2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第02講排列組合(學(xué)生版+解析)

第02講排列組合（16類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第14題,6分全排列問題寫出基本事件分步乘法計(jì)數(shù)原理2023年新I卷，第13題,5分實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題分類加法計(jì)數(shù)原理2023年新Ⅱ卷，第3題,5分實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計(jì)算2023年全國甲卷（理），第9題,5分排列數(shù)的計(jì)算分類加法計(jì)數(shù)原理2023年全國乙卷（理），第7題,5分排列數(shù)的計(jì)算實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用2022年新I卷，第5題,5分實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題計(jì)算古典概型問題的概率2022年新Ⅱ卷，第5題,5分元素(位置)有限制的排列問題相鄰問題的排列問題無2022年全國甲卷（理），第15題,5分組合計(jì)數(shù)問題計(jì)算古典概型問題的概率2022年全國乙卷（理），第13題,5分實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題計(jì)算古典概型問題的概率2021年全國甲卷（理），第10題,5分不相鄰排列問題計(jì)算古典概型問題的概率2021年全國乙卷（理），第6題,5分排列組合綜合無2020年新I卷，第3題,5分排列組合綜合無2020年新Ⅱ卷，第6題,5分分組分配問題無2020年全國乙卷（理），第14題,5分相鄰問題的排列問題分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握排列與組合的定義2.掌握排列數(shù)與組合數(shù)的性質(zhì)，會(huì)計(jì)算排列數(shù)與組合數(shù)3.熟練掌握排列組合的解題方法【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會(huì)和分類加法原理與分步乘法原理結(jié)合在小題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合的定義合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0?。?Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)求解排列應(yīng)用問題方法匯總直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列對于某些順序一定的元素(m個(gè))的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個(gè))進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)Aeq\o\al(n,n)除以m個(gè)順序一定的元素之間的全排列數(shù)Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法種eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法分組分配平均分組、部分平均分組1．對不同元素的分配問題(1)對于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．(2)對于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．隔板法將個(gè)相同元素放入個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因?yàn)樵叵嗤?，所以只需考慮每個(gè)盒子里所含元素個(gè)數(shù)，則可將這個(gè)元素排成一列，共有個(gè)空，使用個(gè)“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個(gè)元素劃分為個(gè)區(qū)域，剛好對應(yīng)那個(gè)盒子環(huán)排問題(1)把個(gè)不同的元素圍成一個(gè)環(huán)狀，排法總數(shù)為(2)個(gè)不同的元素圍成一圈，個(gè)元素相鄰，符合條件的排列數(shù)為(3)個(gè)不同的元素圍成一圈，個(gè)元素不相鄰，符合條件的排列數(shù)為涂色問題涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可?？键c(diǎn)一、簡單排列之排列數(shù)計(jì)算1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）（

）A．65 B．160 C．165 D．2102．已知，則（

）A．11 B．12 C．13 D．141．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）在中不重復(fù)地選取4個(gè)數(shù)字，共能組成（

）個(gè)不同的四位數(shù).A．96 B．18 C．120 D．842．（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）下列數(shù)中，與不相等的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二、簡單組合之組合數(shù)計(jì)算1．（23-24高二下·山東濟(jì)寧·期中）已知，那么（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（23-24高二下·河北唐山·期中）從4名醫(yī)生，3名護(hù)士中選出3人組成一個(gè)醫(yī)療隊(duì)，要求醫(yī)生和護(hù)士都有，則不同的選法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．30 D．603．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．4．（海南·統(tǒng)考高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種1．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）化簡式子：的結(jié)果為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A．83 B．119 C．164 D．2193．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三、先選后排之排列組合綜合1．（山東·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．172802．（海南·高考真題）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種1．（2024·陜西銅川·三模）有5名學(xué)生準(zhǔn)備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個(gè)景點(diǎn)游玩，每名學(xué)生必須去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少有一名學(xué)生游玩，則不同的游玩方式有種.2．（23-24高二下·河南·期中）現(xiàn)某酒店要從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，則至少有1名女廚師被選中的不同選法有（

）A．14種 B．18種 C．12種 D．7種考點(diǎn)四、捆綁法1．（23-24高二下·江蘇淮安·期中）五名同學(xué)排隊(duì)，甲、乙兩名同學(xué)必須排在一起，排隊(duì)方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．120種2．（24-25高三上·福建泉州·階段練習(xí)）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚，甲?乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（

）A．96種 B．120種 C．192種 D．240種1．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期中）A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．240 B．120 C．96 D．602．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機(jī)站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數(shù)為（

）A． B．C． D．3．（24-25高三·上?！ふn堂例題）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有（

）個(gè)．（用數(shù)字作答）A．128 B．256 C．576 D．684考點(diǎn)五、插空法1．（23-24高三上·浙江溫州·期末）6名同學(xué)排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有（

）A．72種 B．144種 C．216種 D．256種2．（22-23高三上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）由6位專家組成的團(tuán)隊(duì)前往某地進(jìn)行考察后站成一排拍照留念，已知專家甲和乙不相鄰，則不同的站法有種.3．（2024·河北邯鄲·二模）某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．20 D．60．1．（23-24高三下·山東菏澤·開學(xué)考試）一對夫妻帶著3個(gè)小孩和一個(gè)老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個(gè)小孩均不相鄰的站法種數(shù)是（

）A．6 B．12 C．18 D．362．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）將6本相同的數(shù)學(xué)書和2本相同的語文書隨機(jī)排成一排，2本語文書不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·期末）7個(gè)人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（

）種站排方式．A．672 B．864 C．936 D．1056考點(diǎn)六、特殊元素法1．（2024·遼寧·三模）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，中國隊(duì)將派甲、乙、丙、丁4名男子短跑運(yùn)動(dòng)員參加男子接力比賽，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，參賽方法共有（

）種A．10 B．12 C．14 D．182．（2024·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校寒假期間安排3名教師與4名學(xué)生去北京、上海參加研學(xué)活動(dòng)，每地要求至少1名教師與2名學(xué)生，且教師甲不去上海，則分配方案有（

）A．36種 B．24種 C．18種 D．12種1．（23-24高二下·重慶渝北·期中）將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為的三個(gè)盒子，每個(gè)小球只能放入一個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，若盒子中只放一個(gè)小球，則不同的放法數(shù)為（

