高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明222反證法省公開課一等獎新課獲獎?wù)n件

數(shù)學(xué)選修2-2·人教A版新課標(biāo)導(dǎo)學(xué)第1頁第二章推理與證實(shí)第2頁2．2直接證實(shí)與間接證實(shí)2．2.2反證法第3頁1自主預(yù)習(xí)學(xué)案2互動探究學(xué)案3課時作業(yè)學(xué)案第4頁自主預(yù)習(xí)學(xué)案第5頁第6頁1．反證法定義普通地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確推理，最終得出______，所以說明假設(shè)______，從而證實(shí)了原命題_______，這么證實(shí)方法叫做反證法．反證法是間接證實(shí)一個基本方法．2．反證法證題原理(1)反證法原理是“否定之否定等于必定”．(2)用反證法解題實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，從而說明原結(jié)論正確．矛盾成立錯誤第7頁1．應(yīng)用反證法推出矛盾推導(dǎo)過程中，要把以下哪些作為條件使用(

)①原結(jié)論相反判斷，即假設(shè)②原命題結(jié)論③公理、定理、定義等④原命題條件A．①④

B．①②③C．①③④

D．②③[解析]

由反證法規(guī)則可知①③④都可作為條件使用，故應(yīng)選C．C第8頁2．用反證法證實(shí)某命題時，對其結(jié)論：“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”正確反設(shè)為(

)A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)B．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c中最少有兩個偶數(shù)D．a(chǎn)、b、c中最少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)[解析]

“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”即a、b、c中有兩奇一偶，故其反面應(yīng)為都是奇數(shù)或兩偶一奇或都是偶數(shù)，故選D．D第9頁3．假如兩個實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)(

)A．一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)B．兩個都是正數(shù)C．最少有一個正數(shù)D．兩個都是負(fù)數(shù)[解析]

假設(shè)兩個數(shù)分別為x1、x2，且x1≤0，x2≤0，則x1＋x2≤0，這與兩個數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個實(shí)數(shù)最少有一個正數(shù)，故應(yīng)選C．4．“任何三角形外角都最少有兩個鈍角”否定應(yīng)是_______________________________________．[解析]

全稱命題否定形式為特稱命題，而“最少有兩個”否定形式為“至多有一個”．故該命題否定為“存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角”．C存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角第10頁互動探究學(xué)案第11頁命題方向1

?用反證法證實(shí)否(肯)定性命題典例1(1)(·武漢高二檢測)用反證法證實(shí)命題“假如a>b，那么a3>b3”時，假設(shè)內(nèi)容是(

)A．a(chǎn)3＝b3

B．a(chǎn)3<b3C．a(chǎn)3≤b3 D．a(chǎn)3<b3且a3＝b3C第12頁(2)(·德州高二檢測)用反證法證實(shí)命題：“一個三角形中不能有兩個直角”過程歸納為以下三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°．正確次序序號排列為__________．[解析]

(1)假設(shè)內(nèi)容應(yīng)為結(jié)論“a3>b3”否定“a3≤b3”，故選C．(2)依據(jù)反證法證題三步驟：否定結(jié)論、導(dǎo)出矛盾、得出結(jié)論．③①②第13頁『規(guī)律總結(jié)』

1．用反證法證實(shí)否定性命題適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語命題稱為否定性命題，這類問題正面比較含糊，而反面比較詳細(xì)，適合使用反證法．2．用反證法證實(shí)數(shù)學(xué)命題步驟第14頁尤其提醒：(1)用反證法證題時，首先要搞清反證法證題思緒步驟，其次注意反證法是在條件較少，直接證實(shí)不易入手時慣用方法．(2)結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“沒有”等詞語否定性命題，結(jié)論反面比較詳細(xì)，適于應(yīng)用反證法．(3)注意否定結(jié)論時，要準(zhǔn)確無誤．第15頁第16頁命題方向2

?反證法證實(shí)“至多”“最少”問題典例2第17頁第18頁『規(guī)律總結(jié)』

1．當(dāng)命題中出現(xiàn)“最少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“沒有……”、“唯一”等指示性詞語時，宜用反證法．2．用反證法證題，必須準(zhǔn)確寫出命題否定，把命題所包含全部可能情形找全，范圍既不縮小，也不擴(kuò)大．慣用反設(shè)詞以下：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞最少有一個一個也沒有對全部x成立存在某個x0不成立至多有一個最少有兩個對任意x不成立存在某個x0成立最少有n個至多有n－1個p或q綈p且綈q至多有n個最少有n＋1個p且q綈p或綈q第19頁第20頁命題方向3

