數(shù)學(xué)物理方程冪級(jí)數(shù)展開省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

函數(shù)有準(zhǔn)確表示和近似表示。準(zhǔn)確表示（解析表示）：表示為初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算近似表示：迫近近似表示為初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算級(jí)數(shù)表示表示為一個(gè)函數(shù)級(jí)數(shù)2/18/2025阜師院數(shù)科院第1頁第三章冪級(jí)數(shù)展開復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；變項(xiàng)級(jí)數(shù)（函數(shù)級(jí)數(shù)）；冪級(jí)數(shù)；冪級(jí)數(shù)對(duì)復(fù)變函數(shù)研究應(yīng)用：泰勒級(jí)數(shù)；洛朗級(jí)數(shù)，函數(shù)奇異性研究。2/18/2025阜師院數(shù)科院第2頁3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是無窮項(xiàng)和1.級(jí)數(shù)收斂和柯西判據(jù)復(fù)無窮級(jí)數(shù)每一項(xiàng)為收斂假如極限存在并有限收斂：2/18/2025阜師院數(shù)科院第3頁充要條件是其實(shí)部與虛部都收斂柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂充要條件是，對(duì)于一小正整數(shù)，必存在一N使得n>N時(shí)有式中p為任意正整數(shù)。2/18/2025阜師院數(shù)科院第4頁2.絕對(duì)收斂收斂。兩個(gè)絕對(duì)收斂和，積，仍絕對(duì)收斂。3.復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)每一項(xiàng)都是復(fù)變函數(shù)。實(shí)際上，對(duì)于z一個(gè)確定值，復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)變成一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。則原級(jí)數(shù)收斂。2/18/2025阜師院數(shù)科院第5頁復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)有一個(gè)定義域B。它收斂概念應(yīng)該是相對(duì)于這個(gè)定義域而言。收斂復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在其定義域B中每一點(diǎn)都收斂，則稱在B中收斂。它滿足柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂充要條件是，對(duì)于一小正整數(shù)，必存在一N(z)

使得n>N(z)時(shí)有2/18/2025阜師院數(shù)科院第6頁一致收斂當(dāng)N與z無關(guān)時(shí)。即對(duì)B中全部點(diǎn)給定，就有一個(gè)統(tǒng)一N使判據(jù)得到滿足。

一致收斂級(jí)數(shù)每一項(xiàng)若為連續(xù)函數(shù)，級(jí)數(shù)也將是連續(xù)函數(shù)。在一條曲線上能夠逐項(xiàng)積分。絕對(duì)一致收斂在區(qū)域B中，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)滿足

而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。即在各點(diǎn)都絕對(duì)收斂2/18/2025阜師院數(shù)科院第7頁給定

