2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)5三角形中的幾何計算含解析新人教B版必修5

PAGE1-課時分層作業(yè)(五)三角形中的幾何計算(建議用時：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，則∠A的對邊的長為()A．eq\r(57) B．eq\r(37)C．eq\r(21) D．eq\r(13)D[∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，∠A＝60°，b＝1∴c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13.∴a＝eq\r(13).]2．已知△ABC的內(nèi)角∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若滿意eq\f(sinB－sinA,sinB－sinC)＝eq\f(c,a＋b)，則∠A＝()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)B[由eq\f(sinB－sinA,sinB－sinC)＝eq\f(c,a＋b)，結(jié)合正弦定理，得eq\f(b－a,b－c)＝eq\f(c,a＋b)，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，由∠A為三角形的內(nèi)角，知∠A＝eq\f(π,3).]3．在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，∠B＝60°，則BC邊上的高等于()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(\r(3)＋\r(6),2) D．eq\f(\r(3)＋\r(39),4)B[作圖，AD⊥BC于D．在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，代入數(shù)值得AB＝3.在Rt△ABD中，AD＝ABsin60°＝eq\f(3\r(3),2).]4．在△ABC中，內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，C．若c2＝(a－b)2＋6，∠C＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積是()A．3 B．eq\f(9\r(3),2)C．eq\f(3\r(3),2) D．3eq\r(3)C[由題意得，c2＝a2＋b2－2ab＋6，又由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－aB．∴－2ab＋6＝－ab，即ab＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),2).]5．已知在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) D．eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)D[AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC＝1或BC＝2，當(dāng)BC＝1時，△ABC的面積S＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4)；當(dāng)BC＝2時，△ABC的面積S＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2).]二、填空題6．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，則△ABC的面積為________．4eq\r(3)[∵cosC＝eq\f(1,3)，0<∠C<π，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×2eq\r(3)×eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3).]7．有一三角形的兩邊長分別為3cm,5cm，其夾角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，則此三角形的面積是________cm2.6[解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－eq\f(3,5)，∵|cosα|≤1，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5).故S＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(4,5)＝6(cm2)．]8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，已知∠B＋∠C＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)，b＝1，則S△ABC等于________．eq\f(\r(3),2)[因為∠B＋∠C＝eq\f(2,3)π，所以∠A＝π－eq\f(2,3)π＝eq\f(π,3)，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝eq\f(1,sinB)，則sinB＝eq\f(1,2)，因為a>b，所以∠A>∠B，則∠B＝eq\f(π,6)，所以∠C＝eq\f(π,2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×1＝eq\f(\r(3),2).]三、解答題9．在△ABC中，求證：eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA).[證明]法一：左邊＝eq\f(a－\f(ca2＋c2－b2,2ac),b－\f(cb2＋c2－a2,2bc))＝eq\f(a2－c2＋b2,2a)·eq\f(2b,b2－c2＋a2)＝eq\f(b,a)＝eq\f(2RsinB,2RsinA)＝eq\f(sinB,sinA)＝右邊，(其中R為△ABC外接圓的半徑)∴eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA).法二：左邊＝eq\f(sinA－sinCcosB,sinB－sinCcosA)＝eq\f(sinB＋C－sinC·cosB,sinA＋C－sinC·cosA)＝eq\f(sinBcosC,sinAcosC)＝eq\f(sinB,sinA)＝右邊(cosC≠0)，∴eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA).10．在△ABC中，內(nèi)角∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，BC邊上的中線AM的長為eq\r(7).(1)求∠A和∠B的大小；(2)求△ABC的面積．[解](1)由a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，得a2－b2－c2＝－eq\r(3)bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，又0<∠A<π，∴∠A＝eq\f(π,6).由sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，得eq\f(1,2)sinB＝eq\f(1＋cosC,2)，即sinB＝1＋cosC，則cosC<0，即∠C為鈍角，∴∠B為銳角，且∠B＋∠C＝eq\f(5π,6)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－C))＝1＋cosC，化簡得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,3)))＝－1，得∠C＝eq\f(2π,3)，∴∠B＝eq\f(π,6).(2)由(1)知a＝b，則AM2＝b2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2－2b×eq\f(a,2)×cosC＝b2＋eq\f(b2,4)＋eq\f(b2,2)＝(eq\r(7))2，得b＝2，故S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).[實力提升練]1．在△ABC中，已知∠A＝30°，a＝8，b＝8eq\r(3)，則△ABC的面積為()A．32eq\r(3) B．16C．32eq\r(3)或16 D．32eq\r(3)或16eq\r(3)D[在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(8\r(3)×\f(1,2),8)＝eq\f(\r(3),2)，又b>a，∴∠B＝60°或120°.當(dāng)∠B＝60°時，∠C＝180°－30°－60°＝90°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×8×8eq\r(3)＝32eq\r(3)；當(dāng)∠B＝120°時，∠C＝180°－30°－120°＝30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×8×8eq\r(3)×eq\f(1,2)＝16eq\r(3).]2．△ABC的周長為20，面積為10eq\r(3)，∠A＝60°，則BC的邊長等于()A．5 B．6C．7 D．8C[如圖，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝20，,\f(1,2)bcsin60°＝10\r(3)，,a2＝b2＋c2－2bccos60°，))則bc＝40，a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－3×40，∴a＝7.]3．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15eq\r(3)，△ABC的外接圓半徑為eq\r(3)，則邊c的長為________．3[S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝15eq\r(3)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).由正弦定理eq\f(c,sinC)＝2R，∴c＝2R×sinC＝3.]4．已知△ABC的面積為3eq\r(2)，a＋c＝2eq\r(10)，cosB＝－eq\f(1,3)，則b的值為________．2eq\r(7)[在△ABC中，由cosB＝－eq\f(1,3)可得sinB＝eq\f(2\r(2),3)，依據(jù)面積為3eq\r(2)得，eq\f(1,2)acsinB＝3eq\r(2)得ac＝9，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accos＝40－18＋6＝28，則b＝2eq\r(7).]5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，C．已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC．(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面積為2eq\r(2)，求b，C．[解](1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,3)，從而cosA＝－cos(B＋C)＝eq\f(1,3).(2)由于0<∠A<π，cosA＝eq\f(1,3)，所以sin