基于TOPSIS和BPNN的網(wǎng)球運動員“勢頭”的量化研究

一、簡介當今社會，網(wǎng)球這項體育運動越來越受歡迎。頻繁的賽季轉(zhuǎn)換、高密度的比賽安排和以賽代練是網(wǎng)球的顯著特點[1]，當描述比賽的整體走勢出現(xiàn)了不可思議的波動或者轉(zhuǎn)折點時，“勢頭”這個詞被經(jīng)常提及?！皠蓊^”指運動員在一系列事件之后獲得的一種能夠提升比賽狀態(tài)和氣勢的動力，它在網(wǎng)球比賽的走勢中起到了相當重要的作用。[2]在2023年溫布爾登網(wǎng)球公開賽男子單打決賽中，盡管阿爾卡拉斯在第一盤中落后了5分，他在第二、三、五盤中分別以7-6，6-1，6-4比分獲勝，最終逆轉(zhuǎn)局勢，打敗了德約科維奇。于是，一個自然的想法是，在這場比賽中“勢頭”在阿爾卡拉斯第一盤大幅度落后及后面乘勝追擊時發(fā)揮作用，扭轉(zhuǎn)了比賽結(jié)果。根據(jù)以上背景，本文將“勢頭”選做研究對象。但考慮到“勢頭”是一種球員在比賽過程中擁有動力的主觀感受，很難進行準確的刻畫，無法衡量球員在某一時刻有多少“勢頭”，也難以說明“勢頭”在一場比賽中是如何產(chǎn)生及變化的?；诖耍疚牡闹饕蝿?wù)是給“勢頭”一個量化的指標，找到在“勢頭”不斷作用下比賽局勢發(fā)生逆轉(zhuǎn)的具體時刻，同時找出對“勢頭”影響較大的因素。本文利用2023年溫布爾登網(wǎng)球公開賽男子單打比賽的數(shù)據(jù)進行研究，并考慮了如下假設(shè)：1.兩個球員綜合實力的差距可以用他們在ATP上的實時排名的差距來衡量。2.環(huán)境等客觀因素如天氣、場地等不影響球員的表現(xiàn)水平。這是因為比賽會因不理想的天氣延后，并且承辦比賽的場地均滿足一定的標準。3.比賽輪次不影響球員的狀態(tài)。即每個球員的比賽狀態(tài)在不同場、盤及局中保持穩(wěn)定。4.每一分的比賽結(jié)果只影響球員下一分比賽中的表現(xiàn)水平，且每一分在比賽進程中的位置不影響球員的狀態(tài)。由于比賽的盤數(shù)和比分在一定程度上能夠體現(xiàn)比賽的進程，于是本文假定在局點和盤點時的關(guān)鍵分與非關(guān)鍵分對球員的影響是一樣的。5.每一得分的性質(zhì)相同。由于雙發(fā)失誤、ACE球、破發(fā)點等具有特殊性質(zhì)的分已經(jīng)在比賽結(jié)果比分中有所反映，故此處不加以考慮。二、數(shù)據(jù)集介紹及預處理2023年溫布爾登網(wǎng)球公開賽男子單打比賽決賽的數(shù)據(jù)包含了31場比賽中每一分的信息。每一行數(shù)據(jù)含有比賽編號、盤數(shù)、局數(shù)、分、球員雙方的名稱等基本信息。本文將此數(shù)據(jù)集中的每行分別以兩個球員作為主體，拆分為兩行，將數(shù)據(jù)集整理成共含有了14568行的新數(shù)據(jù)集。則新數(shù)據(jù)集的各行擁有唯一主體，稱為球員，同一分中的另一方被稱為對手。數(shù)據(jù)集中與比賽表現(xiàn)相關(guān)的變量符號及含義如表1、表2、表3所示。此外，本文還定義了兩個組合變量：Server_count×Server，Server×Speed_no，分別記為Server_no，Speed。根據(jù)假設(shè)5，P1_ace，P1_break等變量含有的特殊信息已蘊含在比分中，故不需要添加額外變量。本文利用隨機森林填補了speed_no中含有的752個缺失值。