）A．18 B．24 C．48 D．722．（23-24高二下·江蘇南通·期中）文娛晚會(huì)中，學(xué)生的節(jié)目有5個(gè)，教師的節(jié)目有2個(gè)，如果教師的節(jié)目不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，并且不相鄰，則排法種數(shù)為（

）A．720 B．1440 C．2400 D．2880考點(diǎn)七、特殊位置法1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中間，則不同的站法種數(shù)為（

）A．32 B．36 C．40 D．422．（23-24高三上·湖南衡陽·期末）某旅游團(tuán)計(jì)劃去湖南旅游，該旅游團(tuán)從長沙?衡陽?郴州?株洲?益陽這5個(gè)城市中選擇4個(gè)（選擇的4個(gè)城市按照到達(dá)的先后順序分別記為第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團(tuán)四站的城市安排共有（

）A．96種 B．84種 C．72種 D．60種3．（2023·北京·高三統(tǒng)考）某單位安排7位員工在春節(jié)期間大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在初一，丁不排在初七，則不同的安排方案共有（

）A．504種 B．960種 C．1008種 D．1108種1．（23-24高三上·山西·期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（

）A．48種 B．32種 C．24種 D．16種2．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）武漢外校國慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同的值班方法共有（

）種A．114 B．120 C．126 D．1323．（2023·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）某小學(xué)班級星期一要排5節(jié)課,語文、數(shù)學(xué)、英語、音樂、體育各1節(jié),考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)的效果,第一節(jié)不排數(shù)學(xué),語文和英語相鄰,且音樂和體育不相鄰,則不同的排課方式有(

)A．種 B．種 C．種 D．種考點(diǎn)八、間接法1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）某人計(jì)劃去北京、西安、沈陽、喀什、長沙五個(gè)城市旅游，若最后一個(gè)目的城市不是喀什，則該人旅游完這五個(gè)城市的所有可能順序共有（

）A．60種 B．72種 C．84種 D．96種2．（2024·四川·模擬預(yù)測）某校組織校慶活動(dòng)，負(fù)責(zé)人將任務(wù)分解為編號(hào)為的四個(gè)子任務(wù)，并將任務(wù)分配給甲、乙、丙3人，且每人至少分得一個(gè)子任務(wù)，則甲沒有分到編號(hào)為的子任務(wù)的分配方法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種3．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）有4名男生?3名女生和2個(gè)不同的道具（記作A和B）參與一個(gè)活動(dòng)，活動(dòng)要求：所有人（男生和女生）必須站成一排，女生必須站在一起，并且她們之間按照身高從左到右由高到低的順序排列（假設(shè)女生的身高各不相同）；兩個(gè)道具A和B必須被分配給隊(duì)伍中的兩個(gè)人（可以是男生，也可以是女生），但這兩人不能站在一起.滿足上述所有條件的排列方式共有（

）A．2400種 B．3600種 C．2880種 D．4220種1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（

）種.A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）2024年2月17日，第十四屆全國冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)在內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市正式開幕．要從4名男志愿者、2名女志愿者中隨機(jī)選派4人參加冰球比賽服務(wù)，如果要求至少有1名女志愿者，那么不同的選派方案種數(shù)為（

）A．14 B．12 C．8 D．63．（2022·河北·高三?？迹┈F(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍(lán)色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（

）A．484 B．472C．252 D．2324．（24-25高三上·重慶涪陵·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．54考點(diǎn)九、隔板法1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）把8個(gè)相同的籃球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發(fā)種數(shù)為（

）A．70 B．99 C．110 D．1652．（23-24高二下·貴州遵義·期末）方程的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為（

）．A．220 B．120 C．84 D．243．（24-25高二上·上海·假期作業(yè)）有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？1．（23-24高二下·四川內(nèi)江·期中）學(xué)校將個(gè)三好學(xué)生名額分配給個(gè)班，每個(gè)班至少一個(gè)名額，則分配方案共有種.2．（24-25高二上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù).3．（23-24高二下·山西臨汾·期中）將10個(gè)詩歌朗誦比賽名額全部分給6個(gè)不同的班，每個(gè)班至少有1個(gè)名額，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．56 B．126 C．210 D．462考點(diǎn)十、定序倍縮法1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）有6位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備拍照，拍照前加入了2位同學(xué)，如果要求他們?nèi)哉境梢慌?，同時(shí)原來6位同學(xué)的相對順序保持不變，則有種不同的站法．（用數(shù)字作答）2．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）用數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，在所組成的五位數(shù)中任選一個(gè)，則這個(gè)五位數(shù)中數(shù)字按從小到大的順序排列的概率為（

）A． B． C． D．1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）現(xiàn)有10人排隊(duì)，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后順序固定，則共有不同排法種．2．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組、、、、、、七名同學(xué)站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊(duì)方法種數(shù)為（用數(shù)字作答）考點(diǎn)十一、平均分組1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）將8本不同的書，分成4堆，每堆兩本，則不同分法的種數(shù)是．2．3位男生、3位女生平均分成三組，恰好每組都有一位男生和一位女生的概率是.1．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）甲、乙等6位同學(xué)去三個(gè)社區(qū)參加義務(wù)勞動(dòng)，每個(gè)社區(qū)安排2位同學(xué)，每位同學(xué)只去一個(gè)社區(qū)，則甲、乙到同一社區(qū)的不同安排方案共有.2．（23-24高三上·廣東廣州·期中）將甲、乙、丙、丁四人安排到籃球與演講比賽現(xiàn)場進(jìn)行任務(wù)工作，每個(gè)比賽現(xiàn)場需要兩人，則甲、乙安排在一起的概率為．考點(diǎn)十二、部分平均分組1．（23-24高二下·浙江紹興·階段練習(xí)）老師有7本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（

）A．248種 B．168種 C．490種 D．360種2．（23-24高二下·河北石家莊·期末）某大學(xué)學(xué)生會(huì)安排5名學(xué)生作為“校慶70周年——?dú)g迎校友回家”活動(dòng)的志愿者，已知該活動(dòng)的志愿者值班區(qū)域分為主樓區(qū)、偏樓區(qū)和大廳區(qū)三個(gè)區(qū)域，每名志愿者只需去一個(gè)區(qū)域進(jìn)行志愿值班服務(wù)，且每個(gè)區(qū)域至少有1名志愿者，則不同的安排方法有（

