校本課程高中數(shù)學(xué)競賽講義（上）

目錄

第一章集合...............................2

第二章函數(shù)...............................15

§2.1函數(shù)及其性質(zhì).................15

§2.2二次函數(shù)...................21

§2.3函數(shù)迭代...................28

§2.4抽象函數(shù)...................32

第三章數(shù)列................................37

§3.1等差數(shù)列與等比數(shù)列................37

§3.2遞歸數(shù)列通項公式的求法............44

§3.3遞推法解題........................48

第四章三角平面向量復(fù)數(shù)..................51

第五章直線、圓、圓錐曲線.................60

第六章空間向量簡單幾何體.................68

第七章二項式定理與多項式.................75

第八章聯(lián)賽二試選講.................82

§8.1平兒名定理、名題與競賽題……82

§8.2數(shù)學(xué)歸納法.................99

§8.3排序不等式..................103

第一章集合

集合是高中數(shù)學(xué)中最原始、最基礎(chǔ)的概念，也是高中數(shù)學(xué)的起始單元，是整個高中數(shù)學(xué)

的基礎(chǔ).它的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在：集合思想、集合語言和集合的符號在高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)如函

數(shù)、數(shù)列、方程與不等式、立體幾何與解析幾何中都被廣泛地使用.在高考試題和數(shù)學(xué)競賽

中，很多問題可以用集合的語言加以敘述.集合不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是支撐現(xiàn)代數(shù)學(xué)

大廈的基石之一，本章主要介紹集合思想在數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)的問題.

§1.1集合的概念與運算

【基礎(chǔ)知識】

一.集合的有關(guān)概念

1.集合：具有某些共同屬性的對象的全體，稱為集合.組成集合的對象叫做這個集合的

元素.

2.集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.

3.集合的分類：無限集、有限集、空集人

4.集合間的關(guān)系：

二.集合的運算

1.交集、并集、補(bǔ)集和差集

差集：記A、B是兩個集合，則所有屬于A且不屬于B的元素構(gòu)成的集合記作A\B.

即N\8={xeN且xe8}.

2.集合的運算性質(zhì)

(l)ZU/=Z,/nZ=N(第等律)；

(2)ZU8=8U〃，=(交換律)；

(3)(4UB)UC=/U(8UC),(zn8)nc=zn(Bnc)(結(jié)合律)；

(4)411(8JC)=(ZU3)n(4UC),Zri(8UC)=(4nB)U(ZriC)(分配律);

(5)Zn(8U4)=/,/U(/n8)=N(吸收律)；

⑹&(0/)=/(對合律)；

⑺Cu(4n8)=(Q.J)U(Qr5),g(4U8)=(Cu/)n(QB)(摩根律)

⑻Z\(8UC)=(Z\B)n(Z\C),N\(8nC)=(4\B)U(4\C).

3.集合的相等

(1)兩個集合中元素相同，即兩個集合中各元素對應(yīng)相等；

(2)利用定義，證明兩個集合互為子集；

(3)若用描述法表示集合，則兩個集合的屬性能夠相互推出(互為充要條件)，即等價；

(4)對于有限個元素的集合，則元素個數(shù)相等、各元素的和相等、各元素之積相等是兩集

合相等的必要條件.

【典例精析】

【例1】在集合{1,2,…中，任意取出一個子集，計算它的各元素之和.則所有子集的元素之

和是.

K分析2已知{1,2,…,那的所有的子集共有2"個.而對于V，€{1,2,顯然{1,2,}

中包含i的子集與集合{1,2,+???,?}的子集個數(shù)相等.這就說明i在集合

{1,2,…的所有子集中一共出現(xiàn)2"-'次,即對所有的/求和,可得S“=2"一(￡/).

/=1

【解】集合{1,2,…,〃}的所有子集的元素之和為2"T(1+2+…+〃)=2"T?

=”?5+1).2"」

K說明U本題的關(guān)鍵在于得出{1,2,…中包含i的子集與集合{1,2,…/一1/+1,…，”}的

子集個數(shù)相等.這種一一對應(yīng)的方法在集合問題以及以后的組合總是中應(yīng)用非常廣泛.

【例2】已知集合/=*|/+38+2<0},8="|%2-4如+3/<0}且2=8,求參數(shù)4

的取值范圍.

K分析I首先確定集合A、B,再利用8的關(guān)系進(jìn)行分類討論.

【解】由已知易求得A={x\-2<x<-1},S={x|(x-a)(x-3a)<0}

當(dāng)。>0時，B={x\a<x<3a}，由418知無解；

當(dāng)a=0時,6=。,顯然無解;

2

當(dāng)a<0時，8={x|3。<x<〃},由力q8解得一1<a<—.

2

綜上知，參數(shù)Q的取值范圍是.

[I說明11本題中，集合的定義是一個二次三項式,那么尋于集合B要分類討論使其取值范圍數(shù)

字化,才能通過條件求出參數(shù)的取值范圍.

