2024-2025學年高中數(shù)學第3章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其線性運算3.1.2共面向量定理講義蘇教版選修2-1

PAGE1-3.1.1空間向量及其線性運算3.1.2共面對量定理學習目標核心素養(yǎng)1.了解空間向量與平面對量的聯(lián)系與區(qū)分，駕馭空間向量的線性運算及其性質(zhì)，理解共線向量定理．(重點)2.了解向量共面的含義，理解共面對量定理．3.能運用共面對量定理證明有關線面平行和點共面的簡潔問題.1.通過平面對量與空間向量的對比，培育邏輯推理素養(yǎng)．2.借助共線、共面對量，提升直觀想象與數(shù)學運算素養(yǎng).1．空間向量及其線性運算(1)空間向量在空間，把既有大小又有方向的量叫做空間向量．(2)空間向量的線性運算空間向量的線性運算定義(或法則)加法設a和b是空間兩個向量，過一點O作a和b的相等向量eq\o(OA,\s\up8(→))和eq\o(OB,\s\up8(→))，依據(jù)平面對量加法的平行四邊形法則．平行四邊形OACB的對角線OC對應的向量eq\o(OC,\s\up8(→))就是a與b的和，記作a＋b減法與平面對量類似，a與b的差定義為a＋(－b)，記作a－b，其中－b是b的相反向量空間向量的數(shù)乘空間向量a與一個實數(shù)λ的乘積是一個向量，記作λa，滿意：大?。簗λa|＝|λ||a|.方向：當λ＞0時，λa與a方向相同；當λ＜0時，λa與a方向相反；當λ＝0時，λa＝02．共線向量(1)共線向量假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．向量a與b平行，記作a∥b，規(guī)定零向量與隨意向量共線．(2)共線向量定理對空間隨意兩個向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使b＝λa.3．共面對量(1)能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面對量．(2)共面對量定理假如兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p＝xa＋yb.思索：(1)空間中隨意兩個向量肯定是共面對量嗎？(2)若空間隨意一點O和不共線的三點A，B，C，滿意eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))，則點P與點A，B，C是否共面？[提示](1)空間中隨意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一個平面的兩個向量，因此肯定是共面對量．(2)由eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))得eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))即eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))，因此點P與點A，B，C共面．1．已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up8(→))＝()A．a(chǎn)＋b－c B．－a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－cC[eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝－a＋b＋c.]2．在下列條件中，使M與A，B，C肯定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))B.eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up8(→))C.eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝0C[由MA＋MB＋MC＝0得eq\o(MA,\s\up8(→))＝－eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))，故M，A，B，C四點共面．]3．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))化簡的結果為________．0[延長DE交邊BC于點F，則有eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))，故eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝0.]4．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運算結果為eq\o(BD1,\s\up8(→))的是________(填序號)．①eq\o(A1D1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))；②eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→))－eq\o(D1C1,\s\up8(→))；③eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DD1,\s\up8(→))；④eq\o(B1D1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→)).①②[①eq\o(A1D1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AD1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BD1,\s\up8(→))；②eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→))－eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(BC1,\s\up8(→))＋eq\o(C1D1,\s\up8(→))＝eq\o(BD1,\s\up8(→))；③eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(BB1,\s\up8(→))＝eq\o(B1D,\s\up8(→))≠eq\o(BD1,\s\up8(→))；④eq\o(B1D1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(DD1,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))＝eq\o(BD1,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))≠eq\o(BD1,\s\up8(→)).]空間向量的有關概念【例1】(1)給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))④若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m＝p.其中正確命題的序號是________．(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，頂點連接的向量中，與向量eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量有________；與向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))相反的向量有________．(要求寫出全部適合條件的向量)(1)②③④(2)eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→))eq\o(B′A′,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C′D′,\s\up8(→))[(1)對于①，向量a與b的方向不肯定相同或相反，故①錯；對于②，依據(jù)相反向量的定義知|a|＝|b|，故②正確；對于③，依據(jù)相等向量的定義知，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))，故③正確；對于④，依據(jù)相等向量的定義知正確．(2)依據(jù)相等向量的定義知，與向量eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量有eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→)).與向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))相反的向量有eq\o(B′A′,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C′D′,\s\up8(→)).]解答空間向量有關概念問題的關鍵點及留意點1．關鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向．2．留意點：留意一些特別向量的特性．(1)零向量不是沒有方向，而是它的方向是隨意的，且與任何向量都共線，這一點說明白共線向量不具備傳遞性．(2)單位向量方向雖然不肯定相同，但它們的長度都是1.