收斂，但與z位置相關(guān)。2/18/2025阜師院數(shù)科院第8頁3.2冪級(jí)數(shù)冪函數(shù)復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于各復(fù)常數(shù)級(jí)數(shù)叫以為中心冪級(jí)數(shù)。1.定義(3.2.1)z02/18/2025阜師院數(shù)科院第9頁2.收斂達(dá)朗貝爾判據(jù)研究(3.2.1)模以下級(jí)數(shù)滿足則實(shí)冪級(jí)數(shù)(3.2.2)收斂，且復(fù)冪級(jí)數(shù)(3.2.1)絕對(duì)收斂。(3.2.1)(3.2.2)2/18/2025阜師院數(shù)科院第10頁則實(shí)冪級(jí)數(shù)(3.2.2)收斂，且復(fù)冪級(jí)數(shù)(3.2.1)絕對(duì)收斂。3.收斂圓記有2/18/2025阜師院數(shù)科院第11頁收斂圓R叫收斂半徑，以為圓心，R為半徑圓叫冪級(jí)數(shù)最簡(jiǎn)單收斂區(qū)域。確保冪級(jí)數(shù)在圓內(nèi)點(diǎn)上絕對(duì)收斂，而在圓外可能發(fā)散。圓外仍有區(qū)域是收斂。根值判別法(3.2.2)收斂，(3.2.1)絕對(duì)收斂。(3.2.2)發(fā)散，(3.2.1)發(fā)散。故當(dāng)，(3.2.1)絕對(duì)收斂。當(dāng)，(3.2.1)可能發(fā)散。2/18/2025阜師院數(shù)科院第12頁故例(1)解：收斂半徑:收斂圓內(nèi)部為其實(shí)，對(duì)于2/18/2025阜師院數(shù)科院第13頁(2)但對(duì)于顯然級(jí)數(shù)發(fā)散。解：收斂圓實(shí)際上對(duì)于4.冪級(jí)數(shù)積分表示利用柯西公式在一個(gè)比收斂圓C內(nèi)稍小圓C’中冪級(jí)數(shù)絕對(duì)一致收斂，故可沿這個(gè)圓逐項(xiàng)積分。2/18/2025阜師院數(shù)科院第14頁記C’上點(diǎn)為，而C’內(nèi)任一點(diǎn)為z，則圓上冪級(jí)數(shù)為利用柯西公式得而有界，2/18/2025阜師院數(shù)科院第15頁又乘以冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項(xiàng)求導(dǎo)。還能夠逐項(xiàng)積分。2/18/2025阜師院數(shù)科院第16頁3.3泰勒級(jí)數(shù)展開含有沒有限階導(dǎo)數(shù)實(shí)函數(shù)能夠展開為泰勒級(jí)數(shù)。復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)含有沒有限階導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)可展開為泰勒級(jí)數(shù)。定理設(shè)在以為圓心圓內(nèi)解析，則對(duì)圓內(nèi)任意點(diǎn)，可展開為其中證實(shí)：又2/18/2025阜師院數(shù)科院第17頁#關(guān)鍵在確定，但這不是唯一方法例(1)解：#能直接求導(dǎo)就求導(dǎo)2/18/2025阜師院數(shù)科院第18頁(2)解：#2/18/2025阜師院數(shù)科院第19頁(3)

是多值函數(shù)，各分支在支點(diǎn)相連。但不是支點(diǎn)，在其鄰域各分支相互獨(dú)立。所以，我們能夠只討論展開主值。解：2/18/2025阜師院數(shù)科院第20頁主值#(4)解：定義顯然2/18/2025阜師院數(shù)科院第21頁2/18/2025阜師院數(shù)科院第22頁是主值，此時(shí)有即二項(xiàng)式定理。#方法與實(shí)函數(shù)同，但應(yīng)注意主值。最普通方法，仍是逐層求導(dǎo)。2/18/2025阜師院數(shù)科院第23頁(5)極點(diǎn)在2/18/2025阜師院數(shù)科院第24頁不一樣冪級(jí)數(shù)在不一樣區(qū)域與函數(shù)相同。這里存在什么樣關(guān)系？設(shè)在小圓在大圓。問題在于2/18/2025阜師院數(shù)科院第25頁3.4解析延拓比如和等式兩邊在收斂圓內(nèi)是相同，但在收斂圓外等式不一定成立。注意，等式左邊僅在收斂圓內(nèi)有意義，但等式右邊除t=1（前一個(gè)）或,在整個(gè)復(fù)平面上解析。所以，問：已知，求在之外F(t)。這個(gè)答案是已知2/18/2025阜師院數(shù)科院第26頁