【例3】已知x￡R,ywR+，集合A={x24-x+1,—x,—x—1},B=+1}.若A=B,

則的值是()

A.5B.4C.25D.10

【解】???(x+1了之0,???/+x+12—x,且???，+%+i〉o及集合中元素的互異性知

X~+X+1W—X,即Xw—1,此時應(yīng)有+X+1>—X>一X—1.

而yeA*,從而在集合B中,y+1>-y>-y.

x2+x+1=+1⑴

由么=8,得<-x=-^(2)

—x—1=—y(3)

由(2)(3)解得x=l,y=2，代入(1)式知x=l,y=2也滿足(1)式.

X1+y2=F+22=5.

K說明II本題主要考查集合相等的的概念，如果兩個集合中的元素個數(shù)相等，那么兩個集合中

對應(yīng)的元素應(yīng)分別相等才能保證兩個集合相等.而找到這種對應(yīng)關(guān)系往往是解決此類題目的

關(guān)鍵.

［例4］已知集合A=1g(k％B={0,|x力.若4=8,求(x+工)+(/+4)+……

yy

+(-°8+*)的值?

K分析1從集合A=B的關(guān)系入手，則易于解決.

【解】4=8,*盯*\(xy)=|"+、，根據(jù)元素的互異性，由B知XHOJHO.

x-xy-lg(Ay)=0

，?,0E8且4=8,0E/，故只有1g(孫)=0,從而xy=\.

又由及4=3,得IEB.

xv=1{xy=1_.一

所以或4，其中x=〉=l與元素的互異性矛盾！

Ux|=1［y=\

所以x=y-l,代入得:

(x+與+(/+g+……+(x2008+&)=(-2)+2+(-2)+2+……+(-2)+2=0.

yy

K說明』本題是例4的拓展，也是考查集合相等的概念,所不同的是本題利用的是集合相等的

必要條件，即兩個集合相等,則兩個集合中，各元素之和、各元素之積及元素個數(shù)相等.這是解

決本題的關(guān)鍵.

【例5】已知A為有限集，且ZqN*,滿足集合A中的所有元素之和與所有元素之積相等，寫

出所有這樣的集合A.

【解】設(shè)集合A={4,4，…，且1由q+「+…+4,=q,%4,

a

an>n(neN*),得〃Nq+生+…=卬?%...n-一1)!,即n>(n-1)!

;.〃=2或〃=3(事實上,當(dāng)〃>3時，有(〃-1)!2(〃—1)(〃一2)2(〃—1)?2>〃).

當(dāng)”=2時，q-o,=%+/<2%,二q<2,:.ai=1,而1■電w1+外，，〃w2.

aa

當(dāng)”=3時，4]?%?%=+。2+。3<3%>?''\'2<3,ax=L。2=2.

由2a3=3+%，解得%=3.

綜上可知，/={1,2,3}.

R說明U本題根據(jù)集合中元素之間的關(guān)系找到等式，從而求得集合A.在解決問題時，應(yīng)注意

分析題設(shè)條件中所給出的信息,根據(jù)條件建立方程或不等式進(jìn)行求解.

【例6】已知集合。={燈/一3》+240}3={燈刀2-2辦+“40},若51尸,求實數(shù)。的

取值組成的集合A.

【解】/>={》|14》42},設(shè)/(》)-x2-2ax+a.

①當(dāng)△=(—2。)2-4。<0,即0<。<1時,S=0,滿足S1P;

②當(dāng)△=(-2a)2-4。=0,即a=0或a=1時，

若a=0,則S={0}，不滿足SqP,故舍去；

若。=1時，則S={1}，滿足S±P.

③當(dāng)△=(~2a)2-4a>0時，滿足SqP等價于方程/一2ax+a=0的根介于1和2之間.

A>0a<0或a>1

1<-(=^<2

1<<7<2

即《2<=>ae0.

/(1)>01-a>0

/(2)>04->0

綜合①②③得0<。41,即所求集合A={a|0<a<l}.

K說明》先討論特殊情形(s=。)，再討論一般情形.解決本題的關(guān)鍵在于對△分類討論,確定

a的取值范圍.本題可以利用數(shù)形結(jié)合的方法討論A>0.

【例7】(2005年江蘇預(yù)賽)已知平面上兩個點集M^{(x,y)\\x+y+l\>72(?+y),x,y&R},

N={(x,y)|—+—<1,x,yeR}.若貝ija的取值范圍是

【解】由題意知M是以原點為焦點、直線x+y+\=O為

準(zhǔn)線的拋物線上及其凹口內(nèi)側(cè)的點集，N是以5,1)為中

心的正方形及其內(nèi)部的點集(如圖).

