專題2 運(yùn)氣-極值點(diǎn)偏移“一陽指”（教師版）-極值點(diǎn)偏移專題

極值點(diǎn)偏移“一陽指”一陽指為大理段氏一脈中最高武學(xué)"六脈神劍"的入門功夫，其本源是將含于指尖的內(nèi)力隔空激發(fā)出去，使其以極高速在空中運(yùn)動(dòng)的一門技術(shù)。解決極值點(diǎn)偏移問題，有一個(gè)非常常用的方法便是“極值點(diǎn)偏移的判定定理”，本節(jié)重點(diǎn)介紹該定理及其應(yīng)用。極值點(diǎn)偏移的判定定理對于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏.證明：（1）因?yàn)閷τ诳蓪?dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（小）大值點(diǎn)右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點(diǎn)左偏）左慢右快（極值點(diǎn)右偏）左快右慢（極值點(diǎn)左偏）左慢右快（極值點(diǎn)右偏）運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號，從而確定、的大小關(guān)系.口訣：極值偏離對稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個(gè)步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2、抽化模型答題模板：若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.（3）通過求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時(shí)，.（4）不妨設(shè)，通過的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時(shí)，且，，故，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)?，故，由于在上單調(diào)遞減，故.【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)須細(xì)心；（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求的單調(diào)性、極值點(diǎn)，證明與（或與）的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結(jié)論，讓你給予證明，此時(shí)自己應(yīng)主動(dòng)把該小問分解為三問逐步解題.對點(diǎn)詳析，利器顯鋒芒★已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若，且，證明：.∵，∴，在上單調(diào)遞增，∴，∴.★函數(shù)與直線交于、兩點(diǎn).證明：.★已知函數(shù)，若，且，證明：.【解析】由函數(shù)單調(diào)性可知：若，則必有，。所以，而，令，則所以函數(shù)在為減函數(shù)，所以，所以即，所以，所以.★已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.內(nèi)練精氣神，外練手眼身★【2019湖南郴州二中月考】已知函數(shù)f(x)=lnx+12a(1)若a=_?，b=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)F(x)=f(x)__(x)．(i)若函數(shù)F(x)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(ii)若F(x1)=F(x2【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】(1)當(dāng)a=?2，b=1時(shí)，f(x)=lnx?xf'令f'(x)>0，得0<x<1；令f'所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，+∞)．(2)(i)F(x)=f(x)?g(x)=lnx+F'①當(dāng)a_?時(shí)，F(xiàn)'(x)>0，函數(shù)不存在極值．②當(dāng)a<0時(shí)，令F'(x)=0，得ax所以F'(x)=a(x+x0在上為減函數(shù)，所以當(dāng)x=x0時(shí)，F(xiàn)(x)取得極大值F(所以若函數(shù)F(x)有極值，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?_?0)．(ii)由(i)知當(dāng)a_?時(shí)，不存在，使得F(x1)=F(x2)，當(dāng)a<0時(shí)，存在，使得欲證x1+x因?yàn)楹瘮?shù)F(x)在上為減函數(shù)，故只需證F(x2即證F(x1)<F(2令_(x)=F(x)?F(2x則．設(shè)?(x)=_'(x)因?yàn)?<x<x0，?'(x)<0，所以，所以在(0,x0)上為增函數(shù)，所以即F(x1)?F(2★【2019江西贛州十四縣（市)期中聯(lián)考】已知函數(shù)(a為常數(shù))，曲線y=f(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線與x軸平行．(1)求a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2使成立，試比較x【答案】（1）a=2,在區(qū)間(－∞，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增．（2）x1＋x2＜2ln2【解析】(1)由fx得．且f(x)與y軸交于A(0.0)所以，所以a=2，所以f_?//(x)=e由＞0，得x＞ln2．所以函數(shù)在區(qū)間(－∞，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)證明：設(shè)x＞ln2，所以2ln2－x＜ln2，f_?//(2ln2－x)＝e(2ln2－x)－2(2ln2－x＝4ex＋2令g(x)＝f_?//(x)－f_?//(2ln2－x)＝ex－4ex－4所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝ln2時(shí)，等號成立，所以g(x)＝f_?//(x)－f_?//(2ln2－又g(ln2)＝0，所以當(dāng)x＞ln2時(shí)，g(x)＝f_?//(x)－f_?//(2ln2－x)＞即f_?//(x)＞f_?//(2ln2－x)，不妨設(shè)x1＜ln2＜x2，所以f_?//(x2)＞f_?//又因?yàn)閒_?//(x1)＝f_?//(x2)，所以f_?//(x1)＞f_?//由于x2＞ln2，所以2ln2－x2＜ln2，因?yàn)閤1＜ln2，由(1)知函數(shù)y＝f_?//(x所以x1＜2ln2－x2，即x1＋x2＜2ln2．★已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）若，證明：當(dāng)，且時(shí)，.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，無極值;當(dāng)時(shí),有極小值;(2)詳見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在時(shí)成立在上單調(diào)遞增，無極值.當(dāng)時(shí)，解得由得；由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極小值.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?，由，解?當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：00+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增∵，且，則（不妨設(shè)）★已知函數(shù)，其中（1）若