2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.3.26.3.36.3.4第1課時平面向量的分解及加減數(shù)乘運算的坐標表示學案新人教A版必修第二冊

PAGE1-6．3.2平面對量的正交分解及坐標表示6.3.3平面對量加、減運算的坐標表示6.3.4平面對量數(shù)乘運算的坐標表示考點學習目標核心素養(yǎng)平面對量的坐標表示理解向量正交分解以及坐標表示的意義數(shù)學抽象、直觀想象平面對量加、減運算的坐標表示駕馭兩個向量的和、差及向量數(shù)乘的坐標運算法則數(shù)學運算平面對量數(shù)乘運算的坐標表示理解坐標表示的平面對量共線的條件，并會解決向量共線問題數(shù)學運算、邏輯推理第1課時平面對量的分解及加、減、數(shù)乘運算的坐標表示問題導學預習教材P27－P33的內容，思索以下問題：1．怎樣分解一個向量才為正交分解？2．如何求兩個向量和、差的向量的坐標？3．一個向量的坐標與有向線段的起點和終點坐標之間有什么關系？4．若a＝(x，y)，則λa的坐標是什么？1．平面對量坐標的相關概念■名師點撥(1)平面對量的正交分解實質上是平面對量基本定理的一種應用形式，只是兩個基向量e1和e2相互垂直．(2)由向量坐標的定義知，兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標對應相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．2．平面對量的坐標運算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；②a－b＝(x1－x2，y1－y2)；③λa＝(λx1，λy1)．(2)一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．■名師點撥(1)向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關，而與它們的詳細位置無關．(2)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A(x1，y1)，終點B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)點的坐標與向量的坐標相同．()(2)零向量的坐標是(0，0)．()(3)兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標肯定不同．()(4)當向量的起點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√已知A(3，1)，B(2，－1)，則eq\o(BA,\s\up6(→))的坐標是()A．(－2，－1) B．(2，1)C．(1，2) D．(－1，－2)答案：C假如用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))可以表示為()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j答案：C設i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，則a＋b與a－b的坐標分別為____________．答案：(2，5)，(4，3)平面對量的坐標表示已知O是坐標原點，點A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，(1)求向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標；(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up6(→))的坐標．【解】(1)設點A(x，y)，則x＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7)．eq\a\vs4\al()求點和向量坐標的常用方法(1)求一個點的坐標，可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置的坐標．(2)求一個向量的坐標時，可以首先求出這個向量的始點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去始點坐標得到該向量的坐標．1.在平面直角坐標系xOy中，向量a，b的方向如圖所示，且|a|＝2，|b|＝3，則a的坐標為________，b的坐標為________．解析：設點A(x，y)，B(x0，y0)，因為|a|＝2，且∠AOx＝45°，所以x＝2cos45°＝eq\r(2)，y＝2sin45°＝eq\r(2).又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，所以x0＝3cos120°＝－eq\f(3,2)，y0＝3sin120°＝eq\f(3\r(3),2)，故a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，eq\r(2))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).答案：(eq\r(2)，eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))2．已知長方形ABCD的長為4，寬為3，建立如圖所示的平面直角坐標系，i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，試求eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(BD,\s\up6(→))的坐標．解：由題圖知，CB⊥x軸，CD⊥y軸，因為AB＝4，AD＝3，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝4i＋3j，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，3)．因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝－4i＋3j，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，3)．平面對量的坐標運算(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c滿意3a－2b＋c＝0，則c＝()A．(－23，－12) B．(23，12)C．(7，0) D．(－7，0)(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，求點M，N的坐標．【解】(1)選A.因為a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c滿意3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．(2)法一：因為A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)．因為eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝3(1，8)＝(3，24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2(6，3)＝(12，6)．設M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋3＝3，,y1＋4＝24，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋3＝12，,y2＋4＝6.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝20，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝9，,y2＝2.))所以M(0，20)，N(9，2)．法二：設O為坐標原點，則由eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，可得eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)).所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)．所以M(0，20)，N(9，2)．eq\a\vs4\al()平面對量坐標(線性)運算的方法(1)若已知向量的坐標，則干脆應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行．(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則必需先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．(3)向量的線性坐標運算可類比數(shù)的運算進行．1．已知A，B，C的坐標分別為(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＝____________，eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝____________．解析：因為A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，10)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－8，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－10，14)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－18，18)，eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，－3)．答案：(－18，18)(－3，－3)2．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．解析：由題意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得m＝2，n＝5，所以m－n＝－3.答案：－3向量坐標運算的綜合應用已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).(1)t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在其次象限？(2)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．【解】(1)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．若點P在x軸上，則2＋3t＝0，所以t＝－eq\f(2,3).若點P在y軸上，則1＋3t＝0，所以t＝－eq\f(1,3).若點P在其次象限，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0，))所以－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3).(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－3t，3－3t)．若四邊形OABP為平行四邊形，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))該方程組無解．故四邊形OABP不能為平行四邊形．[變問法]若保持本例條件不變，問t為何值時，B為線段AP的中點？解：由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).所以當t＝2時，eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，B為線段AP的中點．eq\a\vs4\al()向量中含參數(shù)問題的求解策略(1)向量的坐標含有兩個量：橫坐標和縱坐標，假如縱坐標或橫坐標是一個變量，則表示向量的點的坐標的位置會隨之變更．(2)解答這類由參數(shù)確定點的位置的題目，關鍵是列出滿意條件的含參數(shù)的方程(組)，解這個方程(組)，就能達到解題的目的．1．已知在平行四邊形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，對角線AC，BD交于點M，則eq\o(DM,\s\up6(→))的坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))解析：選A.eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)[(5，0)－(2，4)]＝eq\f(1,2)(3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－2)).2．