考察MCN=0時，a的取值范圍：

令歹=1,代入方程|x+_y+l|=j2(x2+/),

得f_4x-2=0,解出得x=2±8.所以，

當(dāng)?<2-V6-l=l-V6時，〃nN=0........③

2

令y=2,代入方程|x+y+l|=j2(x2+*,得x-6x-l=0.解出得

x=3±而.所以，當(dāng)?>3+V10時，MCN=0.........④

因此，綜合③與④可知，當(dāng)1一遍工。43+而，即?e［l-V6,3+V10］時，

A/PINHO.故填［l-V6,3+V10］.

【例81已知集合A={al9a2,a3,a4},B={a；,a；,a；,a：},其中<a2<a3<a4,

wN.若2|"|8={41,4},卬+4=10.且ZU8中的所有元素之和為124,求

集合A、B.

【解】：6</<。3<4,且為={。1，4}，；?a\=,又6€N,所以6=1.

又4+4=10,可得。4=9,并且a；=4或4=%.

若a；=9,即4=3,則有1+3+%+9+a；+81=124,解得%=5或%=-6(舍)

此時有［={1,3,5,9},5={1,9,25,81}.

若a；=9,即%=3,此時應(yīng)有/=2，則AU5中的所有元素之和為100。124.不合題意.

綜上可得,A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}.

K說明』本題的難點在于依據(jù)已知條件推斷集合A、B中元素的特征.同時上述解答中使用發(fā)

分類討論的思想.分類討論是我們解決問題的基本手段之一，將問題分為多個部分,每一部分

的難度比整體都要低,這樣就使問題變得簡單明了.

［例9］滿足條件|g(』)-g(z)區(qū)4|玉-x2l的函數(shù)g(x)形成了一個集合M,其中

xt,x2eR,并且41,求函數(shù)y=/(x)=/+3x-2(xw7?)與集合M的關(guān)系.

K分析』求函數(shù)/(x)=x2+3x-2集合M的關(guān)系，即求該函數(shù)是否屬于集合M,也就是判斷

該函數(shù)是否滿足集合M的屬性.

【解】v|/(X1)-/(x2)|=|(x；+3X]+2)-(x；+3X2+2)|=|X1-x2|-|X1+x2+3|

459

取再=1時，I/(X1)-/(X2)I=TIX1-X2l>4lXl-X2I-

由此可見J(x)任

R說明D本題中M是一個關(guān)于函數(shù)的集合.判斷一個函數(shù)/(x)是否屬于M,只要找至一個或

幾個特殊的X,.使得/(X,)不符合M中的條件即可證明/(x)生M.

【例10】對集合{1,2,-??,2008)及每一個非空子集定義唯一“交替和”如下:把子集中的數(shù)按

遞減順序排列，然后從最大數(shù)開始，交替地加減相繼各數(shù)，如{1,2,4,6,9}的“交替和”是

9—6+4—2+1=6,集合{7,10}的“交替和”是10—7=3,集合{5}的“交替和”是5等等.

試求A的所有的“交替和”的總和.并針對于集合{1,2,…求出所有的“交替和”.

K分析II集合A的非空子集共有22°°8-1個，顯然，要想逐個計算“交替和”然后相加是不可

能的.必須分析“交替和”的特點,故可采用從一般到特殊的方法.如{1,2,3,4)的非空子集共

有15個，共“交替和”分別為：⑴1;{2}2;{3}3;{4}4;{1,2}2-1;{1,3}3-1;

{154}4-1;{2,3}3-2;{2,4}4-2;{3,4}4-3;{1,2,3}3-2+1;{1,2,4)4-2+1;

(1,3,4}4-3=1;{2,3,4)4-3+2;{1,2,3,4)4-3+2-1.從以上寫出的“交替和”可以發(fā)現(xiàn)，

除⑷以夕卜，可以把(1,2,3,4)的子集分為兩類：一類中包含4,另一類不包含4,并且構(gòu)成這樣

的對應(yīng)：設(shè)4是(1,2,3,4}中一個不含有的子集，令力與{4}U4相對應(yīng)，顯然這兩個集合的

“交替和”的和為4,由于這樣的對應(yīng)應(yīng)有7對,再加上{4}的"交替和"為4,即(1,2,3.4}

的所有子集的“交替和”為32.

【解】集合{1,2,???,2008}的子集中，除了集合{2008},還有22008-2個非空子集?將其分為兩

類:第一類是含2008的子集，第二類是不含2008的子集，這兩類所含的子集個數(shù)相同.因為如果

4是第二類的,則必有4U{2008}是第一類的集合;如果Bj是第一類中的集合，則與中除

2008外,還應(yīng)用1,2,……,2007中的數(shù)做其元素，即嗎中去掉2008后不是空集,且是第二類中

的.于是把“成對的”集合的“交替和”求出來，都有2008,從而可得A的所有子集的“交替

和”為1(22008-2)X2008+2008=22007x2008.

