2024-2025學(xué)年陜西省延安市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省延安市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、試卷類型信息填涂在答題卡上，并將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷上.2.作答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).涂寫在本試卷上無效.3.作答第Ⅱ卷時(shí)，將答案書寫在答題卡上，書寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡統(tǒng)一交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線的傾斜角為，則（）．A.0 B. C. D.不存在2.若向量是空間中的一個(gè)基底，那么對任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標(biāo).設(shè)向量在基底下的斜坐標(biāo)為，則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（）A B. C. D.3.下列命題中正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線l方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則4.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.5.已知空間向量，，若與垂直，則等于（

）A. B. C. D.6.已知點(diǎn)，，若，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.7.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則（）A6 B.8 C.10 D.12二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量的夾角為B.C.向量在向量上的投影向量為D.向量與向量，共面10.布達(dá)佩斯伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成組合，把這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成空間幾何體．若圖中每個(gè)正方體的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.點(diǎn)到直線的距離是C. D.異面直線與所成角的正切值為411.如圖，球與棱長為2的正方體的六個(gè)面都相切，分別為棱的中點(diǎn)，為正方形的中心，則（）A.球與該正方體的體積之比為B.球與該正方體的表面積之比為C.直線被球截得的線段的長度為D.過三點(diǎn)的正方體的截面與球的球面的交線長為三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)12.如圖，四邊形，都是邊長為1的正方形，,則，兩點(diǎn)間的距離是______．13.直線l過原點(diǎn)，且垂直于向量．若角的終邊落在直線l上，則______．14.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形狀體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在線段MN上運(yùn)動(dòng)，若，則______．四、解答題(本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15.已知直線，直線.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.16.如圖，PC是圓臺(tái)的一條母線，是圓的內(nèi)接三角形，AB為圓的直徑，．（1）證明：；（2）若圓臺(tái)的高為3，體積為，求直線AB與平面PBC夾角的正弦值．17.已知直線過定點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程；（2）若直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，若三角形的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值并求此時(shí)直線的方程．18.如圖，直角梯形中，分別為邊的中點(diǎn)，將沿邊折起到的位置，為邊的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）當(dāng)，且二面角為銳二面角時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．19.如圖，已知菱形和菱形的邊長均為，，分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且.當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí),（1）求；（2）求點(diǎn)到平面的距離．2024-2025學(xué)年陜西省延安市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、試卷類型信息填涂在答題卡上，并將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷上.2.作答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).涂寫在本試卷上無效.3.作答第Ⅱ卷時(shí)，將答案書寫在答題卡上，書寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡統(tǒng)一交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線的傾斜角為，則（）．A.0 B. C. D.不存【正確答案】C【分析】根據(jù)直線的方程即可求解.【詳解】因?yàn)椋瑸橐怀?shù)，故直線的傾斜角為，故選：C2.若向量是空間中的一個(gè)基底，那么對任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標(biāo).設(shè)向量在基底下的斜坐標(biāo)為，則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】借助待定系數(shù)法設(shè)，結(jié)合所給定義及其在基底下的斜坐標(biāo)計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，設(shè)，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐標(biāo)為.故選：D.3.下列命題中正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則【正確答案】C【分析】由空間點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.【詳解】對于A，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，若直線l方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項(xiàng)正確；對于D，已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.4.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解.【詳解】.故選：B.5.已知空間向量，，若與垂直，則等于（

）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，即，可得，解得.故選：C6.已知點(diǎn)，，若，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為，由的坐標(biāo)求出直線的斜率，結(jié)合的范圍可得即的取值范圍，再利用正切函數(shù)性質(zhì)分析可得的范圍，即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為，點(diǎn)，，則直線的斜率，又由，則的取值范圍為，，即的范圍為，，又由，則故選：C.7.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量共線定理即可表示出，進(jìn)而再求的坐標(biāo)即可運(yùn)算.【詳解】∵，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，∴可設(shè).又向量，，∴，，則.易得當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B.8.已知函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則（）A.6 B.8 C.10 D.12【正確答案】C【分析】由直線過定點(diǎn)和函數(shù)圖像的對稱性結(jié)合即可；【詳解】由題意可得直線恒過點(diǎn)，且無論取何值，直線與函數(shù)都有兩個(gè)交點(diǎn)，所以分析函數(shù)的對稱中心為，所以，，所以，故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量的夾角為B.C.