2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.2三角函數(shù)的概念5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)案新人教A版必修第一冊

PAGE1-5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(老師獨具內(nèi)容)課程標準：1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.2.會運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．教學(xué)重點：同角三角函數(shù)關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用．教學(xué)難點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解題中的逆用、變形應(yīng)用及運用公式時由函數(shù)值正負號的選取而導(dǎo)致的角的范圍的探討.【學(xué)問導(dǎo)學(xué)】學(xué)問點一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)問點二同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形形式(1)平方關(guān)系變形sin2α＝eq\o(□,\s\up3(01))1－cos2α，cos2α＝eq\o(□,\s\up3(02))1－sin2α.(2)商的變形sinα＝eq\o(□,\s\up3(03))tanαcosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).【新知拓展】(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算規(guī)律，這里“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對“隨意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)．關(guān)系式成立與角的表達形式無關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1.(2)sin2α是(sinα)2的簡寫，不能寫成sinα2.(3)約定：教材中給出的三角恒等式，除特殊注明的狀況外，都是指兩邊都有意義狀況下的恒等式．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)由于平方關(guān)系對隨意角都成立，則sin2α＋cos2β＝1也成立．()(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對隨意角α都成立．()(3)當角α的終邊與坐標軸重合時，sin2α＋cos2α＝1也成立．()(4)在利用平方關(guān)系求sinα或cosα?xí)r，會得到正負兩個值．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(1)若sinα＝eq\f(4,5)，且α是其次象限角，則tanα的值等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．±eq\f(3,4) D．±eq\f(4,3)(2)化簡：eq\r(1－sin2440°)＝________.(3)已知eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，則tanα＝________.答案(1)A(2)cos80°(3)－eq\f(23,16)題型一三角函數(shù)求值例1(1)已知cosα＝－eq\f(4,5)，求sinα和tanα；(2)已知tanα＝3，求eq\f(4sinα－cosα,3sinα＋5cosα)的值．[解](1)sin2α＝1－cos2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2，因為cosα＝－eq\f(4,5)<0，所以α是其次或第三象限角，當α是其次象限角時，sinα＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)；當α是第三象限角時，sinα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).(2)解法一：原式＝eq\f(4tanα－1,3tanα＋5)＝eq\f(4×3－1,3×3＋5)＝eq\f(11,14).

解法二：∵tanα＝3，∴sinα＝3cosα.代入原式可得：原式＝eq\f(4×3cosα－cosα,3×3cosα＋5cosα)＝eq\f(11cosα,14cosα)＝eq\f(11,14).解法三：∵tanα＝3>0，∴sinα＝3cosα.又sin2α＋cos2α＝1.∴sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(\r(10),10)，或sinα＝－eq\f(3\r(10),10)，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，∴原式＝eq\f(11,14).[結(jié)論探究]在本例(2)中條件不變的狀況下，求eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(1,2)cos2α的值．解原式＝eq\f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq\f(\f(3,4)×9＋\f(1,2),9＋1)＝eq\f(29,40).金版點睛1．求三角函數(shù)值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解當角θ的范圍不確定且涉及開方時，常因三角函數(shù)值的符號問題而對角θ分區(qū)間(象限)探討．2．已知角α的正切求關(guān)于sinα，cosα的齊次式的值的方法(1)關(guān)于sinα，cosα的齊次式就是式子中的每一項都是關(guān)于sinα，cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子、分母同除以cosα的n次冪，其式子可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．(2)若無分母時，把分母看作1，并將1用sin2α＋cos2α來代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])(1)已知sinα＝eq\f(12,13)，并且α是其次象限角，求cosα和tanα；(2)已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值；(3)已知eq\f(tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求eq\f(sinα＋2cosα,5cosα－sinα)的值．解(1)cos2α＝1－sin2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2，又α是其次象限角，所以cosα<0，cosα＝－eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).(2)由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.所以2sinαcosα－cos2α＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα－1,tan2α＋1)＝eq\f(－4－1,4＋1)＝－1.(3)∵eq\f(tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1,3)，∴3tan2α－2tanα－1＝0.即(3tanα＋1)(tanα－1)＝0，∴tanα＝－eq\f(1,3)或tanα＝1.∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴tanα<0，∴tanα＝－eq\f(1,3)，∴eq\f(sinα＋2cosα,5cosα－sinα)＝eq\f(tanα＋2,5－tanα)＝eq\f(5,16).題型二sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用例2已知在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(1,5).(1)求sinAcosA；(2)推斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形．[解](1)∵sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，∴兩邊平方，得1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25).∴sinAcosA＝－eq\f(12,25).(2)由(1)sinAcosA＝－eq\f(12,25)<0，且0<A<π，可知cosA<0，∴A為鈍角．∴△ABC是鈍角三角形．金版點睛三角函數(shù)求值中常見的變形公式(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要依據(jù)α的范圍留意推斷它們的符號．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])已知0<θ<π，且sinθ－cosθ＝eq\f(1,5)，求sinθ＋cosθ，tanθ的值．解∵sinθ－cosθ＝eq\f(1,5)，∴(sinθ－cosθ)2＝eq\f(1,25)，解得sinθcosθ＝eq\f(12,25).∵0<θ<π，且sinθcosθ＝eq\f(12,25)>0，∴sinθ>0，cosθ>0.∴sinθ＋cosθ＝eq\r(sinθ＋cosθ2)＝eq\r(1＋2sinθcosθ)＝eq\r(1＋\f(24,25))＝eq\f(7,5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ－cosθ＝\f(1,5)，,sinθ＋cosθ＝\f(7,5)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(4,5)，,cosθ＝\f(3,5)，))∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(4,3).題型三三角函數(shù)式的化簡與證明例3(1)化簡：eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°))；(2)求證：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).[解](1)原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.(2)證法一：∵右邊＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左邊，∴原等式成立．證法二：∵左邊＝eq\f(tanαsinα,tanα－tanαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右邊＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα1－cosα)＝eq\f(sin2α,sinα1－cosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，∴左邊＝右邊，原等式成立．[條件探究]將本例(1)改為化簡：eq\f(\r(1＋2sin130°cos130°),sin130°－\r(1－sin2130°)).解原式＝eq\f(\r(sin130°＋cos130°2),sin130°－|cos130°|)＝eq\f(sin130°＋cos130°,sin130°＋cos130°)＝1.金版點睛1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡的常用方法1化切為弦，削減函數(shù)名稱，便于約分化簡；2對含根號的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，去掉根號，為防止出錯，去掉根號后首先用肯定值符號表示，然后考慮正負；3對含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以便于降冪化簡.2.簡潔的三角恒等式的證明思路1從一邊起先，證明它等于另一邊；2證明左、右兩邊等于同一個式子；3逐步找尋等式成立的條件，達到由繁到簡.eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練3])化簡：(1)eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα))；(2)eq\r(1－tanθcos2θ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanθ)))sin2θ).解(1)原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|)＝eq\f(sinα,|sinα|)，當sinα>0時，原式＝1；當sinα<0時，原式＝－1.(2)原式＝eq\r(\f(cosθ－sinθ,cosθ)·cos2θ＋\f(sinθ＋cosθ,sinθ)·sin2θ)＝eq\r(cos2θ－sinθcosθ＋sin2θ＋sinθcosθ)＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1.1．已知cosθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(3π,2)<θ<2π，則eq\f(1,tanθ)的值為()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)答案D解析由于cosθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(3π,2)<θ<2π.所以sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\f(3,5)，所以tanθ＝－eq\f(3,4)，故eq\f(1,tanθ)＝－eq\f(4,3).2．已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－eq\f(4,3) B.eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)答案D解析s