于是提出問題：已知f(z)在b中解析，是否存在F(z)在B中解析，且在b中F(z)=f(z)。這個(gè)過程叫解析延拓。解析延拓方法在b中取點(diǎn)，又取一個(gè)鄰域，j將f(z)展開為泰勒級(jí)數(shù)。假如這個(gè)級(jí)數(shù)收斂圓一部分超出區(qū)域b進(jìn)入?yún)^(qū)域B則此函數(shù)解析區(qū)域得以擴(kuò)大。逐步使用這種方法，能夠逐步將函數(shù)解析延拓。能夠證實(shí)，不論采取何種方法，函數(shù)f(z)解析延拓是唯一。這么，能夠采用一些最方便方法來進(jìn)行解析延拓。2/18/2025阜師院數(shù)科院第27頁在點(diǎn)z0收斂、絕對(duì)收斂。在定義域，收斂、一致收斂、絕對(duì)一致收斂級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)2/18/2025阜師院數(shù)科院第28頁泰勒級(jí)數(shù)解析函數(shù)解析延拓是否能夠?qū)⒁粋€(gè)解析函數(shù)解析區(qū)域擴(kuò)大？在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分可作為被積函數(shù)，被積函數(shù)不一定是解析函數(shù)。2/18/2025阜師院數(shù)科院第29頁3.5洛朗展開泰勒展開必須在函數(shù)解析區(qū)域才可進(jìn)行。在函數(shù)奇點(diǎn)鄰域，是否存在對(duì)應(yīng)展開？(2)

泰勒級(jí)數(shù)解析區(qū)域?yàn)橐皇諗繄A，收斂圓不可包含奇點(diǎn)，但若研究一個(gè)級(jí)數(shù)，它以圓環(huán)作收斂區(qū)域，則奇點(diǎn)能夠取作圓心，它在收斂環(huán)之外。這種級(jí)數(shù)為洛朗級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)是只含有正冪項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，奇點(diǎn)易出現(xiàn)在負(fù)冪項(xiàng)，故考慮有負(fù)冪級(jí)數(shù)1.收斂環(huán)2/18/2025阜師院數(shù)科院第30頁設(shè)其收斂半徑為，則其在圓外部收斂。

故此級(jí)數(shù)在收斂。這個(gè)區(qū)域叫收斂環(huán)。其中正冪部分收斂半徑為。負(fù)冪部分寫作2/18/2025阜師院數(shù)科院第31頁2.定理 設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域內(nèi)部單值解析，則在環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z，f(z)能夠展開為冪級(jí)數(shù)其中證：沿2/18/2025阜師院數(shù)科院第32頁沿兩個(gè)積分回路方向相反，由柯西定理，沿積分可變?yōu)檠胤e分（差一個(gè)負(fù)號(hào)）以下#此為洛朗展開在奇點(diǎn)附近展開2/18/2025阜師院數(shù)科院第33頁3.例(1)在鄰域展開。f(z)無定義。但在挖去原點(diǎn)環(huán)域（整個(gè)復(fù)平面）中又此級(jí)數(shù)又能夠看作f(z)到整個(gè)復(fù)平面解析延拓。利用泰勒展開2/18/2025阜師院數(shù)科院第34頁(2)在環(huán)域中將展開。還是利用泰勒展開f(z)奇點(diǎn)不是Z=0，而是z=1,-1。(3)在鄰域?qū)⒄归_。(z-1)冪級(jí)數(shù)在2/18/2025阜師院數(shù)科院第35頁(4)利用取得無限多負(fù)冪2/18/2025阜師院數(shù)科院第36頁(5)習(xí)題14z冪級(jí)數(shù)A.B.2/18/2025阜師院數(shù)科院第37頁3.6孤立奇點(diǎn)分類孤立奇點(diǎn)f(z)除在小鄰域外處處可導(dǎo)。在挖去小鄰域外解析。其正冪叫解析部分，負(fù)冪叫主要部分。叫留數(shù)C.2/18/2025阜師院數(shù)科院第38頁可去奇點(diǎn)冪級(jí)數(shù)無負(fù)冪項(xiàng)時(shí)極點(diǎn)冪級(jí)數(shù)僅含有限m個(gè)負(fù)冪項(xiàng)時(shí)M為極點(diǎn)階，一階極點(diǎn)稱單極點(diǎn)本性奇點(diǎn)含無窮多負(fù)冪項(xiàng)時(shí)例(1)中

為可去奇點(diǎn)例(3