）A．45種 B．90種 C．150種 D．240種1．（22-23高三下·河北·階段練習(xí)）6名大學(xué)生分配到4所學(xué)校實(shí)習(xí)，每名大學(xué)生只分配到一所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配1名大學(xué)生，則不同的分配方案共有（

）A．65 B．1560 C．2640 D．45602．（2023·河南周口·模擬預(yù)測）十四屆全國人大一次會(huì)議于2023年3月5日在北京召開．會(huì)議期間，會(huì)議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個(gè)會(huì)議廳負(fù)責(zé)進(jìn)場引導(dǎo)工作，每個(gè)會(huì)議廳至少1人．每人只負(fù)責(zé)一個(gè)會(huì)議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個(gè)會(huì)議廳的不同安排方法共有種．（用數(shù)字作答）考點(diǎn)十三、不平均分組1．小明將個(gè)不同時(shí)期的生肖紀(jì)念幣分成份進(jìn)行觀賞，每份至少個(gè)，且每份數(shù)量不同，則不同的分配方法有種．2．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）某大學(xué)5名師范生到甲、乙、丙三所高中實(shí)習(xí)，每名同學(xué)只能到1所學(xué)校，每所學(xué)校至多接收2名同學(xué).若同學(xué)A確定到甲學(xué)校，則不同的安排方法共有種.1．（23-24高二下·河南商丘·期末）某職業(yè)技術(shù)學(xué)校組織6名學(xué)生到3家工廠實(shí)習(xí)，每家工廠至少去1人，至多去3人，且每名學(xué)生只能去1家工廠，則不同的分配方法共有種．（用數(shù)字作答）2．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）某公司清明有三天假期，現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，則不同的值班安排共有（

）A．72種 B．114種 C．120種 D．144種考點(diǎn)十四、多排問題1．6個(gè)人站成前、中、后三排，每排2人，則不同的排法有種．2．（2023·云南·模擬預(yù)測）有7個(gè)人排成前后兩排照相，前排站3人后排站4人，其中甲同學(xué)站在前排，乙同學(xué)站在后排的概率為（

）A． B． C． D．3．有8名同學(xué)排成前后兩排，每排4人，如果甲乙兩同學(xué)必須排在前排，丙同學(xué)必須排在后排，那么不同的排法有種(用數(shù)字作答).1．把15人分成前、中、后三排,每排5人,則共有不同的排法種數(shù)為()A． B． C． D．2．（22-23高三下·河南商丘·階段練習(xí)）六位身高各不相同的同學(xué)拍照留念，攝影師要求前后兩排各站三人，則最高的與最矮的在同一排的概率是．3．現(xiàn)有9位身高各異的同學(xué)拍照留念，分成前后兩排，前排4人，后排5人，要求每排同學(xué)的身高從中間到兩邊依次遞減，則不同的排隊(duì)方式有種．考點(diǎn)十五、環(huán)排問題1．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）8人圍桌而坐，共有多少種坐法?2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰，不同的排法種數(shù)為.1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）5個(gè)學(xué)生圍桌而坐，共有多少種排法？3盆紅花5盆黃花圍成花環(huán),有種不同的排法？考點(diǎn)十六、涂色問題1．（23-24高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖所示，相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有種顏色可供選擇，則涂滿所有區(qū)域的不同的著色方法共有種(用數(shù)字填寫答案)2．（2024·安徽淮北·二模）在的方格中，每個(gè)方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一，若每個(gè)的方格中的四個(gè)小方格的顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數(shù)為.3．（24-25高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）在如圖方格中，用4種不同顏色做涂色游戲，要求相鄰區(qū)域顏色不同，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色.①若區(qū)域涂2種顏色，區(qū)域涂另外2種顏色，則有種不同涂法.②若區(qū)域涂4種顏色（涂的顏色互不相同），區(qū)域也涂這4種顏色（涂的顏色互不相同），則有種不同涂法.1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習(xí)）某植物園要在如圖所示的5個(gè)區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．4802．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）如圖，一個(gè)橢圓形花壇分為A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域，現(xiàn)需要在該花壇中栽種多種顏色的花.要求每一個(gè)區(qū)域種同一顏色的花，相鄰區(qū)域所種的花顏色不能相同．現(xiàn)有5種不同顏色(含紅色)的花可供選擇，B區(qū)域必須種紅花，則不同的種法種數(shù)為（

）

A．156 B．144 C．96 D．783．（2023·浙江·模擬預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué)?中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A．3125 B．1000 C．1040 D．10201．（2024·江西·模擬預(yù)測）將1個(gè)0，2個(gè)1，2個(gè)2隨機(jī)排成一行，則2個(gè)1不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東·二模）8名同學(xué)以2人為一組分為學(xué)習(xí)小組完成學(xué)習(xí)任務(wù)，每個(gè)小組內(nèi)成員地位等價(jià)，則所有可能的分組方案數(shù)量是（

）A．28 B．2520 C．105 D．1283．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）2024年春節(jié)檔賀歲片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒·逆轉(zhuǎn)時(shí)空》異?；鸨?、乙等5人去觀看這三部電影，每人只觀看其中一部，甲、乙不觀看同一部電影，則選擇觀看的方法有（

）A．243種 B．162種 C．72種 D．36種4．（2024·新疆喀什·三模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時(shí)，計(jì)劃將的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進(jìn)行某種排列得到密碼．若排列時(shí)要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間一個(gè)數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為．5．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）某班派遣五位同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)街道打掃衛(wèi)生．每個(gè)街道至少有一位同學(xué)去，至多有兩位同學(xué)去，且兩位同學(xué)去同一個(gè)街道，則不同的派遣方法有（

）A．18 B．24 C．36 D．486．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）海口市作為首批“國際濕地城市”，有豐富的濕地資源和獨(dú)特的生態(tài)環(huán)境，海口市某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組計(jì)劃利用5月1日至5月5日共5天假期實(shí)地考察美舍河濕地公園、五源河濕地公園、三江紅樹林濕地公園、潭豐洋濕地公園和響水河濕地公園5個(gè)濕地公園，每天考察1個(gè)，其中對美舍河濕地公園的考察安排在5月1日或5月2日，則不同的考察安排方法有（