(3)兩個向量模相等，不肯定是相等向量；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚?．如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1(1)試寫出與eq\o(AB,\s\up8(→))相等的全部向量；(2)試寫出eq\o(AA1,\s\up8(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up8(→))的模．[解](1)與向量eq\o(AB,\s\up8(→))相等的向量有eq\o(A1B1,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，，eq\o(D1C1,\s\up8(→))，共3個；(2)向量eq\o(AA1,\s\up8(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up8(→))，eq\o(B1B,\s\up8(→))，eq\o(C1C,\s\up8(→))，eq\o(D1D,\s\up8(→))，共4個；(3)|eq\o(AC1,\s\up8(→))|2＝22＋22＋12＝9，所以|eq\o(AC1,\s\up8(→))|＝3.空間向量的線性運算【例2】(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為向量eq\o(AC1,\s\up8(→))的有()①(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))；②(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))；③(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))；④(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→)).A．1個B．2個C．3個D．4個(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up8(→))＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：①eq\o(AP,\s\up8(→))；②eq\o(A1N,\s\up8(→))；③eq\o(MP,\s\up8(→))＋eq\o(NC1,\s\up8(→)).[思路探究](1)依據(jù)向量的三角形法則和平行四邊形法則求解．(2)依據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則，平行四邊形法則求解．(1)D[對于①，(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))，對于②，(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AD1,\s\up8(→))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))，對于③，(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))，對于④，(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→)).](2)[解]①eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→))＋eq\o(D1P,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b，②eq\o(A1N,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→))＝－eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c，③eq\o(MP,\s\up8(→))＋eq\o(NC1,\s\up8(→))＝eq\o(MA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→))＋eq\o(D1P,\s\up8(→))＋eq\o(NC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a＋c＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＋a＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.1．空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，敏捷運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必留意和向量、差向量的方向，必要時可采納空間向量的自由平移獲得運算結果．2．利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合詳細圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，奇妙運用中點性質(zhì)．2.如圖，已知空間四邊形OABC，M，N分別是邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG＝2GN，設eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，試用a，b，c表示向量eq\o(OG,\s\up8(→)).[解]eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(MG,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))＋\o(OB,\s\up8(→))－\o(OA,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up8(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up8(→))－\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up8(→))－\o(OB,\s\up8(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.共線問題【例3】(1)設e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up8(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三點共線，實數(shù)k＝________.(2)如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點，且A1O＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up8(→))，BD與AC交于點M.求證：C1，O，M三點共線．[思路探究](1)依據(jù)向量共線的充要條件求解．(2)用向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))分別表示eq\o(MO,\s\up8(→))和eq\o(MC1,\s\up8(→)).(1)1[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2設eq\o(AD,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，則7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝7,λk＝k＋6))，解得k＝1](2)[證明]設eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，則eq\o(MO,\s\up8(→))＝eq\o(MC,\s\up8(→))＋eq\o(CO,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA1,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,6)b＋eq\f(1,3)c，eq\o(MC1,\s\up8(→))＝eq\o(MC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))，＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，∴eq\o(MC1,\s\up8(→))＝3eq\o(MO,\s\up8(→))，又直線MC1與直線MO有公共點M，∴C1，O，M三點共線．1．推斷向量共線的策略(1)熟記共線向量的充要條件：①若a∥b，b≠0，則存在惟一實數(shù)λ使a＝λb；②若存在惟一實數(shù)λ，使a＝λb，b≠0，則a∥b.(2)推斷向量共線的關鍵：找到實數(shù)λ.2．證明空間三點共線的三種思路對于空間三點P，A，B可通過證明下列結論來證明三點共線．(1)存在實數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up8(→))＝λeq\o(PB,\s\up8(→))成立．(2)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))(t∈R)．