向量在向量上的投影向量為D.向量與向量，共面【正確答案】ABD【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量相乘為0可得向量垂直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計(jì)算出投影向量為所以C錯(cuò)誤，得出向量共面判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，則向量與向量的夾角為，故A正確；因?yàn)椋?，即B正確；根據(jù)投影向量定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C錯(cuò)誤；由向量，，，可知，向量與向量，共面，所以D正確.故選：ABD10.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成組合，把這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成空間幾何體．若圖中每個(gè)正方體的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.點(diǎn)到直線的距離是C. D.異面直線與所成角的正切值為4【正確答案】ABC【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量模的坐標(biāo)求法判斷C，利用投影公式結(jié)合勾股定理判斷B，利用線線角的向量求法判斷D即可.【詳解】依題意得，故A正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，對于BC，，所以，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，故BC正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，所以異面直線與所成角的正切值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用投影公式結(jié)合勾股定理得到所要求的長度即可．11.如圖，球與棱長為2正方體的六個(gè)面都相切，分別為棱的中點(diǎn)，為正方形的中心，則（）A.球與該正方體的體積之比為B.球與該正方體的表面積之比為C.直線被球截得的線段的長度為D.過三點(diǎn)的正方體的截面與球的球面的交線長為【正確答案】BC【分析】根據(jù)正方體和球的表面積和體積公式，可判定A錯(cuò)誤；B正確；連接，取中點(diǎn)，得到，求得到的距離，結(jié)合圓的弦長公式，可判定C正確；以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，求得和平面的法向量，結(jié)合距離公式，得到過三點(diǎn)的正方體的截面恰好過球的球心，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)榍蚺c棱長為2的正方體的六個(gè)面都相切，對于A中，可得正方體的體積為，球的半徑為，體積為，球與該正方體的體積之比為，所以A不正確；對于B中，正方體的表面積為，球的表面積為，所以球與該正方體的表面積之比為，所以B正確；對于C中，連接，可得，再連接，在直角中，可得，取中點(diǎn)，連接，則，可得，即點(diǎn)到的距離為，所以直線被球截得的線段的長度為，所以C正確；對于D中，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，可得過三點(diǎn)的正方體的截面恰好過球的球心，所以截面交線的周長為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)12.如圖，四邊形，都是邊長為1的正方形，,則，兩點(diǎn)間的距離是______．【正確答案】【分析】由空間向量的線性運(yùn)算可得出，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得，即為所求．【詳解】因?yàn)樗倪呅巍⒍际沁呴L為的正方形，則，，又，則，因?yàn)?，由圖易知，，所以，即，兩點(diǎn)間的距離是．故．13.直線l過原點(diǎn)，且垂直于向量．若角的終邊落在直線l上，則______．【正確答案】##【分析】根據(jù)題意求出直線方程，然后利用任意角的三角函數(shù)的定義求出，再對變形后，將代入計(jì)算即可【詳解】因?yàn)橹本€l過原點(diǎn)，且垂直于向量，所以直線l的方程為，當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，所以若角的終邊落在直線l上，則，．故14.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形狀體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在線段MN上運(yùn)動(dòng)，若，則______．【正確答案】【分析】利用等和面定理求解即可.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接AE交于點(diǎn)．因?yàn)镸，N分別是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面．因?yàn)槠矫鍱MN，所以平面平面，點(diǎn)在平面EMN內(nèi)，所以由等和面定理可知，．故四、解答題(本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15.已知直線，直線.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行公式計(jì)算即可求參，再檢驗(yàn)是否重合；（2）根據(jù)兩條直線垂直公式計(jì)算即可求參.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，整理得解得?當(dāng)時(shí)，重合；當(dāng)時(shí)，，符合題意.故.【小問2詳解】因?yàn)?，所以解得?16.如圖，PC是圓臺(tái)的一條母線，是圓的內(nèi)接三角形，AB為圓的直徑，．（1）證明：；（2）若圓臺(tái)的高為3，體積為，求直線AB與平面PBC夾角的正弦值．【正確答案】（1）證明見詳解；（2）.【分析】（1）轉(zhuǎn)化為證明平面，利用圓臺(tái)性質(zhì)即可證明；（2）先利用圓臺(tái)體積求出上底面的半徑，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角即可.【小問1詳解】由題知，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，又，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由圓臺(tái)性質(zhì)可知，平面，且四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫妫?【小問2詳解】圓臺(tái)的體積，其中，解得或(舍去).由（1）知兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得于是可取.設(shè)直線與平面的夾角為，則，故所求正弦值為.17.已知直線過定點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程；（2）若直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，若三角形的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值并求此時(shí)直線的方程．【正確答案】（1）或（2）的最小值為，直線的方程為.【分析】（1）將直線整理后解方程組可得，分情況討論截距是否為零可得直線的方程；（2）分別解得兩點(diǎn)坐標(biāo)求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式即可得的最小值以及此時(shí)直線的方程．【小問1詳解】將整理可得，令，可得，即可得定點(diǎn)，若在兩坐標(biāo)軸上截距都為零，可得直線的方程為；若在兩坐標(biāo)軸上截距不為零且相等，設(shè)直線的截距式方程為，代入點(diǎn)即可得，解得；此時(shí)直線的方程為；綜上可知直線的方程為或；【小問2詳解】易知，且，可得；所以三角形的面積為；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的最小值為，此時(shí)直線的方程為.18.如圖，直角梯形中，分別為邊的中點(diǎn)，將沿邊折起到的位置，為邊的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）當(dāng)，且二面角為銳二面角時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用中位線性質(zhì)作，由線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)值求出各點(diǎn)坐標(biāo)，再求得平面