）A．24種 B．48種 C．98種 D．120種7．（2018·廣東深圳·一模）某次文藝匯演，要將這六個(gè)不同節(jié)目編排成節(jié)目單．如果兩個(gè)節(jié)目要相鄰，且都不排在第3個(gè)節(jié)目的位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種8．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）象棋作為一種古老的傳統(tǒng)棋類益智游戲，具有深遠(yuǎn)的意義和價(jià)值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現(xiàn)將3個(gè)紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個(gè)黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方式有（

）A．120種 B．24種 C．36種 D．12種9．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）現(xiàn)在六個(gè)人并排站成一排，則甲、乙、丙三人不相鄰，且甲在乙的左邊，乙在丙的左邊的概率為（

）A． B． C． D．10．（2024·重慶九龍坡·三模）用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則在數(shù)字1，3相鄰的條件下，數(shù)字2，4，6也相鄰的概率為（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）1949年10月1日，開國大典結(jié)束后，新成立的中央人民政府在北京飯店舉行了有600余位賓客參加的新中國第一次國慶招待會(huì)，史稱“開國第一宴”．該宴的主要菜品有：鮑魚濃汁四寶、東坡肉方、蟹粉獅子頭、雞汁煮干絲、清炒翡翠蝦仁和全家福．若這六道菜要求依次而上，其中“東坡肉方”和“雞汁煮干絲”不能接連相鄰上菜，則不同的上菜順序種數(shù)為（

）A．240 B．480 C．384 D．14402．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知6件不同的產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)對它們一一測試，直至找到所有2件次品為止，若至多測試4次就能找到這2件次品，則共有（

）種不同的測試方法．A．114 B．90 C．106 D．1283．（24-25高三上·河北邯鄲·開學(xué)考試）在第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)期間，中國中央電視臺(tái)體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個(gè)人參加當(dāng)天A，B，C三個(gè)比賽場地的現(xiàn)場報(bào)道，且每個(gè)場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數(shù)為（

）A．32 B．24 C．18 D．124．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）公司的甲部門有3男2女五名職工，乙部門有2男3女五名職工．公司通知每個(gè)部門任選2名職工，且所選的4名職工必須是2男2女，公司再將四個(gè)不同新型項(xiàng)目隨機(jī)分配給每人分管一項(xiàng)，則不同的分配方案種數(shù)為（用數(shù)字作答）．5．（2024·遼寧大連·二模）第二十一屆大連國際徒步大會(huì)即將召開，現(xiàn)在要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、安保、禮儀、服務(wù)四項(xiàng)不同工作，若小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，若每個(gè)工作僅需要一人且每人只能從事一項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有種.6．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）2024年4月6號(hào)岳陽馬拉松暨全國半程馬拉松錦標(biāo)賽（第三站）開賽，比賽結(jié)束后，其中5男3女共8位運(yùn)動(dòng)員相約在賽道旁站成前后兩排合影，每排各4人，若男運(yùn)動(dòng)員中恰有2人左右相鄰，則不同的排列方法共有（

）A．732種 B．2260種 C．4320種 D．8640種7．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）某單位春節(jié)共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現(xiàn)從甲、乙、丙、丁、戊、己六人選出四人值班，每名員工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（

）A．192種 B．252種 C．268種 D．360種8．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）一個(gè)小型聯(lián)歡會(huì)要安排1個(gè)詩詞朗誦類節(jié)目，2個(gè)獨(dú)唱類節(jié)目，2個(gè)歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種9．（2023·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個(gè)等腰直角三角形?一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）某中學(xué)教師節(jié)活動(dòng)分上午和下午兩場，且上午和下午的活動(dòng)均為A，B，C，D，E這5個(gè)項(xiàng)目.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節(jié)活動(dòng)，每位教師上午、下午各參加一個(gè)項(xiàng)目，每場活動(dòng)中的每個(gè)項(xiàng)目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項(xiàng)目不同.已知丁必須參加上午的項(xiàng)目E，甲、乙、丙不能參加上午的項(xiàng)目A和下午的項(xiàng)目E，其余項(xiàng)目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．20 B．40 C．66 D．8011．（2024·江西·模擬預(yù)測）唐宋八大家，又稱唐宋散文八大家，是中國唐代韓愈、柳宗元，宋代蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏、歐陽修八位散文家的合稱，其中江西獨(dú)占三家，分別是：王安石、曾鞏、歐陽修，他們掀起的古文革新浪潮，使詩文發(fā)展的陳舊面貌煥然一新.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校決定從唐宋八大家中挑選五位，于某周末開展他們的散文賞析課，五位散文家的散文賞析課各安排一節(jié)，連排五節(jié).若在來自江西的三位散文家中至少選出兩人，且他們的散文賞析課互不相鄰，則不同的排課方法共有種.（用數(shù)字作答）12．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法有（

