專題 2-7 函數(shù)與方程【8類題型】（原卷版）- 2025年高考數(shù)學(xué)題型追蹤與重難點(diǎn)專題突破（新高考專用）

熱點(diǎn)專題2-7函數(shù)與方程近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2024年天津卷第15題，5分從近幾年高考命題來(lái)看，高考對(duì)函數(shù)與方程也經(jīng)常以不同的方式進(jìn)行考查，比如：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題、位置問(wèn)題、近似解問(wèn)題，以選擇題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的不同位置，且考查得較為靈活（1）理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.（2）理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.（3）了解用二分法求方程的近似解．2024年全國(guó)甲卷，第16題,5分2023年天津卷第15題，5分2021年北京卷第15題，5分模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】求函數(shù)的零點(diǎn)【題型2】求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間【題型3】二分法求近似解【題型4】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)【題型5】利用函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍【題型6】已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【題型7】比較零點(diǎn)的大小【題型8】求零點(diǎn)的和模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】求函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于一般函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值．【要點(diǎn)辨析】（1）函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；（2）函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)．所以方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．3、函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解．函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C．0 D．1【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B．2 C． D．【鞏固練習(xí)2】【鞏固練習(xí)3】已知定義在上的是單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意恒有，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C．9 D．27【題型2】求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的步驟第一步：將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求函數(shù)的值；第二步：將所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷；第三步：若符號(hào)為正切在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個(gè)零點(diǎn)。函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【題型3】二分法求近似解所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.（2024·廣東梅州·二模）用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】一塊電路板的線段之間有個(gè)串聯(lián)的焊接點(diǎn)，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法的思想檢測(cè)出哪處焊口脫落，至少需要檢測(cè)（）A．次 B．次C．次 D．次【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，在利用二分法求函數(shù)近似解的過(guò)程中，第二次求得的區(qū)間中點(diǎn)值為．【鞏固練習(xí)3】（2024·遼寧大連·一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對(duì)于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個(gè)方法，解方程，選取初始值，在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【題型4】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點(diǎn)，令，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．（3）圖象法：=1\*GB3①單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．=2\*GB3②兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．（4）性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【鞏固練習(xí)1】函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【鞏固練習(xí)2】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【鞏固練習(xí)3】（2019·全國(guó)·高考真題）函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型5】利用函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍本類問(wèn)題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)的等量關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而解決.函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（2024·高三·浙江紹興·期末）已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則命題成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（2024·山西陽(yáng)泉·三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】（2024·四川巴中·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（

）A． B．或.C． D．或.【題型6】已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解．求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是求函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因此只要作出函數(shù)圖象即可．如果函數(shù)圖象不易作出，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為的結(jié)構(gòu)，然后轉(zhuǎn)化為與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題．解決步驟第一步：將函數(shù)化為的形式，與一個(gè)含參，一個(gè)不含參．第二步：畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象．第三步：確定滿足題意時(shí)含參函數(shù)的圖象的移動(dòng)范圍，從而求出參數(shù)的取值范圍．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是．【鞏固練習(xí)1】若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)，．若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型7】比較零點(diǎn)的大小利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.（2024·新疆烏魯木齊·二模）設(shè)，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東梅州·二模）三個(gè)函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)2】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)3】設(shè)正實(shí)數(shù)分別滿足，則的大小關(guān)系為（

）A． B．