新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)第17講 數(shù)列求和（原卷版）

第17講數(shù)列求和【知識點(diǎn)總結(jié)】求數(shù)列前項和的常見方法如下：（1）公式法：對于等差、等比數(shù)列，直接利用前項和公式.（2）錯位相減法：數(shù)列的通項公式為或的形式，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.（3）分組求和法：數(shù)列的通項公式為的形式，其中和滿足不同的求和公式.常見于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列或者與分別是數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項，并滿足不同的規(guī)律.（4）裂項相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項或相隔若干項之差的形式，進(jìn)行消項.（5）倒序相加：應(yīng)用于等差數(shù)列或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列求和.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項公式，它的前項和，則（）A．9 B．10 C．99 D．100例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在公差大于0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前21項和為（）A．12 B．21 C．11 D．31例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2021=（）A．3 B．2 C．1 D．0例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，則___________.例5．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，函數(shù)對一切實數(shù)總有，數(shù)列滿足分別求數(shù)列、的通項公式.例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿足．（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前n項和．例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項和為，.（1）求，；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為.證明：.例8．（2021·福建·永安市第三中學(xué)高中校高三期中）已知數(shù)列是前項和為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前項和的公式的方法，可求得（）.A．25 B．26 C．13 D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項和為（）A．100 B．105 C．110 D．1153．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為A．4033 B．-4033C．8066 D．-80664．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則數(shù)列{nan}的前n項和為（）A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2nC．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡的結(jié)果是（）A． B．C． D．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)預(yù)測，某地第個月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，則該地第4個月底的共享單車的保有量為（）A．421 B．451 C．439 D．935二、填空題7．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和為______．8．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式，，其前項和為，則______．9．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)數(shù)列有，則_______.三、解答題10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=5，nSn+1-（n+1）Sn=n2+n.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）令bn=2nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.11．（2022·河北·高三專題練習(xí)）己知數(shù)列的前n項和為，且，_______.請在①；②；成等比數(shù)列；③，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在上而題干中，并解答下面問題.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有一正項等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，滿足a2a4=64，S3=14.設(shè)bn=log2an（n∈N*）.（1）求a1，a2的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；（3）記，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前項和.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在①；②；③成等差數(shù)列這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.問題：數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，前n項和為Sn，a1＝2，且___.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若（），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）令，求數(shù)列的前項和．19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，已知，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．20．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，滿足，，，，成等差數(shù)列．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，求．21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正項數(shù)列中，，，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為正項等比數(shù)列，其滿足，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若_______，求數(shù)列的前n項和.在①，②，③這三個條件中任一個補(bǔ)充在第（2）問中；并對其求解.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足公差，前n項的和為，，，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前100項的和.24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.25．（2021·全國·高三專題練習(xí)）設(shè){an}是等差數(shù)列，(n∈N*)；是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N*).已知，，b5=a3+a5，b7=a4+2a6.（1）求Sn與an；（2）若，求數(shù)列的前項和.26．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記在區(qū)間上，的項數(shù)為，求數(shù)列的前m項和.27．（2021·海南二中高三階段練習(xí)）遞增等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列前項和.28．（2021·河南·高三階段練習(xí)（文））已知，，，中的個數(shù)為等差