八年級下冊《菱形》課件與練習(xí)

第十八章

平行四邊形18.2特殊的平行四邊形18.2.2菱形第1課時

菱形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷平行四邊形的變化過程,觀察菱形的本質(zhì)屬性,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.2.經(jīng)歷探索菱形性質(zhì)的過程,掌握菱形的性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.學(xué)習(xí)重點：菱形的定義及性質(zhì).學(xué)習(xí)難點：菱形性質(zhì)的應(yīng)用.學(xué)習(xí)重難點回顧復(fù)習(xí)思考：回顧矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.矩形的性質(zhì)有哪些？矩形的性質(zhì)與判定有什么聯(lián)系？思考還有沒有特殊的平行四邊形？從哪方面入手研究？導(dǎo)入新課觀察下列圖片中抽象出來的圖形，它們有什么共同特征？探究新知學(xué)生活動一【一起探究】有一組鄰邊相等定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.平行四邊形“導(dǎo)入新課”中的圖形叫做菱形，你能試著給菱形下一個定義嗎？菱形探究新知學(xué)生活動二【探究性質(zhì)】思考：平行四邊形的性質(zhì)菱形具有嗎？為什么？菱形還有它特殊的性質(zhì)嗎？從哪幾個方面進(jìn)行研究？菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì).菱形的特殊性質(zhì)可以從邊、對角線兩個方面來考慮.探究新知猜想:1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.思考:如圖,觀察圖形,猜想菱形的邊、對角線有哪些特殊的性質(zhì).探究新知已知:如圖,在菱形ABCD中,AB=AD,對角線AC,BD相交于點O.求證:(1)AB=BC=CD=DA；證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=CD,AD=BC.∵AB=AD,∴AB=BC=CD=DA.探究新知(2)AC⊥BD;證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴BO=DO.∵AB=AD,∴AC⊥BD.探究新知(3)∠BAO=∠DAO=∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO.

證明:

∵四邊形ABCD是菱形,∴AO=CO,BO=DO,∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC.∵AB=BC=CD=DA,∴∠BAO=∠DAO=∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO.

探究新知你能用三種語言表達(dá)菱形的邊和對角線的性質(zhì)嗎？文字語言菱形的四條邊都相等菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角圖形語言符號語言∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∠BAO=∠DAO,∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO,∠ADO=∠CDO

探究新知學(xué)生活動三【應(yīng)用性質(zhì)】例1如圖,菱形ABCD的周長為16cm,∠ABC=120°.求對角線BD和AC的長.

探究新知例2

如圖,菱形花壇ABCD的邊長為20m,∠ABC=60°,沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD.求兩條小路的長（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）和花壇的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.

探究新知歸納菱形的面積公式：（1）底×高;（2）對角線乘積的一半.探究新知

D拓展應(yīng)用

B拓展應(yīng)用

B拓展應(yīng)用3.如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,且AC=6cm,BD=8cm,AE⊥BC,垂足為E,求AE的長.

回顧反思1.在探尋菱形的定義及性質(zhì)時，你經(jīng)歷了怎樣的研究過程？這個過程中用到了哪些數(shù)學(xué)方法？積累了哪些活動經(jīng)驗？2.請預(yù)測菱形后續(xù)還會研究哪些內(nèi)容？怎樣研究？當(dāng)堂訓(xùn)練1.菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是()A.兩組對邊分別平行B.兩組對角分別相等C.對角線互相平行D.對角線互相垂直D當(dāng)堂訓(xùn)練2.如圖,四邊形ABCD是菱形,A,B兩點的坐標(biāo)分別為(0,4),(-3,0),則點D的坐標(biāo)為

,點C的坐標(biāo)為

.（-3,-5）（0,-1）當(dāng)堂訓(xùn)練3.如圖,四邊形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB的延長線于點E,CF⊥AD交AD的延長線于點F.求證:CE=CF.證明:如圖,連接AC,∵四邊形ABCD是菱形,∴AC平分∠DAB

，∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF.當(dāng)堂訓(xùn)練4.如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,延長AB至點E,使BE=BC,連接CE.(1)求證:BD=EC.證明:在菱形ABCD中,AB∥CD,即BE∥CD,BC=CD,∵BE=BC,∴BE=CD.∴四邊形BECD為平行四邊形.∴BD=EC.當(dāng)堂訓(xùn)練(2)求證:S菱形ABCD=S△AEC.證明:由題意易知S△ADC=S△ABC=S△BEC.∵S菱形ABCD=S△ADC+S△ABC,S△AEC=S△ABC+S△BEC,∴S菱形ABCD=S△AEC.1.有一組鄰邊

的平行四邊形叫做菱形.2.菱形的四條邊都

.3.菱形的兩條對角線

,并且每一條對角線

一組對角.4.菱形的面積公式:(1)

;(2)

.知識梳理相等相等互相垂直平分對角線乘積的一半底×高課后作業(yè)

D課時學(xué)業(yè)質(zhì)量評價A3.如圖,菱形ABCD中,∠D=140°,則∠1的度數(shù)是(

)A.10° B.20° C.30° D.40°4.如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AC=24,BD=10,則菱形ABCD的周長是

.B52證明:∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠BEC=∠DFC=90°.∵四邊形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,BC=CD.∴△BEC≌△DFC(AAS).∴CE=CF.5.已知在菱形ABCD中,CE⊥AB于點E,CF⊥AD于點F.(1)求證:CE=CF;

(2)若E是邊AB的中點,AE=2,求CE的長.第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形18.2.2菱形《第1課時菱形的性質(zhì)》同步練習(xí)菱形的概念1.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,CE∥BD,DE∥AC,則四邊形ODEC是

.

菱形基礎(chǔ)通關(guān)菱形的四條邊相等2.【原創(chuàng)題】如圖,已知菱形ABCD的周長為20cm,對角線AC,BD相交于O點,∠CBA=120°,DH⊥AB于點H,連接OH,則OH的長為

cm.

2.53.如圖,在菱形ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,連接EF.(1)求證:AE=AF;證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D,又∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE=AF.(2)若∠B=60°,求∠AEF的度數(shù).解:∵四邊形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°.∵∠B=60°,∴∠BAD=120°.又∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°.由(1)知,△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°.

∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.∵AE=AF,∴△AEF等邊三角形.∴∠AEF=60°.

D5.如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OE⊥AD,垂足為E,AC=8,BD=6,則OE的長為

.

6.如圖,在菱形ABCD中,點E,F分別在邊AB,BC上,BE=BF,DE,DF分別與AC交于點M,N.求證:(1)△ADE≌△CDF.

求證：(2)ME=NF.

菱形的面積公式7.如圖,將矩形ABCD對折,使邊AB與DC,BC與AD分別重合,展開后得到四邊形EFGH.若AB=2,BC=4,則四邊形EFGH的面積為 (

)A.2 B.4 C.5 D.6B8.[教材第57頁練習(xí)第2題改編]已知菱形的周長為8,一條對角線的長為2,則菱形另一條對角線的長為

,菱形的面積為

.

9.如圖,菱形ABCD的兩條對角線AC,BD相交于點O,若AC=12,菱形ABCD的面積為96,EO∥AD,則EO的長為 (

)A.6 B.5 C.10 D.8能力突破B10.【易錯題】如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,連接AC,以點A為圓心、AC長為半徑畫弧,交直線AD于點E,連接CE,則∠AEC的度數(shù)是

.

10°或80°

(2)求證:四邊形BEFD是矩形;證明:∵CE=CD,CF=BC,∴四邊形BEFD是平行四邊形.∵四邊形ABCD是菱形,∴BC=CD,∴BF=DE.∴四邊形BEFD是矩形.(3)四邊形BEFD的周長為

.

12.

