2018屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)訓(xùn)練題13

題組層級(jí)快練(三十六)1．(2016·衡水調(diào)研卷)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，已知火車上的座位如圖所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是()窗口12過道3窗口678111213………A.48，49 B．62，63C．75，76 D．84，85答案D解析由已知圖中座位的排序規(guī)律可知，被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)靠窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，分析答案中的4組座位號(hào)知，只有D項(xiàng)符合條件．2．如圖所示，是某小朋友在用火柴拼圖時(shí)呈現(xiàn)的圖形，其中第1個(gè)圖形用了3根火柴，第2個(gè)圖形用了9根火柴，第3個(gè)圖形用了18根火柴，……，則第2016個(gè)圖形用的火柴根數(shù)為()A．2014×2017 B．2015×2016C．2015×2017 D．3024×2017答案D解析由題意，第1個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×1；第2個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1＋2)；第3個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1＋2＋3)；……由此，可以推出，第n個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1＋2＋3＋…＋n)．所以第2016個(gè)圖形所需火柴的根數(shù)為3×(1＋2＋3＋…＋2016)＝3×eq\f(2016×（1＋2016）,2)＝3024×2017，故選D.3．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a2016＝()A．3 B．－3C．6 D．－6答案B解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an}是以6為周期的周期數(shù)列．又2016＝6×335＋6，∴a2016＝a6＝－3.選B.4．定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1等于()A．n B．n＋1C．n－1 D．n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.5．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”．②“若a，b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若a，b∈C，則a－b>0?a>b”．③“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d”．其中類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析提示：①③正確．6．(2016·濟(jì)寧模擬)在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體P－ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,64) D.eq\f(1,27)答案D解析正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3，故體積之比為eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).7．已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3)≥4，…，類比有x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N*)，則a＝()A．n B．2nC．n2 D．nn答案D解析第一個(gè)式子是n＝1的情況，此時(shí)a＝1，第二個(gè)式子是n＝2的情況，此時(shí)a＝4，第三個(gè)式子是n＝3的情況，此時(shí)a＝33，歸納可以知道a＝nn.8．已知an＝(eq\f(1,3))n，把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a……記A(s，t)表示第s行的第t個(gè)數(shù)，則A(11，12)＝()A．(eq\f(1,3))67 B．(eq\f(1,3))68C．(eq\f(1,3))111 D．(eq\f(1,3))112答案D解析該三角形所對(duì)應(yīng)元素的個(gè)數(shù)為1，3，5，…，那么第10行的最后一個(gè)數(shù)為a100，第11行的第12個(gè)數(shù)為a112，即A(11，12)＝(eq\f(1,3))112.9．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,ex＋1)，且數(shù)列{an}滿足f(lnan)＝an＋1，a1＝eq\f(1,4)，則a2015＝()A.eq\f(1,2015) B.eq\f(1,2016)C.eq\f(1,2017) D.eq\f(1,2018)答案D解析解法一：由f(lnan)＝an＋1，得eq\f(an,an＋1)＝an＋1，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝1，所以{eq\f(1,an)}是以eq\f(1,a1)＝4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(1,an)＝4＋1×(n－1)＝n＋3，所以an＝eq\f(1,n＋3)，從而a2015＝eq\f(1,2018)，故選D.解法二：由f(lnan)＝an＋1，得eq\f(an,an＋1)＝an＋1，由a1＝eq\f(1,4)，得a2＝eq\f(\f(1,4),\f(1,4)＋1)＝eq\f(1,5)，a3＝eq\f(\f(1,5),\f(1,5)＋1)＝eq\f(1,6)，…，所以可歸納an＝eq\f(1,n＋3)，從而a2015＝eq\f(1,2018)，故選D.10．(2016·西安八校聯(lián)考)觀察一列算式；1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4，2?3，3?2，4?1，…，則式子3?5是第()A．22項(xiàng) B．23項(xiàng)C．24項(xiàng) D．25項(xiàng)答案C解析兩數(shù)和為2的有1個(gè)，和為3的有2個(gè)，和為4的有3個(gè)，和為5的有4個(gè)，和為6的有5個(gè)，和為7的有6個(gè)，前面共有21個(gè)，3?5為和為8的第3項(xiàng)，所以為第24項(xiàng)．故選C.11．(2015·陜西文)觀察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)……據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________．