(3)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x＋y＝1)．3．(1)已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，DA[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b，所以eq\o(AD,\s\up8(→))＝3eq\o(AB,\s\up8(→)).又直線AB，AD有公共點A，故A、B、D三點共線．](2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，F(xiàn)在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點共線．[證明]設eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，因為eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→))，所以eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up8(→))，所以eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c，所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(A1F,\s\up8(→))－eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up8(→))＝eq\o(EA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up8(→))，所以E，F(xiàn)，B三點共線.向量共面問題[探究問題]1．能說明P，A，B，C四點共面的結論有哪些？提示：(1)存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).(2)空間一點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(其中x＋y＋z＝1)．(3)eq\o(PA,\s\up8(→))∥eq\o(BC,\s\up8(→)).2．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，試推斷p，m，n提示：設p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.因為a，b，c不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1，))而此方程組無解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面．【例4】如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求證：向量eq\o(MN,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→))共面．[思路探究]可通過證明eq\o(MN,\s\up8(→))＝xeq\o(CD,\s\up8(→))＋yeq\o(DE,\s\up8(→))求證．[證明]因為M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→)).同理eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up8(→)).所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up8(→))))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up8(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up8(→)).又eq\o(CD,\s\up8(→))與eq\o(DE,\s\up8(→))不共線，依據(jù)向量共面的充要條件可知eq\o(MN,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→))共面．1．利用四點共面求參數(shù)向量共面的充要條件的實質(zhì)是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量肯定可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值．2．證明空間向量共面或四點共面的方法(1)向量表示：設法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面．(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點共面．(3)用平面：找尋一個平面，設法證明這些向量與該平面平行．4．已知A，B，C三點不共線，點O是平面ABC外的隨意一點，若點P分別滿意下列關系：(1)eq\o(OA,\s\up8(→))＋2eq\o(OB,\s\up8(→))＝6eq\o(OP,\s\up8(→))－3eq\o(OC,\s\up8(→))；(2)eq\o(OP,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝4eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)).試推斷點P是否與點A，B，C共面．[解]法一：(1)∵3eq\o(OP,\s\up8(→))－3eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋2eq\o(OB,\s\up8(→))－3eq\o(OP,\s\up8(→))＝(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→)))＋(2eq\o(OB,\s\up8(→))－2eq\o(OP,\s\up8(→)))，∴3eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(PA,\s\up8(→))＋2eq\o(PB,\s\up8(→))，即eq\o(PA,\s\up8(→))＝－2eq\o(PB,\s\up8(→))－3eq\o(PC,\s\up8(→)).依據(jù)共面對量定理的推論知：P與點A，B，C共面．(2)設eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))(x，y∈R)，則eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝4eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))＋x(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋y(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝4eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))，∴(1－x－y－4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋(1＋x)eq\o(OB,\s\up8(→))＋(1＋y)eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，由題意知eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))均為非零向量，所以x，y滿意：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x－y－4＝0，,1＋x＝0，,1＋y＝0，))明顯此方程組無解，故點P與點A，B，C不共面．法二：(1)由題意，eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up8(→))，∵eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝1，∴點P與點A，B，C共面．(2)∵eq\o(OP,\s\up8(→))＝4eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，而4－1－1＝2≠1，∴點P與點A，B，C不共面．1．空間向量的概念和平面對量類似，向量的模、零向量、單位向量、相等向量等都可以結合平面對量理解．2．向量可以平移，隨意兩個向量都是共面對量．因此空間兩個向量的加減法運算和平面對量完全相同，可以利用平行四邊形法則和三角形法則來進行運算．3．證明(或推斷)三點A，B，C共線時，只需證明存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))(或eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→)))即可，也可用“對空間隨意一點O，有eq\o(OC,\s\up8(→))＝teq\o(OA,\s\up8(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up8(→))”來證明三點A，B，C共線．4．空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)