2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間幾何體1.3.1柱體錐體臺(tái)體的表面積與體積課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGE1-1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)選擇題(每小題5分，共25分)1．如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(3)，則該圓錐的表面積為()A．πB．2πC．3πD．4π解析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則l＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，所以圓錐的表面積為S＝π×1×(1＋2)＝3π.答案：C2．若棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4,16，高為3，則該棱臺(tái)的體積為()A．26B．28C．30D．32解析：所求棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)×(4＋16＋eq\r(4×16))×3＝28.答案：B3．若圓柱的底面半徑為1，其側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積是()A．4π2B．3π2C．2π2D．π2解析：依題意，圓柱的母線長(zhǎng)l＝2πr，故S側(cè)＝2πrl＝4π2r2＝4π2.答案：A4．正方體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A、C、B1、D1為頂點(diǎn)的正三棱錐的全面積為4eq\r(3)，則該正方體的棱長(zhǎng)為()A.eq\r(2)B．2C．4D．2eq\r(2)解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)a，所以正三棱錐A－CB1D1的棱長(zhǎng)為eq\r(2)a，其表面積為4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝4eq\r(3)，可得a2＝2，即a＝eq\r(2).答案：A5．在△ABC中，AB＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°，將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積是()A.eq\f(9,2)πB.eq\f(7,2)πC.eq\f(5,2)πD.eq\f(3,2)π解析：如圖，△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是以△ACD為軸截面的圓錐中挖去一個(gè)以△ABD為軸截面的圓錐后剩余的部分．因?yàn)锳B＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°，所以AE＝ABsin60°＝eq\r(3)，BE＝AB·cos60°＝1，CE＝eq\f(5,2).V1＝eq\f(1,3)π·AE2·CE＝eq\f(5π,2)，V2＝eq\f(1,3)π·AE2·BE＝π，所以V＝V1－V2＝eq\f(3,2)π.故選D.答案：D二、填空題(每小題5分，共15分)6．[2024·重慶市巴南區(qū)校級(jí)月考]已知圓錐的底面半徑為2cm，高為1cm，則圓錐的側(cè)面面積是________cm2.解析：依據(jù)圓錐的側(cè)面面積公式可得S側(cè)＝π×2×eq\r(22＋12)＝2eq\r(5)π(cm)2.答案：2eq\r(5)π7．[2024·鄭州市校級(jí)月考]底面是菱形的直棱柱，它的體對(duì)角線的長(zhǎng)分別是7和15，高是5，則這個(gè)直棱柱的側(cè)面面積是________．解析：依題意得，直棱柱底面的一條對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(152－52)＝10eq\r(2)，底面的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(72－52)＝2eq\r(6).又菱形的兩對(duì)角線相互垂直平分，故底面邊長(zhǎng)為eq\r(5\r(2)2＋\r(6)2)＝2eq\r(14)，則這個(gè)直棱柱的側(cè)面面積S側(cè)＝4×2eq\r(14)×5＝40eq\r(14).答案：40eq\r(14)8．[2024·啟東市校級(jí)檢測(cè)]如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩余部分母線長(zhǎng)的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是________．解析：將該幾何體上部補(bǔ)上一個(gè)與該幾何體相同的幾何體，得到一個(gè)圓柱，其體積為π(a＋b)r2，所以所求幾何體的體積為eq\f(1,2)π(a＋b)r2.答案：eq\f(1,2)π(a＋b)r2三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體S－ABC如圖所示，求它的表面積．解析：因?yàn)樗拿骟wS－ABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面面積的4倍．不妨求△SBC的面積，過(guò)點(diǎn)S作SD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，如圖所示．因?yàn)锽C＝SB＝a，SD＝eq\r(SB2－BD2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)a，所以S△SBC＝eq\f(1,2)BC·SD＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),4)a2.故四面體S－ABC的表面積S＝4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)a2.10．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的體積．解析：如圖，過(guò)C作CE垂直于AD，交AD延長(zhǎng)線于E，則所求幾何體的體積可看成是由梯形ABCE繞AE旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺(tái)的體積，減去△EDC繞DE旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐的體積．所以所求幾何體的體積V＝V圓臺(tái)－V圓錐＝eq\f(1,3)π×(52＋5×2＋22)×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.[實(shí)力提升](20分鐘，40分)11．如圖所示，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱AB上，且EF＝2，動(dòng)點(diǎn)Q在棱D′C′上，則三棱錐A′－EFQ的體積()A．與點(diǎn)E，F(xiàn)的位置有關(guān)B．與點(diǎn)Q的位置有關(guān)C．與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置都有關(guān)D．與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置均無(wú)關(guān)，是定值解析：因?yàn)辄c(diǎn)Q到平面A′EF的距離為正方體的棱長(zhǎng)4，A′到EF的距離為正方體的棱長(zhǎng)4，所以VA′－QEF＝VQ－A′EF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×4＝eq\f(16,3)，是定值，因此與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置均無(wú)關(guān)．答案：D12．如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，BC，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，現(xiàn)沿AE，EF，AF折疊，使B，C，D三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐，則這個(gè)三棱錐的表面積為_(kāi)_______．解析：因?yàn)檎郫B后構(gòu)成的三棱錐的表面均由原正方形的各部分圍成，且沒(méi)有重疊，因此這個(gè)三棱錐的表面積等于正方形ABCD的面積，為6×6＝36(cm2)．答案：36cm213．如圖是一建筑物的三視圖(單位：m)，現(xiàn)需將其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2kg，問(wèn)須要油漆多少千克？(無(wú)需求近似值)解析：由三視圖知建筑物為一組合體，自上而下分別是圓錐和正四棱柱，并且圓錐的底面半徑為3m，母線長(zhǎng)為5m，正四棱柱的高為4m，底面是邊長(zhǎng)為3m的正方形，圓錐的表面積為πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2)；四棱柱的一個(gè)底面積為9m2，正四棱柱的側(cè)面積為4×4×3＝48(m2)，所以外壁面積為24π－9＋48＝(24π＋39)(m2)．所以須要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8)(kg)．14．一個(gè)直角梯形的兩底邊長(zhǎng)分別為2和5，高為4，將其繞較長(zhǎng)的底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積．解析：如圖，梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作DM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，則DM＝4，MC＝5－2＝3.在