＋33＋33＋34＋35＋41,10)＝29.6，生物學科10大聯考百分比排名的中位數為31.(2)從平均數來看，小明的生物學科比化學學科百分比排名靠前，應選生物．或者：從中位數來看，小明的化學學科比生物學科百分比排名靠前，應選化學．eq\a\vs4\al()統(tǒng)計問題中決策思想主要是利用數字特征和頻率分布對一些實際問題進行預料和估計，但不能依靠單一的數字特征進行估計，而是綜合各種因素做出合理的說明和推斷．為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取18位患者服用A藥，18位患者服用B藥，這36位患者服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)，試驗的觀測結果如下：服用A藥的18位患者日平均增加的睡眠時間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.22.52．61.22.71.52.93.03.12.3服用B藥的18位患者日平均增加的睡眠時間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.60．51.80.62.11.12.51.22.7(1)分別計算兩組數據的平均數(小數點后保留兩位小數)，從計算結果看哪種藥療效更好？(2)依據兩組數據完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？并說明理由．A藥(葉)莖B藥(葉)0.1.2.3.解：(1)服用A藥的18位患者日平均增加的睡眠時間的平均數為eq\o(X,\s\up10(－))A＝eq\f(1,18)(0.6＋1.2＋2.7＋…＋3.0＋3.1＋2.3)≈2.23(h)．服用B藥的18位患者日平均增加的睡眠時間的平均數為eq\o(X,\s\up10(－))B＝eq\f(1,18)(3.2＋1.7＋1.9＋…＋2.5＋1.2＋2.7)≈1.67(h)．因為2.23>1.67，所以服用A種藥的療效更好．(2)由觀測結果可繪制如下莖葉圖：A藥(葉)莖B藥(葉)60.5689855221.122367899877653322.145672103.2從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結果有eq\f(2,3)的葉集中在莖2，3上，而B藥療效的試驗結果有eq\f(2,3)的葉集中在莖0，1上，由此可看出A藥的療效更好．概率在決策中的應用某地政府打算對當地的農村產業(yè)結構進行調整，為此政府進行了一次民意調查.100個人接受了調查，要求他們在贊成調整、反對調整、對這次調整不發(fā)表看法中任選一項．調查結果如下表所示：男女總計贊成18927反對122537不發(fā)表看法201636總計5050100隨機選取一個被調查者，他對這次調整表示反對或不發(fā)表看法的概率是多少？【解】用A表示事務“對這次調整表示反對”，B表示“對這次調整不發(fā)表看法”，由互斥事務的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(37,100)＋eq\f(36,100)＝eq\f(73,100)＝0.73，因此隨機選取一個被調查者，他對這次調整表示反對或不發(fā)表看法的概率是0.73.eq\a\vs4\al()概率在決策問題中的應用(1)由于概率反映了隨機事務發(fā)生的可能性的大小，概率是頻率的近似值與穩(wěn)定值，所以可以用樣本出現的頻率近似地估計總體中該結果出現的概率．(2)實際生活與生產中經常用隨機事務發(fā)生的概率來估計某個生物種群中個別生物種類的數量、某批次的產品中不合格產品的數量等．某食品公司因新產品上市擬舉辦促銷活動以促進銷量，方法是買一份糖果摸一次彩．公司打算了一些黃、白兩色乒乓球，這些乒乓球的大小與質地完全相同，另有一個棱長約為30厘米密封良好且不透光的長方體木箱(木箱上方可容一只手伸入)．該公司擬按1%的中獎率設置大獎，其余99%則為小獎，大獎的獎品價值400元，小獎的獎品價值2元．請你按公司的要求設計一個摸彩方案．解：可以提出如下2個方案(答案不唯一)．(方案1)在箱內放置100個乒乓球，其中1個為黃球，99個為白球．顧客一次摸出一個乒乓球，摸到黃球為中大獎，否則中小獎．(方案2)在箱內放置25個乒乓球，其中3個為黃球，22個為白球，顧客一次摸出2個乒乓球，摸到2個黃球中大獎，否則中小獎．概率在整體估計中的應用為了調查某野生動物愛護區(qū)內某種野生動物的數量，調查人員某天逮到1200只這種動物并做好標記后放回，經過一星期后，又逮到這種動物1000只，其中做過標記的有100只，按概率的方法估算，愛護區(qū)內約有多少只該種動物．【解】設愛護區(qū)內這種野生動物有x只，假定每只動物被逮到的可能性是相同的，那么從這種野生動物中任逮一只，設事務A＝{帶有記號的動物}，則由古典概型可知，P(A)＝eq\f(1200,x).