在菱形ABCD中,∠ABC=60°中,P是射線BD上一動點,以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE,點E的位置隨點P的位置變化而變化.(1)如圖1,當(dāng)點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時,連接CE.①BP與CE的數(shù)量關(guān)系是什么?請寫出結(jié)論并證明.素養(yǎng)達(dá)標(biāo)解:BP=CE.證明:如圖所示,連接AC.∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形.∴AB=AC,∠BAC=60°.∵△APE是等邊三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°.∴∠BAP=∠CAE.∴△ABP≌△ACE(SAS).∴BP=CE.②CE與AD的位置關(guān)系是什么?請寫出結(jié)論并證明.

(2)當(dāng)點E在菱形ABCD外部時,(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,請說明理由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理).解:(1)中的結(jié)論:BP=CE,CE⊥AD

仍然成立.選擇題圖3進(jìn)行證明.證明:如圖所示,連接AC,設(shè)CE交AD于點H.∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴△ABC和△ACD都是等邊三角形.∴AB=AC,∠BAD=120°,∠BAP=120°+∠DAP.∵△APE是等邊三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°.∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP.∴∠BAP=∠CAE.∴△ABP≌△ACE(SAS).∴BP=CE,∠ACE=∠ABD=30°.∴∠DCE=30°.∵∠ADC=60°,∴∠DCE+∠ADC=90°.∴∠CHD=90°.∴CE⊥AD.∴(1)中的結(jié)論:BP=CE,CE⊥AD

仍然成立.第十八章

平行四邊形18.1特殊的平行四邊形18.2.2菱形第2課時

菱形的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索菱形判定定理的過程,掌握菱形的判定定理,培養(yǎng)學(xué)生的合情推理與演繹推理的能力.2.通過對比平行四邊形、矩形判定的學(xué)習(xí)方法,體會證明過程中類比、轉(zhuǎn)化、由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.學(xué)習(xí)重點：菱形的判定定理.學(xué)習(xí)難點：菱形判定定理的應(yīng)用.學(xué)習(xí)重難點回顧復(fù)習(xí)思考:回顧平行四邊形、矩形的判定定理是怎樣研究的.平行四邊形及矩形的性質(zhì)與判定有什么聯(lián)系？菱形有哪些性質(zhì)？如何研究菱形的判定？說一說你的研究思路.導(dǎo)入新課思考：你知道的判定菱形的方法是什么？菱形還有其他的判定定理嗎？根據(jù)你的經(jīng)驗作出猜想.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.探究新知學(xué)生活動一【一起探究】菱形的性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；

2.菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分

一組對角.請寫出上述定理的逆命題，并對菱形的判定提出猜想.探究新知1.菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊都相等.條件

結(jié)論逆命題：四條邊相等的四邊形是菱形.條件結(jié)論探究新知猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.請畫圖驗證上述猜想.發(fā)現(xiàn):如圖,作AB=BC=CD=AD,得到的四邊形ABCD是菱形.探究新知證明:四條邊相等的四邊形是菱形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.

求證:四邊形ABCD是菱形.證明:∵AB=CD,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵AD=AB,∴?ABCD是菱形.探究新知由此可得菱形的判定定理1:四條邊相等的四邊形是菱形.你能用三種語言表達(dá)這一判定定理嗎？1.文字語言：四條邊相等的四邊形是菱形.2.圖形語言：3.符號語言：∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形.探究新知2.菱形的性質(zhì)2：菱形的兩條對角線互相垂直.條件

結(jié)論逆命題：兩條對角線互相垂直的（平行）四邊形是菱形.條件結(jié)論探究新知猜想：兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形.請畫圖驗證上述猜想.發(fā)現(xiàn)：如圖,AC⊥BD,但四邊形ABCD不是菱形,故上述猜想錯誤.再次猜想：兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.探究新知證明:∵在?ABCD中,AO=CO,且AC⊥DB.∴AD=CD.∴?ABCD是菱形.證明:兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知:如圖,在?ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,

AC⊥DB.求證:?ABCD是菱形.探究新知由此可得菱形的判定定理2:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能用三種語言表達(dá)這一判定定理嗎？1.文字語言：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.2.圖形語言：3.符號語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形且AC⊥BD，

∴?ABCD是菱形.