同樣可以分析{1,2,…，心，因為〃個元素集合的子集總數(shù)為2"個(含。，定義其“交替和”

為0),其中包括最大元素〃的子集有2"T個,不包括”的子集的個數(shù)也是2"T個，將兩類子集

一一對應(yīng)(相對應(yīng)的子集只差一個元素〃)，設(shè)不含〃的子集“交替和”為S,則對應(yīng)的含〃子集

的“交替和”為〃-S,兩者相加和為〃.故所有子集的“交替和"為2"T?〃.

K說明I本題中"退到最簡"，從特殊到一般的思想及分類討論思想、對應(yīng)思想都有所體現(xiàn)，

這種方法在數(shù)學(xué)競賽中是常用的方法，在學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)注意強(qiáng)化.

【例11】一支人數(shù)是5的倍數(shù)的且不少于1000人的游行隊伍，若按每橫排4人編隊，最后

差3人；若按每橫排3人編隊，最后差2人；若按每橫排2人編隊，最后差1人，求這支游

行隊伍的人數(shù)最少是多少？

K分析』已知游行隊伍的總?cè)藬?shù)是5的倍數(shù)，那么可設(shè)總?cè)藬?shù)為5〃.“按每橫排4人編隊，

最后差3人”，從它的反面去考慮，可理解為多1人，同樣按3人、2人編隊都可理解為“多

I人”，顯然問題轉(zhuǎn)化為同余問題.5〃被4、3、2除時都余地，即5〃-1是12的倍數(shù)，再由

總?cè)藬?shù)不少于1000人的條件，即可求得問題的解.

【解】設(shè)游行隊伍的總?cè)藬?shù)為5〃(〃wN+),則由題意知5〃分別被4、3、2除忖均余1,即

5〃一1是4、3、2的公倍數(shù)，于是可令5〃—1=12皿meN+),由此可得：；①

要使游行隊伍人數(shù)最少，則式①中的相應(yīng)為最少正整數(shù)且12根+1為5的倍數(shù)，應(yīng)為2.于是

可令加=5q+2(peN*),山此可得："=g[12,(5p+2)+1]=12p+5,5n>60[)+25②

所以60p+25N1000,2216；.

取p=17代入②式，得5〃=60*17+25=1045

故游行隊伍的人數(shù)最少是1045人.

R說明D本題利用了補(bǔ)集思想進(jìn)行求解，對于題目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、

“都”等詞語，可以根據(jù)補(bǔ)集思想方法，從詞義氣反面(反義詞)考慮，對原命題做部分或

全部的否定，用這種方法轉(zhuǎn)化命題，常常能起到化繁為簡、化難為易的作用，使之尋求到解

題思想或方法，實現(xiàn)解題的目的.

【例12】設(shè)〃wN且”215,48都是｛1，2,3,…，〃｝真子集，且AU3=｛1,

2,3,〃｝.證明：/或者8中必有兩個不同數(shù)的和為完全平方數(shù).

【證明】由題設(shè)，｛1,2,3,…，〃｝的任何元素必屬于且只屬于它的真子集48之一.

假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的｛1，2,3,....的真子集48,使得無論是工還

是8中的任兩個不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù).

不妨設(shè)1GN,則3定/,否則1+3=22,與假設(shè)矛盾，所以3GB.同樣6史8,所以

6GA,這時10史Z,,即10G8.因〃豈15,而15或者在N中，或者在8中，但當(dāng)15Gz

H寸，因/,1+15=42,矛盾；當(dāng)15GB時，因1068,于是有10+15=52,仍然矛盾

因此假設(shè)不真，即結(jié)論成立.

【賽向點撥】

1.高中數(shù)學(xué)的第一個內(nèi)容就是集合，而集合又是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).因此，深刻理解集合的概念，熟

練地進(jìn)行集合運算是非常重要的.由于本節(jié)中涉及的內(nèi)容較多，所以抓好概念的理解和應(yīng)用尤

其重要.

2.集合內(nèi)容幾乎是每年的高考與競賽的必考內(nèi)容.一般而言,一是考查集合本身的知識;二是考

查集合語言和集合思想的應(yīng)用.

3.對于給定的集合，要正確理解其含義，弄清元素是什么，具有怎樣的性質(zhì)?這是解決集合問題

的前提.

4.集合語言涉及數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域,所以在競賽中，集合題是普遍而又基本的題型之一.

【針對練習(xí)】

（A組）

1.（2006年江蘇預(yù)賽）設(shè)在平面上，0＜夕〈》2,OWxWl所圍成圖形的面積為上，

則集合M={（x））|3-忖W1},N={（xj）|3。2+]}的交集〃nN所表示的圖形面

積為（）

12-,4

A.—B.—C.1D.一

333

2.（2006年陜西預(yù)賽）a,b為實數(shù)，集合M={2,1},0={a,。},/：xfx表示把集合M中的元

a

素x映射到集合P中仍為x,則a+6的值等于（）

A.-lB.OC.lD.±l

3.（2004年全國聯(lián)賽）已知加{（羽川，+2;?2=3},N={（"）|y=MX+“，若對于所有

的加ER,均有McN。則6的取值范圍是

K「屈屈'口，屈屈、「，2百2四、n「2g2行]