答案1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)解析觀察等式知：第n個(gè)等式的左邊有2n個(gè)數(shù)相加減，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，且分子為1，分母是1到2n的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).故答案為1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).12．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，______，______，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．答案eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)解析對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，在等比數(shù)列{bn}中前n項(xiàng)積為Tn，則T4＝b1b2b3b4，T8＝b1b2…b8，T12＝b1b2…b12，T16＝b1b2…b16，因此eq\f(T8,T4)＝b5b6b7b8，eq\f(T12,T8)＝b9b10b11b12，eq\f(T16,T12)＝b13b14b15b16，而T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)的公比為q16，因此T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．13．設(shè)數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是以q為公比的等比數(shù)列．將數(shù)列{an}的相關(guān)量或關(guān)系式輸入“LHQ型類比器”左端的入口處，經(jīng)過“LHQ型類比器”后從右端的出口處輸出數(shù)列{bn}的相關(guān)量或關(guān)系式，則在右側(cè)的“？”處應(yīng)該是________．答案Bn＝b1×(eq\r(q))n－1解析注意類比的對(duì)應(yīng)關(guān)系：＋→×，÷→開方，×→乘方，0→1，所以Bn＝b1×(eq\r(q))n－1.14．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,t))＝6eq\r(\f(a,t))，(a，t均為正實(shí)數(shù))，類比以上等式，可推測(cè)a，t的值，則a＋t＝________．答案41解析根據(jù)題中所列的前幾項(xiàng)的規(guī)律可知其通項(xiàng)應(yīng)為eq\r(n＋\f(n,n2－1))＝neq\r(\f(n,n2－1))，所以當(dāng)n＝6時(shí)，a＝6，t＝35，a＋t＝41.15．(2016·山東日照階段訓(xùn)練)二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.已知四維空間中“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，猜想其四維測(cè)度W＝________．答案2πr4解析據(jù)歸納猜想可知(2πr4)′＝8πr3，所以四維測(cè)度W＝2πr4.16．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)三角恒等式，并證明你的結(jié)論．答案(1)eq\f(3,4)(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4)解析方法一：(1)選擇②式，計(jì)算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).方法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos（60°－2α）,2)－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)cos2α＋eq\f(\r(3),4)·sin2α－eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(1,4)(1－cos2α)＝1－eq\f(1,4)cos2α－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)cos2α＝eq\f(3,4).1．觀察下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()答案A解析表格中的圖形都是矩形、圓、正三角形的不同排列，規(guī)律是每一行中只有一個(gè)圖形是空心的，其他兩個(gè)都是填充顏色的，第三行中已經(jīng)有正三角形是空心的了，因此另外一個(gè)應(yīng)該是陰影矩形．2．(2014·陜西理)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________．答案F＋V－E＝2解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱錐中6＋6－10＝2；立方體中6＋8－12＝2，由此歸納可得F＋V－E＝2.3．(2016·山東日照模擬)在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4).推廣到空間幾何體中可以得到類似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________．答案eq\f(1,27)解析設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，高為h，四個(gè)面的面積均為S，內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R，則由4×eq\f(1,3)Sr＝eq\f(1,3)Sh，得r＝eq\f(1,4)h＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a.由相似三角形的性質(zhì)可得R＝eq\f(\r(6),4)a，所以eq\f(V1,V2)＝(eq\f(r,R))3＝(eq\f(\f(\r(6),12)a,\f(\r(6),4)a))3＝eq\f(1,27).4．將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，它的側(cè)面和底面分別叫直角三棱錐的“直角面和斜面”，過三棱錐的頂點(diǎn)及斜面任兩邊上的中點(diǎn)的截面均稱為斜面的“中面”．直角三角形具有性質(zhì)：“斜邊的中線長(zhǎng)等斜邊邊長(zhǎng)的一半”，仿照此性質(zhì)寫出直角三棱錐具有的性質(zhì)：________．答案在直角三棱錐中，斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一．解析在直角三棱錐中，斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一．如圖所示，在直角三棱錐A－BCD中，AB⊥AC，A