探究新知3.菱形的性質(zhì)3：菱形的每一條對角線平分一組對角.條件

結(jié)論逆命題：每一條對角線平分一組對角的（平行）四邊形是菱形.條件結(jié)論探究新知猜想：1.一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形.2.每一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形.請獨立證明上述猜想？探究新知證明：1.一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形.已知:如圖,在?ABCD中,AC平分∠DAB和∠DCB.求證:?ABCD是菱形.證明:如圖,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC.∴∠BAC=∠DCA.∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC.∴∠DAC=∠DCA.∴AD=CD.∴?ABCD是菱形.探究新知證明：2.每一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.求證:四邊形ABCD是菱形.

探究新知思考：上述猜想是真命題，為什么沒有作為判定定理？“一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形”用來證明菱形可以通過角平分線+平行證鄰邊相等,從而轉(zhuǎn)化成為有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,于是沒有出現(xiàn)這個定理的必要;而“每一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形”證明時需要4對角相等,用起來不方便,所以沒有作為定理出現(xiàn).探究新知歸納判定菱形的方法：1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2.四條邊相等的四邊形是菱形；3.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.探究新知學(xué)生活動二【應(yīng)用判定】例

如圖,?ABCD的兩條對角線AC,BD相交于點O,且AB=5,AO=4,BO=3.求證:?ABCD是菱形.證明:∵AB=5,AO=4,BO=3,∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形.∴AC⊥BD.∴?ABCD是菱形.拓展應(yīng)用1.如圖,四邊形ABCD的對角線相交于點O,且點O是BD的中點,若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,則四邊形ABCD的面積為(

)

A.40B.24 C.20 D.15B拓展應(yīng)用2.已知:如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,DE∥AC交AB于點E,DF∥AB交AC于點F.求證:四邊形AEDF是菱形.證明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴四邊形AEDF是平行四邊形.∴∠1=∠3.又∵AD是∠BAC的平分線,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴AE=DE.∴四邊形AEDF是菱形.拓展應(yīng)用3.如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對角線AC,BD交于點O,AC平分∠BAD,過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E,連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形．證明:∵AB∥CD,∴∠CAB=∠DCA.∵AC平分∠BAD,∴∠CAB=∠DAC.∴∠DCA=∠DAC.∴CD=AD=AB.

∵AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AD=AB,∴四邊形ABCD是菱形.拓展應(yīng)用

回顧反思1.在探尋菱形的判定定理時，你經(jīng)歷了怎樣的研究過程？這個過程中用到了哪些數(shù)學(xué)方法？積累了哪些活動經(jīng)驗？2.矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形是平行四邊形角特殊的情況，菱形是平行四邊形邊特殊的情況，那么還需要考慮平行四邊形對角線特殊的情況嗎？為什么？平行四邊形能否存在邊和角同時特殊的情況呢？將要怎樣研究呢？當(dāng)堂訓(xùn)練1.如圖,四邊形ABCD的對角線AC,BD互相垂直,則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是(

)A.BA=BCB.AC,BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CDB當(dāng)堂訓(xùn)練2.如圖,將?ABCD沿AE翻折,使點B恰好落在AD上的點F處,則下列結(jié)論不一定成立的是(

)A.AF=EFB.AB=EF

C.AE=AFD.AF=BEC當(dāng)堂訓(xùn)練3.如圖,在△ABC中,點D是邊BC上的點(與B,C兩點不重合),過點D作DE∥AC,DF∥AB,分別交AB,AC于E,F兩點,下列說法正確的是(