經(jīng)過檢驗，未發(fā)現(xiàn)不符合常識的離群值，故不進行其他處理。三、“勢頭”的衡量及比賽結(jié)果的估計（一）基于TOPSIS熵權(quán)法的“勢頭”的量化估計考慮到“勢頭”是一種比賽狀態(tài)，本文利用與比賽表現(xiàn)相關(guān)的變量來估計球員在比賽指定時刻的“勢頭”的多少。根據(jù)假設(shè)3與4，每一分所處位置不影響球員狀態(tài)，故本文能夠把每一分的信息作為被評價對象，并利用TOPSIS熵權(quán)法給出一個比賽狀態(tài)評分。評分越高說明球員在這一分的“勢頭”越大，表現(xiàn)得越好，贏的可能性也越大。此評分就是“勢頭”的一個量化指標。1.熵權(quán)法為指標賦權(quán)指標權(quán)重的確定是TOPSIS的重要環(huán)節(jié)，而采用熵權(quán)法可有效消除主觀判斷的影響。它利用熵值判斷指標的離散程度，并把熵值更大的指標賦予更高的權(quán)重。接下來采用此方法計算權(quán)重。共有14568個被評價的分，24個評價指標。首先構(gòu)建判斷矩陣：X=（xij）14568*24（i=1，2，…，14568;j=1，2，…，24）。對判斷矩陣進行標準化處理，得到xij'=xijxjmax其中xjmax指第j個指標的最大值。接下來計算信息熵Hj=-k∑14568i=1pijlnpij，j=1，2，…，24其中pij=xij'∑14568i=1xij'，k=1ln14568。進一步得到第j個指標的權(quán)重ωj=1-Hj∑24j=11-Hj其中ωj∈［0，1］，且∑24j=1ωj=1。指標權(quán)重計算結(jié)果如表4所示。最后，計算出加權(quán)矩陣R=（rij）14568×24其中rij=ωj*xij'（i=1，2，…，14568;j=1，2，…，24）。2.基于TOPSIS的“勢頭”的量化估計首先將指標轉(zhuǎn)化成數(shù)值越大越好的極大型數(shù)據(jù)，并進行標準化。接下來使用TOPSIS對球員的比賽狀態(tài)進行評價。首先確定各指標的最優(yōu)理想解A+和最劣理想解A-。由于所有指標均已轉(zhuǎn)化為極大型數(shù)據(jù)，所以各指標中最大值代表最優(yōu)情況，最小值代表最劣情況，即A+j=max（r1j，r1j，…，r14568j），A-j=min（r1j，r1j，…，r14568j）然后計算每個球到A+與A-的距離D+i=∑24j=1（A+j-rij）2，D-i=∑24j=1（A-j-rij）2進一步能夠計算出球員在第i分時刻的比賽狀態(tài)評分Ci=D-iD+i+D-i，Ci∈［0，1］其中，Ci值越大表征第i分時刻球員的表現(xiàn)水平越優(yōu)。決賽前14分阿爾卡拉斯的比賽狀態(tài)評分及其排序如表5所示。每一分的比賽狀態(tài)評分量化了每個球員在特定時間下的表現(xiàn)水平，從而描述了球員在此刻的“勢頭”的多少。至此，本文已找出衡量“勢頭”的指標，即C。3.模型可視化為觀察球員的表現(xiàn)水平隨比賽進程的波動情況，繪制決賽中兩球員比賽狀態(tài)評分折線圖與散點圖如圖1。為便于觀察球員表現(xiàn)水平的整體走勢，右圖中擬合出了C的回歸直線。由此可看出，隨著比賽的進展，阿爾卡拉斯的比賽狀態(tài)評分呈現(xiàn)上升趨勢，說明表現(xiàn)狀態(tài)在不斷提升，這與其最終獲勝的結(jié)果相符。