其次次被逮到的1000只中，有100只帶有記號，即事務A發(fā)生的頻數m＝100，由概率的統(tǒng)計定義可知P(A)≈eq\f(100,1000)＝eq\f(1,10)，故eq\f(1200,x)≈eq\f(1,10)，解得x≈12000.所以愛護區(qū)內約有12000只該種動物．eq\a\vs4\al()利用頻率與概率的關系求未知量的步驟(1)抽出m個樣本進行標記，設總體為未知量n，則標記概率為eq\f(m,n).(2)隨機抽取n1個個體，出現其中m1個被標記，則標記頻率為eq\f(m1,n1).(3)用頻率近似等于概率，建立等式eq\f(m,n)≈eq\f(m1,n1).(4)求得n≈eq\f(m·n1,m1).若10個雞蛋能孵化出8只小雞，依據此狀況，估計某小雞孵化廠20000個雞蛋大約能孵化出多少只小雞．解：假定每個雞蛋能孵化出小雞的可能性是相等的，從中任選一個，記事務A＝{雞蛋能孵化出小雞}，此試驗為古典概型，則P(A)＝eq\f(8,10)①.設20000個雞蛋能孵化出小雞m只，則P(A)≈eq\f(m,20000)，②由①②得eq\f(m,20000)≈eq\f(8,10)，解得m≈16000.所以20000個雞蛋大約能孵化出16000只小雞．1．若經檢驗，某廠的產品合格率為98%，估算該廠8000件產品中的次品件數為()A．7840 B．160C．16 D．784解析：選B.8000×98%＝7840(件)，8000－7840＝160(件)．故次品件數為160件．2．據人口普查統(tǒng)計，育齡婦女生男生女是等可能的，假如生育二胎，則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：選C.所含的基本領件總數為4，分別為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以兩胎均是女孩的概率為eq\f(1,4).3．在全部的兩位數10～99中，任取一個數，則這個數能被2或3整除的概率為()A.eq\f(5,6) B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)解析：選C.10～99中有90個兩位數，這些兩位數中，偶數有45個，10～99中有30個能被3整除的數，其中奇數有30÷2＝15(個)，所以所求的概率為eq\f(45＋15,90)＝eq\f(2,3).4．電腦“掃雷”嬉戲的操作面被平均分成480塊，其中有99塊埋有地雷，現在操作面上隨意點擊一下，則遇到地雷的概率為________．解析：由古典概型的概率公式可得遇到地雷的概率為eq\f(99,480)＝eq\f(33,160).答案：eq\f(33,160)5．某欄目中的“百寶箱”互動環(huán)節(jié)，是一種競猜嬉戲，嬉戲規(guī)則如下：在20個商標牌中，有5個商標牌的背面注明肯定的獎品，其余沒有獎品，參與嬉戲的觀眾有三次翻牌機會(翻過的牌不能再翻)．(1)第一次翻牌獲獎的概率是多少？(2)某觀眾前兩次翻牌均獲獎，那么他第三次翻牌獲獎的概率是多少？解：(1)第一次翻牌時有5個有獎品，故獲獎的概率為P＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).(2)前兩次翻牌均獲獎，第三次翻牌時，只有3個有獎品，還有18個商標牌，故獲獎的概率為P＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6).[A基礎達標]1．“今日北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列說法不正確的是()A．可能北京今日降雨了，而上海沒有降雨B．可能上海今日降雨了，而北京沒有降雨C．可能北京和上海都沒有降雨D．北京降雨的可能性比上海大解析：選D.因為北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D說法不正確．2．某人射擊4槍，命中3槍，3槍中有且只有2槍連中的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選D.4槍命中3槍共有4種可能，其中有且只有2槍連中有2種可能，所以P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3．若某個班級內有40名學生，抽10名學生去參與某項活動，每名學生被抽到的概率為eq\f(1,4)，其中說明正確的是()A．4名學生中，必有1名被抽到B．每名學生被抽到的可能性為eq\f(1,4)C．由于抽到與不被抽到有兩種狀況，所以不被抽到的概率為eq\f(1,2)D．以上說法都不正確解析：選B.依據概率的意義可以知道選B.4．