）種.A． B． C． D．1．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024·上海·高考真題）設(shè)集合中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．3．（2024·天津·高考真題）五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加.甲選到的概率為；已知乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為．4．（2023·全國·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．205．（2023·全國·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．6．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種8．（2023·全國·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種9．（2022·全國·高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．10．（2022·全國·高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．11．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種12．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．13．（2021·全國·高考真題）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種14．（2021·全國·高考真題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8（2020·全國·高考真題）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有第02講排列組合（16類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第14題,6分全排列問題寫出基本事件分步乘法計(jì)數(shù)原理2023年新I卷，第13題,5分實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題分類加法計(jì)數(shù)原理2023年新Ⅱ卷，第3題,5分實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計(jì)算2023年全國甲卷（理），第9題,5分排列數(shù)的計(jì)算分類加法計(jì)數(shù)原理2023年全國乙卷（理），第7題,5分排列數(shù)的計(jì)算實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用2022年新I卷，第5題,5分實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題計(jì)算古典概型問題的概率2022年新Ⅱ卷，第5題,5分元素(位置)有限制的排列問題相鄰問題的排列問題無2022年全國甲卷（理），第15題,5分組合計(jì)數(shù)問題計(jì)算古典概型問題的概率2022年全國乙卷（理），第13題,5分實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題計(jì)算古典概型問題的概率2021年全國甲卷（理），第10題,5分不相鄰排列問題計(jì)算古典概型問題的概率2021年全國乙卷（理），第6題,5分排列組合綜合無2020年新I卷，第3題,5分排列組合綜合無2020年新Ⅱ卷，第6題,5分分組分配問題無2020年全國乙卷（理），第14題,5分相鄰問題的排列問題分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握排列與組合的定義2.掌握排列數(shù)與組合數(shù)的性質(zhì)，會(huì)計(jì)算排列數(shù)與組合數(shù)3.熟練掌握排列組合的解題方法【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會(huì)和分類加法原理與分步乘法原理結(jié)合在小題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合的定義合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)求解排列應(yīng)用問題方法匯總直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列對于某些順序一定的元素(m個(gè))的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個(gè))進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)Aeq\o\al(n,n)除以m個(gè)順序一定的元素之間的全排列數(shù)Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法種eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法分組分配平均分組、部分平均分組1．對不同元素的分配問題(1)對于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．(2)對于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．隔板法將個(gè)相同元素放入個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因?yàn)樵叵嗤?，所以只需考慮每個(gè)盒子里所含元素個(gè)數(shù)，則可將這個(gè)元素排成一列，共有個(gè)空，使用個(gè)“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個(gè)元素劃分為個(gè)區(qū)域，剛好對應(yīng)那個(gè)盒子環(huán)排問題(1)把個(gè)不同的元素圍成一個(gè)環(huán)狀，排法總數(shù)為(2)個(gè)不同的元素圍成一圈，個(gè)元素相鄰，符合條件的排列數(shù)為(3)個(gè)不同的元素圍成一圈，個(gè)元素不相鄰，符合條件的排列數(shù)為涂色問題涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可?？键c(diǎn)一、簡單排列之排列數(shù)計(jì)算1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）（

）A．65 B．160 C．165 D．210【答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)及組合數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】.故選：C2．已知，則（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】直接根據(jù)排列數(shù)的性質(zhì)化簡求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，整理可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．故選：C.1．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）在中不重復(fù)地選取4個(gè)數(shù)字，共能組成（

）個(gè)不同的四位數(shù).A．96 B．18 C．120 D．84【答案】A【分析】5個(gè)數(shù)抽4個(gè)數(shù)全排列再減去首位是0的情況即可.【詳解】四位數(shù)首位不能為零，故為種不同的四位數(shù)，故選：A.2．（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）下列數(shù)中，與不相等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用排列數(shù)和組合數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】對于A，；對于B,對于C,，對于D，，故選：B考點(diǎn)二、簡單組合之組合數(shù)計(jì)算1．（23-24高二下·山東濟(jì)寧·期中）已知，那么（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式，直接計(jì)算即可求解.【詳解】由，得，即，整理得，解得或（舍去）.故選：C2．（23-24高二下·河北唐山·期中）從4名醫(yī)生，3名護(hù)士中選出3人組成一個(gè)醫(yī)療隊(duì)，要求醫(yī)生和護(hù)士都有，則不同的選法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．30 D．60【答案】C【分析】根據(jù)題意分“1名醫(yī)生，2名護(hù)士”和“2名醫(yī)生，1名護(hù)士”兩種情況，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】若選出3人有1名醫(yī)生，2名護(hù)士，則不同的選法種數(shù)為；若選出3人有2名醫(yī)生，1名護(hù)士，則不同的選法種數(shù)為；綜上所述：不同的選法種數(shù)為.故選：C.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.4．（海南·統(tǒng)考高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】首先從名同學(xué)中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.1．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）化簡式子：的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題將復(fù)雜的組合問題轉(zhuǎn)化為“從裝有個(gè)白球，個(gè)黑球的袋子里，取出個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和”模型，等價(jià)于“從裝有球中取出個(gè)球的不同取法數(shù)”,即可解決.【詳解】表示：從裝有個(gè)白球，個(gè)黑球的袋子里，取出個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和.又從裝有球中取出個(gè)球的不同取法數(shù).所以，所以故選：C.2．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A．83 B．119 C．164 D．219【答案】D【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求出m的值，再利用組合數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由于，故，則，故選：D3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為.故選：D.考點(diǎn)三、先選后排之排列組合綜合1．（山東·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．17280【答案】C【分析】首先選3名男生和2名女生，再全排列，共有種不同安排方法.【詳解】首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，再分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，共有種情況.所以共有種不同安排方法.故選：C2．（海南·高考真題）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【分析】首先將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，然后將2組學(xué)生安排到2個(gè)村即可.【詳解】第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有種分法第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種故選：C【點(diǎn)睛】解答本類問題時(shí)一般采取先組后排的策略.1．（2024·陜西銅川·三模）有5名學(xué)生準(zhǔn)備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個(gè)景點(diǎn)游玩，每名學(xué)生必須去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少有一名學(xué)生游玩，則不同的游玩方式有種.【答案】240【分析】先從5名學(xué)生中選2人組成一組，再將4組學(xué)生分配到4個(gè)景點(diǎn).【詳解】先從5名學(xué)生中選2人組成一組，有種方法，然后將4組學(xué)生分配到4個(gè)景點(diǎn)，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不同的游玩方式.故答案為：240.2．（23-24高二下·河南·期中）現(xiàn)某酒店要從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，則至少有1名女廚師被選中的不同選法有（

）A．14種 B．18種 C．12種 D．7種【答案】A【分析】先求出5人中選出2人分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，再求出沒有女廚師被選中的選法，兩個(gè)選法數(shù)相減可得至少有1名女廚師被選中的方法數(shù).【詳解】從3名男剅師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，共有20（種），沒有女廚師被選中的選法共有（種），故至少有1名女廚師被選中的不同選法有（種）.故選：A.考點(diǎn)四、捆綁法1．（23-24高二下·江蘇淮安·期中）五名同學(xué)排隊(duì)，甲、乙兩名同學(xué)必須排在一起，排隊(duì)方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．120種【答案】C【分析】運(yùn)用相鄰元素“捆綁法”易得.【詳解】運(yùn)用相鄰元素“捆綁法”，將甲和乙看成一個(gè)元素與其他三個(gè)同學(xué)全排，有種排法，再對甲乙“松綁”，有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，排隊(duì)方案共有種.故選：C.2．（24-25高三上·福建泉州·階段練習(xí)）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚，甲?乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（