A.L----,---」o.Q----,---）C.（-----,----）D.L-----,----1

22223333

4.（2005年全國聯(lián)賽）記集合7={0,1,2,3,4,5,6},M鳴+牛+$+爭屹eT,i=l,2,3,4},

將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個數(shù)是（）

62

+

一

一

7374

。3

一

一+

7374

5.集合A,B的并集AUB={a1,a2,a3},當(dāng)且僅當(dāng)A彳B時，（A,B）與（B,A）視為不同的對，則這

樣的（A,B）對的個數(shù)有（）

A.27B.28.C.26D.25

6.設(shè)A={叩00W〃W600,〃eN},則集合A中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個數(shù)為

2

7.已知4={X|X2-4X+3<0,XGR},3={司2修+?O,￡x-2(a+7)x+5O,xe/?!.若

A=3,則實數(shù)a的取值范圍是.

8.設(shè)M={1,2,3,…,1995},A是M的子集且滿足條件：當(dāng)xGA時,15xeA,則A中元素的

個數(shù)最多是.

9.(2006年集訓(xùn)試題)設(shè)〃是正整數(shù)，集合M={1,2,…，2n}.求最小的正整數(shù)也使得對

于M的任何一個k元子集，其中必有4個互不相同的元素之和等于

10.設(shè)Z={aZ},

求證：(1)24一1d4(AeZ)；(2)44一2cA(keZ).

11.(2006年江蘇)設(shè)集合4=1xlog|(3-x)N-2：,8若4口8/0，

2x—a

求實數(shù)a的取值范圍.

12.以某些整數(shù)為元素的集合尸具有下列性質(zhì)：①尸中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)；②P中的

元素有奇數(shù)，有偶數(shù)；③一1任尸；④若x,yGP,則x+yGP試判斷實數(shù)0和2與集合P

的關(guān)系.

(B組)

1.設(shè)S為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：①若aeS,bwS,則a+beS,

abwS；②對任一個有理數(shù)r,三個關(guān)系尸eS,-reS,F=0有且僅有一個成立.證明：

S是由全體正有理數(shù)組成的集合.

2.St,S2,S3^非空集合，對于1,2,3的任意一個排列i左，若xwS“eS,,則x-ywSk

(1)證明：三個集合中至少有兩個相等.

(2)三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？

3.已知集合:3={(x,y)|ax+y=l},g={(x,y)|x+"=l},C={(x,q)|x2+/=1}問

(1)當(dāng)。取何值時，(ZU8)PIC為含有兩個元素的集合？

(2)當(dāng)。取何值時，(/U8)nc為含有三個元素的集合？

4.已知4={(*,)),2+j2+4x+4j+7=0,x,jG,

B={(X,J)|XJ=-10,x,jeR}.

⑴請根據(jù)自己對點到直線的距離,兩條異面直線的距離中“距離”的認(rèn)識,給集合A與B的

距離定義；

⑵依據(jù)⑴中的定義求出A與3的距離.

5.設(shè)集合尸={不小于3的正整數(shù)},定義P上的函數(shù)如下：若nwP,定義/(〃)為不是〃

的約數(shù)的最小正整數(shù)，例如/(7)=2,/(12)=5.記函數(shù)/的值域為M.證明：

6.為了搞好學(xué)校的工作，全校各班級一共提了P(PeN+)條建議.已知有些班級提出了相同

的建議，且任何兩個班級都至少有一條建議相同，但沒有兩個班提出全部相同的建議.求證

該校的班級數(shù)不多于2"T個.

【參考答案】

A組

1.解：河nN在xOy平面上的圖形關(guān)于X軸與y軸均對稱，山此MflN的圖形面積只要

算出在第一象限的圖形面積乘以4即得.為此，只要考慮在第一象限的面積就可以了.由題意

可得，“nN的圖形在第一象限的面積為A=——=上.因此的圖形面積為一.

2363

所以選B.

2.解:由M=P,從而2=0,。=1，即。=1,6=0,故。+6=1.從而選C.

a

3.解：MCNw。相當(dāng)于點(0,b)在橢圓/+2/=3上或它的內(nèi)部

2/V6fV6”

---41,----WbW---.故選A.

322

4.解：用[巧見…表示k位P進(jìn)制數(shù)，將集合M中的每個數(shù)乘以74，得

32

M'={<7,-7+a2-7+-7+?41aieT,i-1,2,3,4}={[qa2a3。/7Iqe=1,2,3,4).

M'中的最大數(shù)為[6666b=[240010?在十進(jìn)制數(shù)中，從2400起從大到小順序排列的第

2005個數(shù)是2400—2004=396.而[396]"=010417將此數(shù)除以74，便得M中的數(shù)

—+-T-+3+-T.故選C.