某競賽為兩運動員制定下列發(fā)球規(guī)則：規(guī)則一：投擲一枚硬幣，出現正面對上，甲發(fā)球，反面對上，乙發(fā)球；規(guī)則二：從裝有2個紅球與2個黑球的布袋中隨機地取出2個球，假如同色，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球；規(guī)則三：從裝有3個紅球與1個黑球的布袋中隨機地取出2個球，假如同色，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球．則對甲、乙公允的規(guī)則是()A．規(guī)則一和規(guī)則二 B．規(guī)則一和規(guī)則三C．規(guī)則二和規(guī)則三 D．規(guī)則二解析：選B.規(guī)則一每人發(fā)球的概率都是相等的，公允．規(guī)則二全部狀況有(紅1，紅2)，(紅1，黑1)，(紅1，黑2)，(紅2，黑1)，(紅2，黑2)，(黑1，黑2)6種，同色的有2種，所以甲發(fā)球的可能性為eq\f(1,3)，不公允．規(guī)則三全部狀況有(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅2，紅3)，(紅1，黑)，(紅2，黑)，(紅3，黑)，同色球有3種，所以兩人發(fā)球的可能性都是相等的，公允．5．通過模擬試驗，產生了20組隨機數：68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754假如恰有三個數在1，2，3，4，5，6中，則表示恰有三次擊中目標，問四次射擊中恰有三次擊中目標的概率約為________.解析：由題意四次射擊中恰有三次擊中對應的隨機數有三個數字在1，2，3，4，5，6中，這樣的隨機數有3013，2604，5725，6576，6754，共5個，所求的概率約為eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)6．某汽車站，每天均有3輛開往南京的分為上、中、下等級的客車．某天袁先生打算在該汽車站乘車前往南京辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車依次．為了盡可能乘上上等車，他實行如下策略：先放過第一輛，假如其次輛比第一輛好則上其次輛，否則上第三輛，那么他乘上上等車的概率為________．解析：上、中、下三輛車的動身依次是隨意的，有上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、上、中；下、中、上，6種狀況，若其次輛車比第一輛好，有3種狀況：下、中、上；下、上、中；中、上、下，符合條件的僅有2種狀況；若其次輛不比第一輛好，有3種狀況：中、下、上；上、中、下；上、下、中，其中僅有1種狀況符合條件．所以袁先生乘上上等車的概率P＝eq\f(2＋1,6)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，假如勝利，一年后可獲收益12%；一旦失敗，一年后將丟失全部資金的50%，下表是去年200例類似項目開發(fā)的實施結果．投資勝利投資失敗192次8次則該公司一年后估計可獲收益的平均數是________元．解析：應先求出投資勝利與失敗的概率，再計算收益的平均數．設可獲收益為x元，假如勝利，x的取值為5×12%，假如失敗，x的取值為－5×50%.一年后公司勝利的概率約為eq\f(192,200)，失敗的概率約為eq\f(8,200)，所以估計一年后公司收益的平均數eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×12%×\f(192,200)－5×50%×\f(8,200)))×10000＝4760(元)．答案：47608．某人撿到不規(guī)則形態(tài)的五面體石塊，他在每個面上都作了記號，投擲了100次，并且記錄了每個面落在桌面上的次數(如下表)．假如再投擲一次，估計該石塊的第4面落在桌面上的概率約是________．石塊的面12345頻數3218151322解析：第四面落在桌面上的概率為P＝eq\f(13,100)＝0.13.答案：0.139．為調查某森林內松鼠的繁殖狀況，可以運用以下方法：先從森林中捕獲松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上記號，然后再把它們放回森林．經過半年后，再從森林中捕獲50只，假設尾巴上有記號的松鼠共有5只．試依據上述數據，估計此森林內約有松鼠的數量．解：設森林內的松鼠總數為n.假定每只松鼠被捕獲的可能性是相等的，從森林中任捕一只，設事務A＝{帶有記號的松鼠}，則由古典概型可知，P(A)＝eq\f(100,n)①，其次次從森林中捕獲50只，有記號的松鼠共有5只，即事務A發(fā)生的頻數m＝5，由概率的統(tǒng)計定義可知，P(A)≈eq\f(5,50)＝eq\f(1,10)②，由①②可得：eq\f(100,n)≈eq\f(1,10)，所以n≈1000，所以，此森林內約有松鼠1000只．