641平面幾何中的向量方法課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第六章平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會運用平面向量的知識解決一些簡單的平面幾何問題，提升數(shù)學(xué)運算和直觀想象素養(yǎng).2.掌握向量法解決幾何問題的三步曲，體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).教學(xué)重難點：重點：用向量的知識解決平面幾何問題的方法和步驟.難點：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.問題1：在四邊形ABCD中，則四邊形ABCD是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形問題2：平面幾何的許多性質(zhì)，如平行、長度、夾角可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示，下表幾何性質(zhì)如何用向量知識來表示？幾何性質(zhì)向量圖示向量及其運算平行垂直長度夾角

如圖，DE是?ABC的中位線，證明二、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題問題3：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)三角形中位線定理的證明,你還記得如何證明嗎？二、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題證明：延長DE到F，使EF=DE連結(jié)CF.∵DE=EF、∠AED=∠CEF、AE=EC∴△ADE≌△CFE∴AD=FC、∠A=∠ECF∴AB∥FC又∵AD=DB∴BD∥CF且BD=CF所以，四邊形BCFD是平行四邊形∴DF∥BC，DF＝BC即DE∥BC又∵

如圖，DE是?ABC的中位線，用向量方法證明：DE∥BC,三、合作探究，活動領(lǐng)悟問題4：如何利用向量法三角形證明中位線定理？

如圖，DE是?ABC的中位線，用向量方法證明：DE∥BC,分析：DE是?ABC的中位線DE∥BC

如圖，DE是?ABC的中位線，用向量方法證明：DE是?ABC的中位線DE∥BC問題5：用向量解決平面幾何的基本思路和步驟是什么？思路：形到向量恰當(dāng)?shù)南蛄窟\算向量到形步驟：幾何元素向量化向量運算關(guān)系化結(jié)果翻譯幾何化問題6：如圖所示，在正方形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點，求證：AF⊥DE.四、師生互動，變式深化追問2：非零向量垂直的充要條件是什么？追問1：向量法解決平面幾何問題的步驟一是什么？問題6：如圖所示，在正方形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點，求證：AF⊥DE.四、師生互動，變式深化提示：我們把這種方法叫做基底法追問：還有別的證明方法嗎？問題6：如圖所示，在正方形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點，求證：AF⊥DE.提示：我們把這種方法叫做坐標(biāo)系法追問：比較基底法和坐標(biāo)法，它們優(yōu)、缺點是什么？如何選擇？

追問：比較基底法和坐標(biāo)法，它們優(yōu)、缺點是什么？如何選擇？

方法小結(jié)優(yōu)劣推薦使用基底法適用范圍廣，特殊圖形問題計算量比坐標(biāo)法稍大一般圖形坐標(biāo)系法適用范圍小，一般圖形可能無法使用，特殊圖形問題計算量稍小特殊圖形，如：正方形，矩形問題7：如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？追問2：解決線段長度問題常用的向量公式是什么？追問1：向量法解決平面幾何問題的步驟一是什么？五、嘗試練習(xí)，鞏固提高如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？追問：你還能用另外的方法證明嗎？知識回顧：一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.在實踐中，我們經(jīng)常會遇到測量距離、高度、角度等實際問題.解決這類問題，通常需要借助經(jīng)緯儀以及卷尺等測量角和距離的工具進(jìn)行測量.距離測量時，我們常常遇到“不能達(dá)到”的困難，這就需要設(shè)計恰當(dāng)?shù)臏y量方案.應(yīng)用舉例：ABCD45°30°45°75°例1：ABCD45°30°45°75°解析：為計算AB的長度，需在包含AB的三角形內(nèi)，通過解三角形來實現(xiàn)。也就是說，我們的目的是要找到一個包含AB的三角形，并獲得這個三角形盡量多的元素，以便求解。此例中包含AB的三角形有兩個，為了后期計算方便，我們會選擇△ADB進(jìn)行突破。ABCD45°30°45°75°由于我們已經(jīng)知道∠ADB的大小，所以若能由其它條件推演出AD、BD的長度，即可使用余弦定理求出AB的長度。而AD和BD分屬于△ACD和△BCD，所以可以在此兩個三角形中分別求解AD和BD。在△ACD中，已知∠ACD和∠ADC的大小以及CD的長度，滿足解三角形“知三求三”的條件，可以求解，同理△BCD亦然。

在求解AD和BD時，分別使用了余弦定理和正弦定理，你能說說這兩個定理的使用條件的區(qū)別嗎？正余弦定理的一般使用條件正弦定理已知一邊及其對角余弦定理已知兩邊及其夾角對于解非直角三角形，需要根據(jù)已知條件靈活選擇使用正弦定理和余弦定理，而且很多題目的方法也不是唯一的，但我們一般都會選擇便于計算的那種，即可以利用常見角（30°，45°，60°）求解的方案。ABCD45°30°45°75°此題的條件中給了多個角度，但只給了一個長度，按照教材上“這些條件往往隱含著相應(yīng)測量問題在某種特定情境和條件限制下的一個測量方案，而且是這種情境與條件限制下的恰當(dāng)方案”的思路，我們選擇了包含預(yù)測量元素AB的△ADB作為突破對象，你能說說選擇這個方案的原因嗎？ABh例2：如圖，為測量一座山的高度，某勘測隊在水平方向的觀測點A、B測得山頂?shù)难鼋欠謩e為α，β，該兩點間的距離是l米，則此山的豎直高度h為米（用含α，β，l的式子表達(dá)）。ABh解析：本例中的AB與例1中的CD，都是根據(jù)測量的需要而確定的線段，這樣的線段叫做測量過程中的基線。測高問題的解決方法與例1中測量“不可達(dá)”區(qū)域的辦法類似，由于直角三角形的存在，在計算上還會相對簡便一些。ABhQP包含PQ的兩個直角三角形（△PAQ，△PBQ）均可以作為突破口，而且在直角三角形中，僅需知道一邊和一個非直角角，就可以進(jìn)行解三角形。對本例而言，可以有兩種以上的方法進(jìn)行求解。ABhQPABhQP由以上兩例可知，在此類包含基線的“不可達(dá)區(qū)域”的相關(guān)測量問題中，解決方法大致類似，都需要先確定一個包含欲測量元素的三角形，然后通過基線和相關(guān)角度獲得這個三角形的若干其它元素，最后通過余弦定理或正弦定理等三角知識進(jìn)行求解。這類題目的解決方案一般都不唯一，而且個別方案在計算上會遇到很大困難，要注意規(guī)避。S20°BA北65°例3：如圖，一艘船向正北航行，航行速度的大小為32.2nmile/h，在A處看燈塔S在船的北偏東20°的方向上.30min后，船航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65°的方向上.已知距離燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？S20°BA北65°在三角相關(guān)知識的應(yīng)用問題中，常見這種動態(tài)的航行或風(fēng)暴問題，而且很多題目還需要通過構(gòu)建圖形來解決。這類問題中的航?；驓庀蟮刃g(shù)語，比如“北偏東20°”、“風(fēng)暴中心”等，會在解題中抽象成具體的角或點。這類題目更加偏向于實際化，也是新高考更加偏重的題目類型，要求學(xué)生有較高的閱讀與理解能力，