函數(shù)的極值基礎(chǔ)訓(xùn)練-2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

函數(shù)的極值基礎(chǔ)訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．函數(shù)y＝x3－3x＋4有()．A．極大值6和極小值2B．極大值2和極小值6C．極小值－1和極大值2D．極小值2和極大值82．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()．第2題圖A．無極大值點(diǎn)、有四個極小值點(diǎn)B．有三個極大值點(diǎn)、一個極小值點(diǎn)C．有兩個極大值點(diǎn)、兩個極小值點(diǎn)D．有四個極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)3．函數(shù)f(x)＝xlnx－x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最小值為()．A．－eq\f(1＋ln2,2) B．－1C．0 D．2ln2－24．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x在區(qū)間(m,6－m2)上有最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()．A．(－∞，eq\r(5)) B．(－2，eq\r(5))C．[－2，eq\r(5)) D．[－2,1)二、多項(xiàng)選擇題5．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋2，下列說法正確的有()．A．函數(shù)f(x)的極大值為eq\f(22,3)，極小值為－eq\f(10,3)B．當(dāng)x∈[3,4]時，f(x)的最大值為eq\f(22,3)，最小值為－eq\f(10,3)C．函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[－2,2]D．曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y＝－4x＋26．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋x－1,ex)，則下列說法正確的有()．A．函數(shù)f(x)存在兩個不同的零點(diǎn)B．函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值C．當(dāng)－e<k≤0時，方程f(x)＝k有且只有兩個實(shí)數(shù)根D．若x∈[t，＋∞)時，f(x)max＝eq\f(5,e2)，則t的最小值為2三、填空題7．若函數(shù)f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．8．函數(shù)f(x)＝3lnx＋x－e3lnx＋x＋2的最大值是.9．若lnx－bx＋1≤0對于x∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)b的最小值為.四、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，求f(x)的極值；(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個數(shù)．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3)－eq\f(a＋1,2)x2＋ax＋1(a∈R)．(1)若x＝2是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a<2時，?x1，x2∈[0,2]，|f(x1)－f(x2)|≤eq\f(2,3)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．函數(shù)的極值基礎(chǔ)訓(xùn)練答案一、單項(xiàng)選擇題1．函數(shù)y＝x3－3x＋4有(A)．A．極大值6和極小值2B．極大值2和極小值6C．極小值－1和極大值2D．極小值2和極大值82．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)(C)．第2題圖A．無極大值點(diǎn)、有四個極小值點(diǎn)B．有三個極大值點(diǎn)、一個極小值點(diǎn)C．有兩個極大值點(diǎn)、兩個極小值點(diǎn)D．有四個極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)3．函數(shù)f(x)＝xlnx－x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最小值為(B)．A．－eq\f(1＋ln2,2) B．－1C．0 D．2ln2－24．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x在區(qū)間(m,6－m2)上有最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(D)．A．(－∞，eq\r(5)) B．(－2，eq\r(5))C．[－2，eq\r(5)) D．[－2,1)二、多項(xiàng)選擇題5．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋2，下列說法正確的有(ACD)．A．函數(shù)f(x)的極大值為eq\f(22,3)，極小值為－eq\f(10,3)B．當(dāng)x∈[3,4]時，f(x)的最大值為eq\f(22,3)，最小值為－eq\f(10,3)C．函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[－2,2]D．曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y＝－4x＋26．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋x－1,ex)，則下列說法正確的有(ABC)．A．函數(shù)f(x)存在兩個不同的零點(diǎn)B．函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值C．當(dāng)－e<k≤0時，方程f(x)＝k有且只有兩個實(shí)數(shù)根D．若x∈[t，＋∞)時，f(x)max＝eq\f(5,e2)，則t的最小值為2三、填空題7．若函數(shù)f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2)∪(2，＋∞)．8．函數(shù)f(x)＝3lnx＋x－e3lnx＋x＋2的最大值是－3.9．若lnx－bx＋1≤0對于x∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)b的最小值為1.四、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，求f(x)的極值；(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個數(shù)．(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，f(x)＝lnx－eq\f(1,2)x，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)且f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x)，令f′(x)＝0，得x＝2，于是當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.x(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增ln2－1單調(diào)遞減故f(x)在定義域上的極大值為f(2)＝ln2－1，無極小值．(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)(x＞0)．當(dāng)a≤0時，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)無極值點(diǎn)；當(dāng)a＞0時，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))時，f′(x)＞0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))時，f′(x)＜0，故函數(shù)f(x)在x＝eq\f(1,a)處有極大值．綜上可知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)，當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)有一個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3)－eq\f(a＋1,2)x2＋ax＋1(a∈R)．(1)若x＝2是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a<2時，?x1，x2∈[0,2]，|f(x1)－f(x2)|≤eq\f(2,3)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(1)由題意知f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a，由題意得f′(2)＝4－2(a＋1)＋a＝0，故a＝2.經(jīng)檢驗(yàn)，a＝2滿足題意．(2)由題意知，當(dāng)a<2時，只需x∈[0,2]，f(x)max－f(x)min≤eq\f(2,3).易知f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．①當(dāng)a≤0時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝eq\f(5,6)＋eq\f(a,2)，而f(0)＝1，f(2)＝eq\f(5,3)，故f(x)max＝eq\f(5,3).所以f(x)max－f(x)min＝eq\f(5,3)－eq\f(5,6)－eq\f(a,2)≤eq\f(2,3)，解得a≥eq\f(1,3)(舍去)．②當(dāng)0<a<1時，f(x)在[0，a]上單調(diào)遞增，在[a,1]上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增．因?yàn)閒(2)－f(0)＝eq\f(2,3)，所以只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa≤f2，,f1≥f0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1a2－4a＋4≥0，,a≥\f(1,3)，))所以eq\f(1,3)≤a<1.③當(dāng)a＝1時，f′(x)＝(x－1)2≥0，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，所以f(x)max－f(x)min＝f(2)－f(0)＝eq\f(2,3)，滿足題意．④當(dāng)1<a<2時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a,2]上單調(diào)遞增．因?yàn)閒(2)－f(0)＝eq\f