)A.若AD⊥BC,則四邊形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形C.若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形D當(dāng)堂訓(xùn)練4.如圖,在△ABC中,點D是BC的中點,點E,F分別在線段AD及其延長線上,且DE=DF.給出下列條件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.從中選擇一個條件使四邊形BECF是菱形,你認(rèn)為這個條件是________(只填寫序號).③當(dāng)堂訓(xùn)練5.如圖,在矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分線BE,DF分別交邊AD,BC于點E,F.(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形；

當(dāng)堂訓(xùn)練(2)當(dāng)∠ABE為多少度時,四邊形BEDF是菱形？請說明理由．解:當(dāng)∠ABE=30°時,四邊形BEDF是菱形．理由:∵BE平分∠ABD,∴∠ABD=2∠ABE=60°,∠EBD=∠ABE=30°.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∴∠EDB=90°-∠ABD=30°.∴∠EDB=∠EBD=30°.∴EB=ED.又∵四邊形BEDF是平行四邊形,∴四邊形BEDF是菱形．1.定義法:有一組鄰邊

的

是菱形.2.對角線

的

是菱形.3.四條邊

的

是菱形.知識梳理相等平行四邊形互相垂直平行四邊形四邊形相等課后作業(yè)1.如圖,添加一個數(shù)據(jù)使四邊形ABCD是菱形,下列選項中正確的是(

)A.AB=6

B.BC=6

C.AB=5

D.CD=62.下列關(guān)于菱形的說法,正確的是(

)A.四個角相等的四邊形是菱形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形C.四條邊都相等的四邊形是菱形D.兩條對角線相等的平行四邊形是菱形C課時學(xué)業(yè)質(zhì)量評價C3.如圖,在△ABC中,D為BC上一點,DE∥AB,DF∥AC.增加下列條件能判定四邊形AFDE為菱形的是(

)A.點D在∠BAC的平分線上 B.AB=ACC.∠A=90° D.D為BC的中點4.如圖,已知∠A,以點A為圓心、恰當(dāng)長為半徑畫弧,分別交AE,AF于點B,D,繼續(xù)分別以點B,D為圓心、線段AB長為半徑畫弧交于點C,連接BC,CD,則所得四邊形ABCD為菱形,判定依據(jù)是

.A四條邊都相等的四邊形是菱形證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,AB=AD,∴平行四邊形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.5.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AB=AD.(1)求證:AC⊥BD;

第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形18.2.2菱形《第2課時菱形的判定》同步練習(xí)定義法1.問題背景:如圖,AD是△ABC的中線,四邊形ADCE是平行四邊形.討論交流:小明說:“若AB=AC,則四邊形ADCE是矩形.”小強說:“若∠BAC=90°,則四邊形ADCE是菱形.”下列說法正確的是 (

)

A.小明不對,小強對 B.小明對,小強不對C.小明和小強都對 D.小明和小強都不對C基礎(chǔ)通關(guān)

菱12對角線互相垂直的平行四邊形是菱形3.在數(shù)學(xué)課上,老師提出問題:如圖1,將銳角三角形紙片ABC(BC>AC)經(jīng)過兩次折疊,得到邊AB,BC,CA上的點D,E,F,使得四邊形DECF恰好為菱形.小明給出的折疊方法:如圖2,①AC邊向BC邊折疊,使AC邊落在BC邊上,得到折痕CD交AB于點D;②C點向AB邊折疊,使點C與點D重合,得到折痕EF交BC邊于點E,交AC邊于點F.老師說:“小明的作法正確.”請回答:小明這樣折疊的依據(jù)是①

是平行四邊形;②

是菱形.

對角線互相平分的四邊形對角線互相垂直的平行四邊形4.如圖,在矩形ABCD中,過對角線BD的中點O作BD的垂線EF,分別交AD,BC于點E,F.(1)證明:△BOF≌△DOE;

(2)連接BE,DF,證明:四邊形EBFD是菱形.證明:∵△BOF≌△DOE,∴ED=BF.又∵ED∥BF,∴四邊形EBFD是平行四邊形.∵EF⊥BD,∴四邊形EBFD是菱形.

D∠B=60°7