）A．96種 B．120種 C．192種 D．240種【答案】C【分析】先將甲乙捆綁成一個(gè)單元，再討論其所排位置，運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知，丙排在第4位，則甲乙兩人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，故不同的排法有種.故選：C.1．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期中）A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．240 B．120 C．96 D．60【答案】A【分析】利用捆綁法求得正確答案.【詳解】將捆綁在一起，然后進(jìn)行全排列，故共有種排法.故選：A2．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機(jī)站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用捆綁法結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，對其全排列，共有種不同的站法，然后我們把他們捆綁為一個(gè)整體，再對這個(gè)整體和其他個(gè)人全排列，共有種不同的站法，所以甲、乙、丙站在一起的不同站法種數(shù)為，故D正確.故選：D3．（24-25高三·上?！ふn堂例題）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有（

）個(gè)．（用數(shù)字作答）A．128 B．256 C．576 D．684【答案】C【分析】利用捆綁法、插空法可得答案.【詳解】1和2，3與4，5與6，分別捆綁在一起，看作三個(gè)元素進(jìn)行排列，7與8利用插空法，可得故選：C.考點(diǎn)五、插空法1．（23-24高三上·浙江溫州·期末）6名同學(xué)排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有（

）A．72種 B．144種 C．216種 D．256種【答案】B【分析】要使元素不相鄰，則用插空法，要使元素相鄰，則運(yùn)用捆綁法，分步完成即得.【詳解】先將丙與丁看成一“個(gè)”人，與除甲和乙之外的另外兩個(gè)人留下4個(gè)空，在其中選2個(gè)給甲和乙，有種方法；再考慮丙丁這“個(gè)”人和另兩個(gè)人進(jìn)行全排，有種排法；最后將丙丁“松綁”，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同排法數(shù)為：種.故選：B.2．（22-23高三上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）由6位專家組成的團(tuán)隊(duì)前往某地進(jìn)行考察后站成一排拍照留念，已知專家甲和乙不相鄰，則不同的站法有種.【答案】480【分析】由排列組合采用插空法，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得結(jié)果【詳解】先除去甲乙，另外4位專家排成一排，站法共有種，4位專家排成一排后形成5個(gè)空，將甲乙插入這五個(gè)空中，共有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得種，即不同的站法有480種，故答案為：4803．（2024·河北邯鄲·二模）某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．20 D．60．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分為當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)和新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的兩個(gè)，結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可分為兩類：①當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)時(shí)，有種方法；②當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的兩個(gè)時(shí)，有種方法，由分類計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的差法.故選：C.1．（23-24高三下·山東菏澤·開學(xué)考試）一對夫妻帶著3個(gè)小孩和一個(gè)老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個(gè)小孩均不相鄰的站法種數(shù)是（

）A．6 B．12 C．18 D．36【答案】B【分析】根據(jù)插空法即可求解.【詳解】將老人位置固定，夫妻兩人在老人左右，此時(shí)有種站法，將三個(gè)孩子插入兩兩大人之間的空隙中，有種站法，故總的站法有.故選：B2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）將6本相同的數(shù)學(xué)書和2本相同的語文書隨機(jī)排成一排，2本語文書不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計(jì)算6本相同的數(shù)學(xué)書和2本相同的語文書擺放的種數(shù)，再用插空法計(jì)算2本語文書不相鄰的擺放種數(shù)，用古典概型概率的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】依題意，將6本相同的數(shù)學(xué)書和2本相同的語文書隨機(jī)排成一排，即從8個(gè)空位中選2個(gè)位置放語文書，剩余6個(gè)位置放數(shù)學(xué)書，擺放種數(shù)為：種；利用插空法，6本數(shù)學(xué)書之間共有7個(gè)位置可以放2本語文書，擺放種數(shù)為：種，由古典概型概率的計(jì)算公式得：.故選：A.3．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·期末）7個(gè)人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（

）種站排方式．A．672 B．864 C．936 D．1056【答案】D【分析】分甲站在每一排的兩端和甲不站在每一排的兩端這兩種情況解答即可.【詳解】當(dāng)甲站在每一排的兩端時(shí)，有4種站法，此時(shí)乙的位置確定，剩下的人隨便排，有種站排方式；

當(dāng)甲不站在每一排的兩端時(shí)，有3種站法，此時(shí)乙和甲相鄰有兩個(gè)位置可選，丙和甲不相鄰有四個(gè)位置可選，剩下的人隨便站，有種站排方式；

故總共有種站排方式.故選：D．考點(diǎn)六、特殊元素法1．（2024·遼寧·三模）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，中國隊(duì)將派甲、乙、丙、丁4名男子短跑運(yùn)動(dòng)員參加男子接力比賽，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，參賽方法共有（

）種A．10 B．12 C．14 D．18【答案】C【分析】先分兩類，一類是甲跑第四棒，另一類是甲跑第二或第三棒，分類求解即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)甲跑第四棒時(shí)，參賽方法有：種；當(dāng)甲跑第二或第三棒時(shí)，參賽方法有：種；顯然，參賽方法共有種.故選：C.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校寒假期間安排3名教師與4名學(xué)生去北京、上海參加研學(xué)活動(dòng)，每地要求至少1名教師與2名學(xué)生，且教師甲不去上海，則分配方案有（

）A．36種 B．24種 C．18種 D．12種【答案】C【分析】分教師甲與2名學(xué)生去北京與教師甲與另一名教師及2名學(xué)生去北京兩種情況分類討論可求分配方案的方法數(shù).【詳解】當(dāng)教師甲與2名學(xué)生去北京時(shí)，分配方案共有（種）；當(dāng)教師甲與另一名教師及2名學(xué)生去北京時(shí)，分配方案共有（種），綜上，分配方案共有（種）.故選：C.1．（23-24高二下·重慶渝北·期中）將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為的三個(gè)盒子，每個(gè)小球只能放入一個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，若盒子中只放一個(gè)小球，則不同的放法數(shù)為（

）A．18 B．24 C．48 D．72【答案】B【分析】此題利用分步計(jì)數(shù)原理，按照優(yōu)先特殊的盒，分三步就可以解決此問題.【詳解】第一步：給盒子中只放一個(gè)小球有4種放法；第二步：給剩下的3個(gè)球分成兩組有種方法；第三步：給分成兩組的球排列到兩個(gè)盒子中有種方法；所以利用分步計(jì)數(shù)原理可知，滿足題意的不同的放法數(shù)為：，故選：2．（23-24高二下·江蘇南通·期中）文娛晚會(huì)中，學(xué)生的節(jié)目有5個(gè)，教師的節(jié)目有2個(gè)，如果教師的節(jié)目不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，并且不相鄰，則排法種數(shù)為（

