2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)習(xí)題課三圓錐曲線與方程北師大版選修2-1

PAGE1-1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線相互垂直，則該雙曲線的離心率是()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(3,2)解析：選C由題可知y＝eq\f(b,a)x與y＝－eq\f(b,a)x相互垂直，可得－eq\f(b,a)·eq\f(b,a)＝－1，則a＝b.由離心率的計算公式，可得e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝2，e＝eq\r(2).2．已知F是拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點，P是該拋物線上的動點，則線段PF中點的軌跡方程是()A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－eq\f(1,16)C．x2＝y(tǒng)－eq\f(1,2) D．x2＝2y－2解析：選A焦點為F(0,1)，設(shè)P(p，q)，則p2＝4q.設(shè)Q(x，y)是線段PF的中點，則x＝eq\f(p,2)，y＝eq\f(q＋1,2)，即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)，即x2＝2y－1.3．已知直線y＝kx＋1與雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1交于A，B兩點，且|AB|＝8eq\r(2)，則實數(shù)k的值為()A．±eq\r(7) B．±eq\r(3)或±eq\f(\r(41),3)C．±eq\r(3) D．±eq\f(\r(41),3)解析：選B由直線與雙曲線交于A，B兩點，得k≠±2.將y＝kx＋1代入x2－eq\f(y2,4)＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，則Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，k2＜5.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2k,4－k2)，x1x2＝－eq\f(5,4－k2)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,4－k2)))2＋\f(20,4－k2))＝8eq\r(2)，解得k＝±eq\r(3)或±eq\f(\r(41),3).4.我們把由半橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(x≥0)與半橢圓eq\f(y2,b2)＋eq\f(x2,c2)＝1(x<0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如圖所示，其中點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點．若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為()A.eq\f(\r(7),2)，1 B.eq\r(3)，1C．5,3 D．5,4解析：選A∵|OF2|＝eq\r(b2－c2)＝eq\f(1,2)，|OF0|＝c＝eq\r(3)|OF2|＝eq\f(\r(3),2)，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋eq\f(3,4)＝eq\f(7,4)，得a＝eq\f(\r(7),2).5.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在其次、四象限的公共點．其四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)解析：選D焦點F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|AF1|2＋|AF2|2＝12，所以可解得|AF2|－|AF1|＝2eq\r(2)，故a＝eq\r(2)，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2)，選D.6．若過點A(0，h)(h＞1)的兩條直線l1和l2與橢圓E：eq\f(x2,2)＋y2＝1都只有一個交點，且l1⊥l2，則h的值為()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C．2 D.eq\r(6)解析：選A由題意知l1，l2的斜率都存在且不為0.設(shè)l1：y＝kx＋h，則由l1⊥l2，知l2：y＝－eq\f(1,k)x＋h，將l1：y＝kx＋h代入eq\f(x2,2)＋y2＝1得eq\f(x2,2)＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，由l1與橢圓E只有一個交點知Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，即1＋2k2＝h2.同理，由l2與橢圓E只有一個交點知，1＋eq\f(2,k2)＝h2，得eq\f(1,k2)＝k2，即k2＝1，從而h2＝1＋2k2＝3，即h＝eq\r(3).7．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的實軸長為4，離心率為eq\r(5)，則雙曲線的方程為____________．解析：因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的實軸長為4，所以a＝2，由離心率為eq\r(5)，可得eq\f(c,a)＝eq\r(5)，c＝2eq\r(5)，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(20－4)＝4，則雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝18．已知A(0，－4)，B(3,2)，拋物線y＝x2上的點到直線AB的最短距離為________．解析：直線AB為2x－y－4＝0，設(shè)拋物線y＝x2上的點P(t，t2)，d＝eq\f(|2t－t2－4|,\r(5))＝eq\f(t2－2t＋4,\r(5))＝eq\f(t－12＋3,\r(5))≥eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5).答案：eq\f(3\r(5),5)9．已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________.解析：法一：依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點F(2,0)，因為M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，M為FN的中點，設(shè)M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2eq\r(2)，所以N(0,4eq\r(2))，|FN|＝eq\r(4＋32)＝6.法二：如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點A，過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵點M為FN的中點，PM∥OF，∴|MP|＝eq\f(1,2)|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.答案：610．如圖，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，若它的一個頂點恰好是拋物線x2＝4eq\r(2)y的焦點．(1)求橢圓C的方程；(2)直線x＝2與橢圓C交于P，Q兩點，點P位于第一象限，A，B是橢圓C上位于直線x＝2兩側(cè)的動點．若直線AB的斜率為eq\f(1,2)，求四邊形APBQ面積的最大值．解：(1)設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵拋物線x2＝4eq\r(2)y的焦點是(0，eq\r(2))，∴b＝eq\r(2).由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，a2＝b2＋c2，得a＝2eq\r(2)，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝eq\f(1,2)x＋t，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，,y＝\f(1,2)x＋t，))得x2＋2tx＋2t2－4＝0，則x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4.在eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1中，令x＝2，得P(2,1)，Q(2，－1)．∴四邊形APBQ的面積S＝S△APQ＋S△BPQ＝eq\f(1,2)|PQ|·|x2－x1|＝eq\f(1,2)×2×|x2－x1|＝|x2－x1|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(4t2－42t2－4)＝eq\r(－4t2＋16).∴當(dāng)t＝0時，Smax＝4.∴四邊形APBQ面積的最大值為4.11．(2024·北京高考)已知拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(2，－1)．(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y＝－1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．解：(1)由拋物線C：x2＝－2py經(jīng)過點(2，－1)，得p＝2.所以拋物線C的方程為x2＝－4y，其準(zhǔn)線方程為y＝1.(2)證明：拋物線C的焦點為F(0，－1)．設(shè)直線l的方程為y＝kx－1(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝－4y))消去y，得x2＋4kx－4＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＝－4.直線OM的方程為y＝eq\f(y1,x1)x.令y＝－1，得點A的橫坐標(biāo)xA＝－eq\f(x1,y1).同理得點B的橫坐標(biāo)xB＝－eq\f(x2,y2).設(shè)點D(0，n)，則eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x1,y1)，－1－n))，eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x2,y2)，－1－n))，eq\o(DA,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(x1x2,y1y2)＋(n＋1)2＝eq\f(x1x2,\b\lc\(\rc\)(