?用反證法證實(shí)存在性、唯一性命題

已知：一點(diǎn)A和平面α．求證：經(jīng)過點(diǎn)A只能有一條直線和平面α垂直．[思緒分析]

典例3第21頁第22頁第23頁『規(guī)律總結(jié)』

1．證實(shí)“有且只有一個”問題，需要證實(shí)兩個命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證實(shí)結(jié)論以“有且只有”、“只有一個”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)命題時，因為反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以宜用反證法證實(shí)．2．若結(jié)論反面情況有各種，則必須將全部反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立．第24頁〔跟蹤練習(xí)3〕若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)，且f(a)<0，f(b)>0，f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)．第25頁正難則反是利用反證法標(biāo)準(zhǔn)，有一些基礎(chǔ)命題都是我們在數(shù)學(xué)中常利用顯著事實(shí)，它們判定方法極少，宜用反證法證實(shí)．這些題型有：(1)一些基本命題、基本定理；(2)易導(dǎo)出與已知矛盾命題；(3)“否定性”命題；(4)“唯一性”命題；(5)“必定性”命題；(6)“至多”“最少”類命題；(7)包括“無限”結(jié)論命題．適宜利用反證法證實(shí)命題第26頁

已知a，b，c是互不相等實(shí)數(shù)，求證：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b確定三條拋物線最少有一條與x軸有兩個不一樣交點(diǎn)．典例4第27頁第28頁『規(guī)律總結(jié)』

1．反證法“歸謬”是反證法關(guān)鍵，其含義是從假設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個新已知條件)及原命題條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾結(jié)果．2．反證法中引出矛盾結(jié)論，不是推理本身錯誤，而是開始假定“結(jié)論反面”是錯誤，從而必定原結(jié)論是正確．第29頁〔跟蹤練習(xí)4〕證實(shí)：對于直線l：y＝kx＋1，不存在這么實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2－y2＝1交點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝ax(a為常數(shù))對稱．第30頁第31頁

已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0．[錯解]

假設(shè)a≤0，b≤0，c≤0，則a＋b＋c≤0，abc≤0與題設(shè)條件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．∴假設(shè)不成立，∴原命題成立．[辨析]

錯解沒有搞清原題待證結(jié)論是什么？造成反設(shè)錯誤．“求證：a>0，b>0，c>0”含義是“求證a、b、c三數(shù)都是正數(shù)”，故反設(shè)應(yīng)為“假設(shè)a、b、c中最少有一個小于0．”結(jié)論反設(shè)不妥致誤典例5第32頁[正解]證法1：假設(shè)a、b、c中最少有一個小于0，不妨設(shè)a≤0，若a<0，則由abc>0，得bc<0，由a＋b＋c>0得，b＋c>－a>0，∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc<0，這與已知ab＋bc＋ac>0矛盾．又若a＝0，則abc＝0與abc>0矛盾．故“a≤0”不成立，∴a>0，同理可證b>0，c>0．證法2：假設(shè)a、b、c是不全為正實(shí)數(shù)，因為abc>0，所以a、b、c中只能是兩負(fù)一正，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，∵ab＋bc＋ac>0，∴a(b＋c)＋bc>0，∵bc<0，∴a(b＋c)>0，∵a<0，∴b＋c<0，∴a＋b＋c<0，這與a＋b＋c>0矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立．即a，b，c全為正實(shí)數(shù)．第33頁[點(diǎn)評]含“至多”、“最少”、“唯一”等結(jié)論，或以否定形式給出結(jié)論，慣用反證法證實(shí)．證實(shí)第一步是寫出結(jié)論否定，否定一定要準(zhǔn)確，證實(shí)時要將全部可能情形一一推證．第34頁1．命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”結(jié)論否定應(yīng)該是(

)A．a(chǎn)<b

B．a(chǎn)≤b

C．a(chǎn)＝b

D．a(chǎn)≥b[解析]

“a>b”對立面為