）A．720 B．1440 C．2400 D．2880【答案】B【分析】先將學(xué)生的節(jié)目全排列，然后對教師節(jié)目進(jìn)行插空即可得解.【詳解】由題意可知，先將學(xué)生的節(jié)目全排列有種排法，然后對教師節(jié)目進(jìn)行插空有種排法，所以滿足題意的排法種數(shù)為種.故選：B.考點(diǎn)七、特殊位置法1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中間，則不同的站法種數(shù)為（

）A．32 B．36 C．40 D．42【答案】C【分析】先安排前排，再安排后排，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.【詳解】先排前排，有種站法，后排3人中身高最高的站中間，則兩邊的人有種站法，則有種站法．故選：C2．（23-24高三上·湖南衡陽·期末）某旅游團(tuán)計(jì)劃去湖南旅游，該旅游團(tuán)從長沙?衡陽?郴州?株洲?益陽這5個(gè)城市中選擇4個(gè)（選擇的4個(gè)城市按照到達(dá)的先后順序分別記為第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團(tuán)四站的城市安排共有（

）A．96種 B．84種 C．72種 D．60種【答案】A【分析】根據(jù)分步乘法原理先考慮第一站，再考慮余下的三站得解.【詳解】因?yàn)榈谝徽静蝗ブ曛?，所以第一站可以從長沙?衡陽?郴州?益陽這4個(gè)城市中選擇1個(gè)，共有4種選擇，余下的三站可以從剩下的4個(gè)城市中選擇3個(gè)，所以該旅游團(tuán)四站的城市安排共有種.故選：A.3．（2023·北京·高三統(tǒng)考）某單位安排7位員工在春節(jié)期間大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在初一，丁不排在初七，則不同的安排方案共有（

）A．504種 B．960種 C．1008種 D．1108種【答案】C【分析】根據(jù)題意，用間接法分析：先計(jì)算甲乙相鄰的排法種數(shù)，進(jìn)而計(jì)算其中“甲乙相鄰且丙排在初一”、“甲乙相鄰且丁排在初七”和“甲乙相鄰且丙排在初一同時(shí)丁排在初七”的排法種數(shù)，據(jù)此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，用間接法分析：甲乙相鄰，即甲乙排在相鄰的兩天，有＝1440種情況，其中，甲乙相鄰且丙排在初一的排法有＝240種，甲乙相鄰且丁排在初七排法有＝240種，甲乙相鄰且丙排在初一同時(shí)丁排在初七排法有＝48種，則不同的安排方案共有1440－240－240＋48＝1008種，故選：C．1．（23-24高三上·山西·期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（

）A．48種 B．32種 C．24種 D．16種【答案】B【分析】由排列組合以及分類分步計(jì)數(shù)原理即可得解.【詳解】當(dāng)老師從左到右排在第二或第四位時(shí)，共有種排法，當(dāng)老師從左到右排在第三位時(shí)，共有種排法，于是共有種排法.故選：B.2．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）武漢外校國慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同的值班方法共有（

）種A．114 B．120 C．126 D．132【答案】A【分析】依據(jù)值班3天的為分類標(biāo)準(zhǔn)，逐類解決即可.【詳解】因?yàn)橛腥焕蠋熤蛋?天，且每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，所以必有一人值班3天，另兩人各值班2天.第一類：值班3天在、、、、、時(shí)，共有種不同的值班方法；第二類：值班3天在、時(shí)，共有種不同的值班方法；第三類：值班3天在時(shí)，共有種不同的值班方法；第四類：值班3天在時(shí)，共有種不同的值班方法；綜上可知三位老師在國慶節(jié)7天假期共有種不同的值班方法.故選：A3．（2023·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）某小學(xué)班級星期一要排5節(jié)課,語文、數(shù)學(xué)、英語、音樂、體育各1節(jié),考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)的效果,第一節(jié)不排數(shù)學(xué),語文和英語相鄰,且音樂和體育不相鄰,則不同的排課方式有(

)A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】利用間接法,先求出第一節(jié)沒有要求的排列的種數(shù),再排除第一節(jié)排數(shù)學(xué)的種數(shù),即可求得答案.【詳解】把語文和英語看作一個(gè)復(fù)合元素和數(shù)學(xué)全排,形成了三個(gè)空,把音樂和體育插入到其中個(gè)空中.有種,又第節(jié)排數(shù)學(xué),第節(jié)只能排語文和英語,第節(jié)只能排音樂和體育,有種,第節(jié)不排數(shù)學(xué),語文和英語相鄰.且音樂和體育不相鄰,不同的排課方式有種,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查組合計(jì)數(shù)問題的求解.對于限制條件較多的組合計(jì)數(shù)問題,通常采用間接法來進(jìn)行求解,易錯(cuò)點(diǎn)是忽略限制條件的彼此影響,造成求解錯(cuò)誤,考查了分析能力,屬于中檔題.考點(diǎn)八、間接法1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）某人計(jì)劃去北京、西安、沈陽、喀什、長沙五個(gè)城市旅游，若最后一個(gè)目的城市不是喀什，則該人旅游完這五個(gè)城市的所有可能順序共有（

）A．60種 B．72種 C．84種 D．96種【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，不考慮限制條件的排列數(shù)，去掉最后目的地是喀什的排列數(shù)即可.【詳解】最后目的地沒有限制條件的情況有種，而最后一個(gè)目的城市是喀什的情況有種，所以最后一個(gè)目的城市不是喀什的情況有（種）．故選：D2．（2024·四川·模擬預(yù)測）某校組織校慶活動(dòng)，負(fù)責(zé)人將任務(wù)分解為編號(hào)為的四個(gè)子任務(wù)，并將任務(wù)分配給甲、乙、丙3人，且每人至少分得一個(gè)子任務(wù)，則甲沒有分到編號(hào)為的子任務(wù)的分配方法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】C【分析】可以考慮用間接法先不考慮限制求出共有種方法，進(jìn)一步由分類原理即可求解.【詳解】不考慮限制條件則共有種方法，若甲分到編號(hào)子任務(wù)，有兩種情況：甲分到一個(gè)子任務(wù)（即只有編號(hào)子任務(wù)），此時(shí)共有種方法；甲分到兩個(gè)子任務(wù)（即包含編號(hào)子任務(wù)），此時(shí)共有種方法；則所求的分配方法共有種.故選：C.3．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）有4名男生?3名女生和2個(gè)不同的道具（記作A和B）參與一個(gè)活動(dòng)，活動(dòng)要求：所有人（男生和女生）必須站成一排，女生必須站在一起，并且她們之間按照身高從左到右由高到低的順序排列（假設(shè)女生的身高各不相同）；兩個(gè)道具A和B必須被分配給隊(duì)伍中的兩個(gè)人（可以是男生，也可以是女生），但這兩人不能站在一起.滿足上述所有條件的排列方式共有（