已知在非平行四邊形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三點的坐標分別為(0，0)，(2，0)，(1，1)，則頂點C的橫坐標的取值范圍是________．解析：當ABCD為平行四邊形時，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，故滿意題意的頂點C的橫坐標的取值范圍是(1，3)∪(3，＋∞)．答案：(1，3)∪(3，＋∞)1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a－b＝()A．(5，7)B．(5，9)C．(3，7)D．(3，9)答案：A2．已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，則x＋y＝________．解析：因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，又2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4＝－1，,2y－6＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝4，))所以x＋y＝eq\f(11,2).答案：eq\f(11,2)3．已知點B(1，0)是向量a的終點，向量b，c均以原點O為起點，且b＝(－3，4)，c＝(－1，1)與a的關系為a＝3b－2c，求向量a的起點坐標．解：a＝3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－7，10)，設a的起點為A(x，y)，則a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x＝－7，,－y＝10，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝－10，))所以A(8，－10)．即a的起點坐標為(8，－10)．[A基礎達標]1．設i，j是平面直角坐標系內分別與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量，O為坐標原點，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝4i＋2j，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3i＋4j，則2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標是()A．(1，－2) B．(7，6)C．(5，0) D．(11，8)解析：選D.因為eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，4)，所以2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．2．設向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，則λ＋x的值為()A．－eq\f(11,2) B.eq\f(11,2)C．－eq\f(29,2) D.eq\f(29,2)解析：選C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4λ＝－2，,xλ＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))所以λ＋x＝－eq\f(29,2)，故選C.3．已知eq\o(MA,\s\up6(→))＝(－2，4)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(2，6)，則eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A．(0，5) B．(0，1)C．(2，5) D．(2，1)解析：選D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2，6)－eq\f(1,2)(－2，4)＝(2，1)．4．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，則頂點D的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3，2) D．(1，3)解析：選A.設點D(m，n)，則由題意得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＝4，,2n－4＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝\f(7,2)，))即點D的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))，故選A.5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O為坐標原點，點C在∠AOB內，且∠AOC＝45°，設eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ的值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)解析：選C.如圖所示，因為∠AOC＝45°，所以設C(x，－x)，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，－x)．又因為A(－3，0)，B(0，2)，所以λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3λ，2－2λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3λ,－x＝2－2λ))?λ＝eq\f(2,5).6．已知點A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a，則點B的坐標為________．解析：設O為坐標原點，因為eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－5)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a＝(6，9)，故eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，4)，故點B的坐標為(5，4)．答案：(5，4)7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用a和b表示c，則c＝________．解析：設c＝xa＋yb，則(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1)．故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝4，,2x＋3y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))所以c＝2a－b.答案：2a－b8．已知A(－1，2)，B(2，8)．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(CD,\s\up6(→))的坐標為________．解析：eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(3，6)＝(1，2)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)(3，6)＝(－2，－4)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，－2)，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1，2)．答案：(1，2)9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c.(1)求3a＋b－3c；(2)求滿意a＝mb＋nc的實數(shù)m，n的值．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因為mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))10．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3，－1)，點A(－1，－2)．(1)求線段BD的中點M的坐標；(2)若點P(2，y)滿意eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，求λ與y的值．解：(1)設B(x1，y1)，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1，))所以B(3，1)．同理可得D(－4，－3)，設BD的中點M(x2，y2)，則x2＝eq\f(3－4,2)＝－eq\f(1,2)，y2＝eq\f(1－3,2)＝－1.所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).(2)由eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).))[B實力提升]11．對于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定義mn＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝ab，那么向量b等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(4,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(4,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(4,5)))解析：選A.設b＝(x，y)，由新定義及a＋b＝ab，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝eq\f(4,5)，所以向量b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,5))).12．已知A(－3，0)，B(0，2)，O為坐標原點，點C在∠AOB內，|OC|＝2eq\r(2)，且∠AOC＝eq\f(π,4)，設eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ＝______．解析：過C作CE⊥x軸于點E，由∠AOC＝eq\f(π,4)知，|OE|＝|CE|＝2，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)13．在△ABC中，點P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，點Q是AC的中點，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，5)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．解析：eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因為點Q是AC的中點，所以eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(QC,\s\up6(→))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因為eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)14．已知O是△ABC內一點，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，試用a，b表示c.解：如圖，以O為原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線為x軸建立平面直角坐標系．因為|a|＝2，所以a＝(2，0)．設b＝(x1，y1)，所以x1＝|b|·cos150°＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq\f(\r(3),2)，y1＝|b|sin150°＝1×eq\f(1,2