（二）預測比賽結(jié)果的Logistic回歸模型1.模型建立為探究“勢頭”對比賽結(jié)果的作用，現(xiàn)用C來預測比賽下一分的輸贏情況。注意到同一比賽中的兩個球員的“勢頭”的差距，即他們比賽狀態(tài)評分之差，能反映每一分的輸贏情況。于是，將球員與對手在第i分時的比賽狀態(tài)評分相減，并記為ΔCi（i=1，2，…，14568），則ΔCi越大說明球員在第i分打得越好，贏的可能性越大。記ΔC為所有ΔCi（i=1，2，…，14568）的集合。令outcome=1，當此分中選手獲勝時0，當此分中對手獲勝時。根據(jù)outcome的取值分類0和1，可以將樣本點分loss和win兩類。繪制箱線圖與小提琴圖如圖2。由圖可看出，在win類別中，大部分ΔCi取值為正，說明當球員在此分中獲勝時，其比賽狀態(tài)評分高于對手的評分；反之，loss中大部分ΔCi為負值，這與常識相符。因此能進一步建立模型。將outcome看作因變量，把ΔC當作自變量，建立Logistic模型其中β0與β1的估計值如表6所示。其中所有系數(shù)均是顯著的。2.10折交叉驗證為評估模型的預測效果，現(xiàn)進行10折交叉驗證。首先將樣本集隨機地劃分為樣本量相同的10部分[3]，把前9部分當作訓練集，用于建立模型及擬合參數(shù)；最后1部分當作測試集，以此來估計平均預測準確率。其次，繪制ROC曲線如圖3所示，由圖可得到用于判斷預測類別的最優(yōu)閾值=0.020。于是，對于測試集的樣本點，如果它的后驗概率≥0.020，則此點的outcome被判為1；否則，outcome被判為0。將預測得到的outcome與測試集中outcome的真實值進行比較，計算得到預測準確率為0.8333。此外，計算得到AUC為0.929，非常接近1，說明此模型有很強的二元分類能力，區(qū)分兩個類別的表現(xiàn)很好，且ROC曲線是可靠的[4]。最后將上述操作重復200次，計算得到平均預測準確率為87.9%，說明模型比較穩(wěn)健且預測效果不錯。四、轉(zhuǎn)折點的識別與“勢頭”的刻畫因素（一）基于核回歸方法的轉(zhuǎn)折點識別前文已說明“勢頭”會對比賽結(jié)果造成影響，接下來的目的是描述“勢頭”如何在比賽中發(fā)揮作用。具體來說，希望找到在“勢頭”不斷作用下，比賽走勢從有利于某一方轉(zhuǎn)化為另一方的具體時刻，即比賽的“轉(zhuǎn)折點”。從直觀上來看，當一方選手的表現(xiàn)得更好時，比賽走勢更有利于這一方。故首先考慮用球員比賽狀態(tài)評分的差值當作自變量。但由圖1右圖可以看出，C變化特別大且迅速，故直接使用ΔC作為自變量難以識別出ΔC正負號的變化規(guī)律。因此接下來對C進行核回歸，使得ΔC的變化更加平滑，便于識別轉(zhuǎn)折點的發(fā)生。本文把C當作因變量，把分當作自變量，進行核回歸擬合，記擬合后的比賽狀態(tài)評分為RC，并繪制同一場比賽雙方的核回歸曲線如圖4所示。兩條曲線的交點就是轉(zhuǎn)折點發(fā)生的時刻，距離轉(zhuǎn)折點最近的分就是“勢頭”扭轉(zhuǎn)比賽局勢的那一分。為簡化表達，本文把上述距離轉(zhuǎn)折時刻最近的分簡稱為轉(zhuǎn)折點。（二）基于BPNN的自變量重要性的評估為了找到對“勢頭”影響較大的指標，并計算出每個指標影響的大小，本文采用BPNN。此算法具有大規(guī)模并行結(jié)構(gòu)、分布式存儲等特點[5]，有很強的分類能力。