7727374

5.解：A=6時，有1種可能；A為一元集時，B必須含有其余2元，共有6種可能；A為二

元集時，B必須含有另一元.共有12種可能；A為三元集時，B可為其任一子集.共8種可能.

故共有1+6+12+8=27個.從而選A.

6.解：被7除余2的數(shù)可寫為7A+2.山100W7%+2W600.知14WAW85.

又若某個k使7k+2能被57整除，則可設(shè)74+2=57”.即A=嗎之=鮑皆3=8〃+號.

即〃一2應(yīng)為7的倍數(shù).設(shè)勿=7加+2代入，得仁57加+16.，14W57〃?+16W85.1.于是

所求的個數(shù)為85-(14-1)-2=70.

7.解：依題意可得A={x[l<x<3},設(shè)/(x)=2i-、+a,g(x)=x2-2(a+7)x+5

要使4土3，只需/(x),g(x)在(1,3)上的圖象均在x軸的下方，則/(I)<0，/⑶<0,

g⑴W0,g(3)W0,由此可解得結(jié)果.

8.解：由于1995=15x133,所以，只要〃>133,就有15力>1995.故取出所有大于133而不超

過1995的整數(shù).由于這時己取出了15x9=135,???15x133=1995.故9至133的整數(shù)都不能

再取，還可取1至8這8個數(shù)，即共取出1995—133+8=1870個數(shù)，這說明所求數(shù)21870.

另一方面，把k與15k配對，(k不是15的倍數(shù)，且l〈kW133)共得133—8=125對,

每對數(shù)中至多能取1個數(shù)為A的元素，這說明所求數(shù)W1870,綜上可知應(yīng)填1870.

9.解：考慮M的〃+2元子集P={〃-1,n,n+1,2〃}.P中任何4個不同元素之和不小

于(〃11)+什(〃+1)+(〃+2)=4勿+2,所以4》+3.將M的元配為〃對，2n+\—/),

i<i<n.對M的任一〃+3元子集A,必有三對5.,B1,耳同屬于A(ii、/2>h兩兩不同).又

將M的元配為〃一1對，Ci(i,2〃-i),1<Z<H-1.對M的任一行3元子集A,必有一對G

*4

同屬于A,這一對G,必與耳，紇，耳中至少一個無公共元素，這4個元素互不相同，且和

為2〃+1+2〃=4〃+1,最小的正整數(shù)公〃+310.

10.解：(I)：?左K-lcZ且2A-1^k2-(k-l)2,：.2k-leA；

⑵假設(shè)4fc—2eA伏eZ),則存在x,yeZ,使曲一2=f即(x-y)(x+j)=2(2k-1)(*)

由于x-y與x+y具有相同的奇偶性，所以(*)式左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或4的

倍數(shù)，另一方面，(*)式右邊只能被4除余2的數(shù)，故(*)式不能成立.由此，

4k-2^A(keZ).

11.解：A={x|-l<x<3|,5=|x|(x-a)(x-3a)<01.

當(dāng)a>0時，B=1x[0<a<x<3a},由/RBw0得0<a<3；

當(dāng)a<0時，5={x[3a<x<a<0},由/口8/0得a>-l;

當(dāng)a=0時，5={x|x2<O}=0,與ZPlBwO不符.

綜上所述,?e(-l,O)U(O,3).

12.解：由④若x,ye尸,則x+y￡尸可知，若xEP,則kx€P(keN)

(1)由①可設(shè)x,yWp,且x>0,y<0,則一yx=|y|x(\y\&N)

故xy,一yxe尸，由④,0=(—yx)+xy&P.

(2)2任夕.若2《夕，則尸中的負(fù)數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當(dāng)一(2%+1)《尸(左eN)

時，-1=(一2左—1)+2kGP,與③矛盾.于是，由②知P中必有正奇數(shù).設(shè)

-2m,2n-\eP(m,neN),我們?nèi)∵m當(dāng)正整數(shù)q,使

如—2加|>2〃一1,則負(fù)奇數(shù)一2“加+(2〃—1)e尸.前后矛盾

B組

1.證明：設(shè)任意的r尸？0,由②知reS,或一尸eS之一成立.再由①，若廠eS,

則/「eS；若一/"eS,貝IL，=(-廠>(一廠)eS.總之，r2eS.

取r=l,則leS.再由①，2=1+1GS,3=l+2eS,…，可知全體正整數(shù)都屬于S.

設(shè)p,qeS,由①pqeS,又由前證知—\eS,所以"=pq?—1eS.因此，S含有全

qqq

體正有理數(shù).再由①知，0及全體負(fù)有理數(shù)不屬于S.即S是由全體正有理數(shù)組成的集合.

2.證明：（1）若則歹-xeS*,（y-x）-y=-xwS,，所以每個集合中均

有非負(fù)元素.

當(dāng)三個集合中的元素都為零時，命題顯然成立.