）A．2400種 B．3600種 C．2880種 D．4220種【答案】B【分析】先用捆綁法排列（女生不需要內(nèi)部排列），然后利用間接法再分配2個(gè)道具．【詳解】根據(jù)題意4名男生?3名女生的排列方法為，然后在7人中選2人（不相鄰）分配道具：，總方法數(shù)為，故選：B．1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（

）種.A． B． C． D．【答案】D【分析】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙在最左端的有種，然后加上甲在中間和乙在最左端的有種.【詳解】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙排最左端的有種，然后加上甲在中間和乙在最左端的有種，則共有種排法.故選：D.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）2024年2月17日，第十四屆全國冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)在內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市正式開幕．要從4名男志愿者、2名女志愿者中隨機(jī)選派4人參加冰球比賽服務(wù)，如果要求至少有1名女志愿者，那么不同的選派方案種數(shù)為（

）A．14 B．12 C．8 D．6【答案】A【分析】根據(jù)計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合一是直接分類，即先把所求事件分成若干類，然后計(jì)算出每類的方法數(shù)，最后求和；二是排除法，即用所有的方法數(shù)減去不符合條件的方法數(shù)．【詳解】解法一：當(dāng)選派1名女志愿者、3名男志愿者時(shí)，有種不同的選派方案；當(dāng)選派2名女志愿者、2名男志愿者時(shí)，有種不同的選派方案．故至少有1名女志愿者的不同的選派方案種數(shù)為．解法二：從6名志愿者中隨機(jī)選派4人的不同的選派方案種數(shù)為，其中沒有女志愿者的不同的選派方案種數(shù)為，故至少有1名女志愿者的不同的選派方案種數(shù)為．故選：A．3．（2022·河北·高三?？迹┈F(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍(lán)色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（

）A．484 B．472C．252 D．232【答案】B【分析】用間接法分析.先求出“從16張卡片中任取3張的所有取法數(shù)”，再分析“取出的3張為同一種顏色”和“取出的3張有2張綠色卡片”的取法數(shù)，從而可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，不考慮限制，從16張卡片中任取3張，共有種取法，如果取出的3張為同一種顏色，則有種情況，如果取出的3張有2張綠色卡片，則有種情況，故所求的取法共有種.故選：B.4．（24-25高三上·重慶涪陵·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．54【答案】B【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3種情況，分類討論結(jié)合組合數(shù)分析求解；解法二：利用間接法，根據(jù)題意先排甲不排首尾，再排除不符合題意的情況，結(jié)合組合數(shù)分析求解.【詳解】解法一：多重限制的排列問題：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲為優(yōu)先元素分類計(jì)數(shù)，甲的排位有可能是第二、三、四3種情況：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有種排法，則有；②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有種排法，則有；③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2種排法，丙不排第二位，有2種排法，余下2人有種排法，則有；綜上，該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為種.解法二：間接法：甲不排首尾，有三種情況，再排乙，也有3種情況，包含丙的余下3人有種排法，共有種不同的情況；但如果丙是第二名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況；從而該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為種.故選：B.考點(diǎn)九、隔板法1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）把8個(gè)相同的籃球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發(fā)種數(shù)為（

）A．70 B．99 C．110 D．165【答案】D【分析】相同元素的分配問題用“隔板法”即可.【詳解】當(dāng)8個(gè)相同的藍(lán)球只分給其中1人時(shí)，有4種分法；當(dāng)8個(gè)相同的藍(lán)球分給其中的2人時(shí)，先從4人里面選出2人，再將8個(gè)相同的藍(lán)球排成一排，形成的7個(gè)空里面選出1個(gè)空插入1個(gè)“隔板”即可，此時(shí)有種分法；當(dāng)8個(gè)相同的藍(lán)球分給其中的3人時(shí)，先從4人里面選出3人，再將8個(gè)相同的藍(lán)球排成一排，形成的7個(gè)空里面選出2個(gè)空插入2個(gè)“隔板”即可，此時(shí)有種分法；當(dāng)8個(gè)相同的藍(lán)球分給其中的4人時(shí)，每人至少一個(gè)，此時(shí)將8個(gè)相同的藍(lán)球排成一排，形成的7個(gè)空里面選出3個(gè)空插入3個(gè)“隔板”即可，此時(shí)有種分法；因此把8個(gè)相同的藍(lán)球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人時(shí)，不同的分發(fā)種數(shù)有：故選：D.2．（23-24高二下·貴州遵義·期末）方程的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)為（

）．A．220 B．120 C．84 D．24【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的13個(gè)完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.【詳解】依題意，可知為非負(fù)整數(shù)，因?yàn)?，所以，從而將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的13個(gè)完全相同的小球分成部分，每部分至少一個(gè)球，一共有12個(gè)間隔，利用4個(gè)隔板插入即可，故共有種.故選：A3．（24-25高二上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？【答案】【分析】利用擋板法即可由組合數(shù)求解.【詳解】因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個(gè)空隙。在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個(gè)班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有種分法。1．（23-24高二下·四川內(nèi)江·期中）學(xué)校將個(gè)三好學(xué)生名額分配給個(gè)班，每個(gè)班至少一個(gè)名額，則分配方案共有種.【答案】【分析】利用隔板法計(jì)算可得.【詳解】將個(gè)三好學(xué)生名額看做個(gè)完全一樣的小球，將小球排成一排，從個(gè)空中插入個(gè)隔板，將小球分成組，每組小球的個(gè)數(shù)對應(yīng)班級的三好學(xué)生名額，