為充分利用在轉(zhuǎn)折點出現(xiàn)之前的ΔRC隨比賽進程不斷減小的信息，本文把轉(zhuǎn)折點與其前兩個點一起看作“轉(zhuǎn)折時刻”。定義出用于判斷點是否位于轉(zhuǎn)折時刻的指標reversion=1，此點位于轉(zhuǎn)折時刻且ΔRC由負轉(zhuǎn)正0，此點不位于轉(zhuǎn)折時刻-1，此點位于轉(zhuǎn)折時刻且ΔRC由正轉(zhuǎn)負為了探究哪些因素影響轉(zhuǎn)折時刻，現(xiàn)把reversion當做因變量，使用reversion=1或-1的點對應的數(shù)據(jù)，把各項指標當做自變量，使用BPNN對reversion的分類進行預測。計算得到預測準確率為75.9%。在進行BPNN時，訓練集的樣本點被分為幾個批次，每個批次依次進行訓練。而權(quán)重更新就是在兩個訓練批次切換之間進行的。[6]這些權(quán)重可以被理解為每個指標解釋了多少因變量的變化，即每個指標對轉(zhuǎn)折時刻的影響有多大。于是，指標的權(quán)重就是其重要性的一種量化。經(jīng)過正態(tài)化的自變量重要性如表7所示。此外，為便于直觀地觀察自變量重要性的排序，繪制柱狀圖如圖5。從圖5可以看出，重要性最高的自變量是P1_continue_score，即球員連續(xù)得分與失分次數(shù)，占比達到17%。研究表明每局比賽中“連續(xù)得兩分”和“連續(xù)失兩分”是技戰(zhàn)術(shù)變化的關(guān)鍵時機[7]，此處從運動員“勢頭”的角度來驗證了此結(jié)論。當選手在比賽中連續(xù)得分時次數(shù)越多時，他獲勝的概率越大。這是因為連續(xù)得分能夠使球員更加有斗志，即增加了“勢頭”，從而他獲勝的可能性也越高。因此，在運動員日常比賽中，應更加關(guān)注此因素，在球員連續(xù)得分時把握“勢頭”，一鼓作氣；在連續(xù)失分時及時調(diào)整狀態(tài)，恢復動力。重要性占比第二的變量是球員在破發(fā)點的情況，占比為11%。相關(guān)文獻說明高水平球員在破發(fā)點關(guān)鍵分上的獲勝率高于其他分數(shù)，即高水平球員在比賽的重要時刻能夠表現(xiàn)出更好的狀態(tài)，且這種能力具有相對的穩(wěn)定性[8]。于是，在關(guān)鍵時刻以良好的狀態(tài)面對壓力，把握住每個破發(fā)點，能夠為球員增加“勢頭”，提升獲勝概率。對手打出ACE球的次數(shù)是重要性排名第三的變量，占比9%。當對手打出ACE球的次數(shù)增加時，球員的“勢頭”也會發(fā)生較大改變，從而影響了比賽結(jié)果。這為球員的訓練提供了兩點建議：第一，提高接發(fā)球的能力，降低比賽中對手打出ACE球的頻率，能夠減少“勢頭”的衰減；第二，鍛煉球員在對手打出ACE球之后的狀態(tài)調(diào)節(jié)能力，盡量保持“勢頭”的穩(wěn)定，嘗試發(fā)揮其積極作用，從而扭轉(zhuǎn)比賽的不利走勢。五、結(jié)論1.任意時刻的運動員“勢頭”的多少能夠用比賽狀態(tài)評分C衡量，C∈［0，1］，且C越高說明此分中球員的表現(xiàn)越好。2.在網(wǎng)球選手及賽況的研究中，過去的理論將比賽中的球員每一分的表現(xiàn)看作是相互獨立的，但現(xiàn)在越來越多研究表明，過去比賽的分數(shù)、表現(xiàn)等因素都會影響球員接下來的比賽狀態(tài)。[9]“勢頭”為球員提供激勵與動力，影響了比賽每一分的結(jié)果?？赏ㄟ^如下模型預測任意分的比賽結(jié)果