第一型曲線積分省公開課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

§1第一型曲線積分

二、第一型曲線積分計(jì)算

一、第一型曲線積分定義

返回1/22一．第一型曲線積分定義上連續(xù)函

是定義在設(shè)某物體密度函數(shù)數(shù)當(dāng)是直線段時(shí),應(yīng)用定積分就能計(jì)算得該物體

質(zhì)量.現(xiàn)在研究當(dāng)是平面或空間中某一可求長(zhǎng)度曲線段時(shí)物體質(zhì)量計(jì)算問題.(2)近似求和：在每一個(gè)上任取一點(diǎn)因?yàn)?/p>

(1)分割：把分成個(gè)可求長(zhǎng)度小曲線段

2/22上連續(xù)函數(shù),故當(dāng)弧長(zhǎng)都很小時(shí),

每一小段質(zhì)量可近似地等于其中

為小曲線段長(zhǎng)度.于是在整個(gè)上質(zhì)量就近似地等于和式(3)當(dāng)對(duì)分割越來越細(xì)密(即)

時(shí),上述和式極限就應(yīng)是該物體質(zhì)量.由上面看到,求物質(zhì)曲線段質(zhì)量,與求直線段質(zhì)3/22量一樣,也是經(jīng)過“分割、近似求和、取極限”來得到.下面給出這類積分定義.個(gè)可求長(zhǎng)度小曲線段弧長(zhǎng),它把定義在上函數(shù).對(duì)曲線做分割分成記為分割細(xì)度為在上任取一點(diǎn)若有極限為平面上可求長(zhǎng)度曲線段,定義1設(shè)為4/22且值與分割取法無關(guān),則稱此極限為上第一型曲線積分,記作為空間可求長(zhǎng)曲線段,

若為定義在上

函數(shù),則可類似地定義在空間曲線上

第一型曲線積分,而且記作于是前面講到質(zhì)量分布在曲線段上物體質(zhì)

5/22量可由第一型曲線積分(1)或(2)求得.1.若在為

常數(shù),

則也存在,且2.若曲線段由曲線首尾相接而成,

都存在,則

也存在,且6/223．都存在,且在

則4．也存在,

且7/225．存在,弧長(zhǎng)為則存在常數(shù)

使得6.第一型曲線積分幾何意義為L(zhǎng)若為坐標(biāo)平面上分段光滑曲線,上定義連續(xù)非負(fù)函數(shù).由第一型曲線定義,易見以為準(zhǔn)線,母線平行于軸柱面上截取

8/22部分面積就是9/22二．第一型曲線積分計(jì)算定理20.1

設(shè)有光滑曲線為定義在上連續(xù)函數(shù),則證由弧長(zhǎng)公式知道,上由弧長(zhǎng)連續(xù)性與積分中值定理,有10/22所以這里則有11/22令現(xiàn)在證實(shí)因?yàn)閺?fù)合函數(shù)連續(xù),所以在閉區(qū)

間上有界,即存在常數(shù)使對(duì)一切

都有12/22再由上連續(xù),所以它在上一致連續(xù),即對(duì)任給使當(dāng)時(shí),從而所以13/22所以當(dāng)在(4)式兩邊取極限后,即得所要證(3)式.上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí),(3)式成為再由定積分定義當(dāng)曲線由方程表示,且在14/22上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí),(3)式成為例1設(shè)是半圓周試計(jì)算第一型曲線積分解當(dāng)曲線L由方程表示,且在15/22例2

一段(圖20-2),試計(jì)算第一型曲線積分解

由參

仿照定理20.1,對(duì)于空間曲線積分(2),當(dāng)曲線量方程表示時(shí),16/22其計(jì)算公式為:例3計(jì)算其中為球面被平面所截得圓周.解由對(duì)稱性知所以17/22*例4計(jì)算其中為內(nèi)擺線解由對(duì)稱性知18/22其中*例5求圓柱面被圓柱面所

而內(nèi)擺線參數(shù)方程為所以19/22包圍部分面積A.

解圖中直影線部分為被圍柱面在第一卦限部分,它面積為把平面上位于第一象限四分之一圓周記為,則被圍柱面在第一卦限部分正是以曲線L為準(zhǔn)線母線平行于z積分幾何意義可知它面積為那部分柱