[B實力提升]10．假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現采納隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：9328124585696834312573930275564887301135據此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為()A．0.50 B．0.45C．0.40 D．0.35解析：選A.兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數中有且只有一個數為1，2，3，4中的之一，它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10個，因此所求的概率為eq\f(10,20)＝0.50.11．假如消息M發(fā)生的概率為P(M)，那么消息M所含的消息量為I(M)＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(P（M）＋\f(1,P（M）)))，若小明在一個有4排8列座位的小型報告廳聽報告，則發(fā)布的以下4條消息中，信息量最大的是()A．小明在第4排B．小明在第5列C．小明在第4排第5列D．小明在某一排解析：選C.本題考查了信息的理解遷移及其應用，小明在4排的概率P(A)＝eq\f(1,4)，則I(A)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋4))＝log2eq\f(17,4)；P(B)＝eq\f(1,8)，I(B)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)＋8))＝log2eq\f(65,8)；P(C)＝eq\f(1,32)，則I(C)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(1,32)))；P(D)＝1，則I(D)＝1，故最大值為選項C.12．設有外形完全相同的兩個箱子，甲箱中有99個白球1個黑球，乙箱中有1個白球99個黑球．隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結果取得白球，我們可以認為這球是從________箱中取出的．解析：甲箱中有99個白球1個黑球，故隨機地取出一球，得到白球的可能性是eq\f(99,100)，乙箱中有1個白球99個黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是eq\f(1,100).由此可知，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多，既然在一次抽樣中抽到白球，當然可以認為是由概率大的箱子中取出的，所以我們可以認為該球是從甲箱中取出的．答案：甲13．如圖所示，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下：所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數612181212選擇L2的人數0416164(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；(2)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計相應的概率為0.44.(2)設A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內趕到火車站．由頻數分布表知，40分鐘趕往火車站，選擇不同路徑L1，L2的頻率分別為(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5，所以估計P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，則P(A1)＞P(A2)，因此，甲應當選擇路徑L1，同理，50分鐘趕到火車站，乙選擇路徑L1，L2的頻率分布為48÷60＝0.8，36÷40＝0.9，所以估計P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，因此乙應當選擇路徑L2.[C拓展探究]14．工廠質檢員從生產線上每半個小時抽取一件產品并對其某個質量指標Y進行檢測，一共抽取了48件產品，并得到如下統(tǒng)計表．該廠生產的產品在一年內所需的維護次數與指標Y有關，詳細見下表．質量指標Y[9.4，9.8)[9.8，10.2](10.2，10.6]頻數82416一年內所需維護次數201(1)以每個區(qū)間的中點值作為每組指標的代表，用上述樣