否則，設(shè)，32,53中的最小正元素為。，不妨設(shè)aw，，設(shè)3為$2,83中最小的非負(fù)元素,

不妨設(shè)6wS2,則

若b>0,則0W6一。<6,與6的取法矛盾.所以6=0.

任取xeS],因0eS2,故x—0=xeS；,.所以S】cS3,同理S3cSt.

所以瓦=83.

（2）可能.例如S|=S2=｛奇數(shù)｝,邑=｛偶數(shù)｝顯然滿足條件,H和邑與邑都無公共元素.

3.解：（NU8）nc=（znc）u（8nc）Mnc與8nc分別為方程組

（I）（11）[計咒T

[x+y=1+y=1

）]2

的解集.由（I）解得（XJ）=（0,1）=（,=?）;由（II）解得

1+a21+?2

l-o22a

(xy)=(1,0),(-----)

91+。1+a2

（1）使（ZU8）nc恰有兩個元素的情況只有兩種可能:

①匕：②一

由①解得a=0；由②解得a=l.

故。=0或1時，（zu8）nc恰有兩個元素.

1a1-a2

（2）使（/U8）nc恰有三個元素的情況是:

\+a~\+a~

解得a=—1±JI,故當(dāng)a=—1±行時，（/U8）nC恰有三個元素.

4.解:(1)設(shè)d=,miji比舄|(即集合A中的點與集合B中的點的距離的最小值)，

P]G/1^*2wB

則稱d為A與B的距離.

⑵解法一：?；A中點的集合為圓(x+2)2+(y+2)2=1,圓心為M(-2,-2)，令P(x,y)是

雙曲線上的任一點，則=(x+2>+(y+2>=，+?2+4(*+j)+8

=(r+y)2-2xy+4(x+y)+8=(x+y)2+4(x+y)+28

令￡=x+y,則|如「=/+4/+28="+2)2+24If

當(dāng)t=—2時，即■有解，=2#，d=2#-1

解法二：如圖，尸是雙曲線上的任一點，Q為圓(x+2)2+(y+2>=l]

上任一點,圓心為M.顯然,|PQ|+|MQ|^\MP\(當(dāng)P、Q、M三點共

線忖取等號)，d=IMP、,,一1.

5.解：記〃=18!時，由于1,2,……18都是〃的約數(shù)，故此時/(〃)=19.從而19eM.

若存在使/(〃)=99,則對于小于99的正整數(shù)左，均有人|〃，從而9|〃,11|〃，但

是(9,11)=1,由整數(shù)理論中的性質(zhì)9X11=99是n的一個約數(shù)，這是一個矛盾！從而99定M.

6.證明：假設(shè)該校共有加個班級，他們的建議分別組成集合同,4,…,4”。這些集合中沒

有兩個相同(因為沒有兩個班級提出全部相同的建議)，而任何兩個集合都有相同的元素，

因此任何一個集合都不是另外一個集合的補(bǔ)集。這樣在4,工2,…,4“中至多有A(所有P

條建議所組成的集合)的Lx2"=2i個子集，所以加<21.

2

第二章函數(shù)

§2.1函數(shù)及其性質(zhì)

一、函數(shù)的基本性質(zhì)：

i.函數(shù)圖像的對稱性

(1)奇函數(shù)與偶函數(shù)：奇函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，對于任意xe。，都有/(-x)=-/(x)成立；

偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，對于任意xe。，都有/(-x)=/(x)成立。

(2)原函數(shù)與其反函數(shù)：原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱。若某一函數(shù)與其反函數(shù)表

示同一函數(shù)時，那么此函數(shù)的圖像就關(guān)于直線y=x對稱。

(3)若函數(shù)滿足/a)=/(2a-x),則/(x)的圖像就關(guān)于直線x=a對稱；若函數(shù)滿足

/(x)=-f(2a-x)，則/(x)的圖像就關(guān)于點(a,0)對稱。

(4)互對稱知識：函數(shù)y=/(x-a)與y=/(a-x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱。

2.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是針對其定義域的某個子區(qū)間而言的。判斷一個函數(shù)的單調(diào)性一般采用定義法、導(dǎo)

數(shù)法或借助其他函數(shù)結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)(如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性)

特別提示：函數(shù)y=%+且(。>0)的圖像和單調(diào)區(qū)間。

x

3.函數(shù)的周期性

對于函數(shù)y=/(x),若存在一個非零常數(shù)7,使得當(dāng)x為定義域中的每一個值時，都有

/*+7)=八萬)成立，則稱>=/(x)是周期函數(shù)，7稱為該函數(shù)的?個周期。若在所有的周期中

存在一個最小的正數(shù)，就稱其為最小正周期。

<1)若T是y=fW的周期，那么nT("eZ)也是它的周期。

(2)若y=/(x)是周期為T的函數(shù)，則夕=+b)(ar0)是周期為二的周期函數(shù)。

a

(3)若函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線X=Q和x=b對稱，則y=/(x)是周期為2(々一方)的函數(shù)。

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足/(工+〃)=一/(工)(〃工0),則^=/(x)是周期為2。的函數(shù)。

4.函數(shù)的最值：

常規(guī)求法：配方法、判別式法、不等式法、換元法、構(gòu)造法

5.Gauss(高斯)函數(shù)

對于任意實數(shù)x,我們記不超過x的最大整數(shù)為[幻，通常稱函數(shù)y=[x]為取整函數(shù)。乂稱高斯

函數(shù)。又記"}=工-[汨，則函數(shù)y={x}稱為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是x的小數(shù)部分。

高斯函數(shù)的常用性質(zhì)：

(1)對任意XER均有x-l<[x]4x<[x]+l(2)對任意XER,函數(shù)y={x}的值域為[0,1)

(3)高斯函數(shù)是一個不減函數(shù)，即對于任意入「/ER，若玉則bJ&Z]

(4)若〃則有口+川=〃+[幻，{〃+'}={x},后一個式子表明歹={x}是周期為1的函數(shù)。

(5)若￡R,則[x]+[y]W[x+y]W印+3+1(6)若〃￡￡凡則[nr]2

二、應(yīng)用舉例：

例1.已知/(x)是一次函數(shù)，且九(x)=1024x+1023.求/(x)的解析式.

例2.已知是Ay_1_1常數(shù)，"內(nèi)卜目/⑶”1與二七⑴求《⑵巷八/⑴什工”求名也

2x+ax2

〃-3n>1000

例3.函數(shù)/(〃)=，求/(84)

/(/(〃+5)),?<1000

函數(shù)迭代中的'穿脫'技巧

設(shè)函數(shù)y=f(x),并記…(fa)…)，其中n是正整數(shù),九僅)叫做函數(shù)f(x)的n次迭代，函

數(shù)迭代是一種特殊的函數(shù)復(fù)合形式,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有很重要的地位,尤其是近年來在國內(nèi)外

數(shù)學(xué)競賽屢次出現(xiàn)，成為熱點問題之一，以引起廣在數(shù)學(xué)愛好者的關(guān)注.由f(x)(或%(x)的表達(dá)

式“穿上“或，脫去”n-1個函數(shù)符號得出九(x)(或于⑶)的函數(shù)迭代問題，這里我們對數(shù)學(xué)競賽中

穿脫問題的解題技巧作簡單介紹和粗淺的探索.

1程序化穿脫

“穿“，“脫“函數(shù)符號是一種有序的過程,由內(nèi)至外一層層穿上f,或從外至內(nèi)一層層脫

去f,往往是?種程序化的模式,

X

例已知于(x)=/=，求fn(x).

Vl+X2

2實驗法穿脫

許多情況卜:求解穿脫問題并非只是一種程序化的操作,還需要用敏銳的思維和眼光去

發(fā)現(xiàn)穿脫過程所蘊(yùn)含的規(guī)律性,實驗是發(fā)現(xiàn)的源泉，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的金鑰匙.

例函數(shù)定義在整數(shù)集上,且滿足

f(n)=n-3(n21000)

f[f(n+5)](n<1000求于(84)

例21對任意的正整數(shù)k,令fi(k)定義為k的各位數(shù)字和的平方.對于n22令

f"(k尸fi(f*i(k)),求加巡⑴).

3周期性穿脫

在求解函數(shù)迭代問題時我們經(jīng)常要借助于函數(shù)的周期性，利用周期性穿脫要能達(dá)

到進(jìn)退自如,做到需穿插則穿,需脫則脫,從而優(yōu)化解題過程.

例定義域為正整數(shù)的函數(shù),滿足:

f(n)=n-3(n21000)

f[f(n+7)](n<1000.

試求f(90)

練習(xí)

1.設(shè)n是自然數(shù)#〃)為n?+1(十進(jìn)制)的數(shù)字之和(必求的加好(1990)值.

2r-l

2.已知f(X)=---?設(shè)f35(X)=f5(X),求力8(。

X+1

例4.求函數(shù)y=x+—3x+2的值域。

y=x+Vx2-3x4-2nJ-—3x+2=y-x>0

々21?)

兩邊平方得Qy-?x=y2-2,從而y豐二且x=^―-。

22y-3

由y-x-y----->0=>---"+2>0=>l<y<—或y22。

2y—32y—32

”2一2

任取y22,由x=----，易知xR,于是x9-3x+2>0o

2y-3

3v2-2

<y<-,同樣由x=上——，易知xWl。

22^-3

于是x°-3x+2>0.

3

因此,所求函數(shù)的值域為。,|)U[2,+oo).

….0-1)，+2004(x-l)=—1

例5(1)設(shè)x,y是實數(shù)，且滿足。\，求x+y的值

(y-1)3+2004(y-1)=1

(2)若方程--2asin(cosx)+“2=0有唯一解，求a

v2O072OO7

例6：解方程、不等式：(1)x+log2(2-31)=5(2)(X+8)+X+2X+8=0

(3)，