復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性課件必修

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性課程目標(biāo)理解復(fù)合函數(shù)的定義掌握復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則和求導(dǎo)公式。掌握判斷單調(diào)性的方法能夠判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性并應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。復(fù)合函數(shù)的定義1定義設(shè)f(x)和g(x)是兩個(gè)函數(shù)，若g(x)的定義域內(nèi)存在一個(gè)子集A，使得對(duì)A內(nèi)任意一個(gè)x值，f[g(x)]都有意義，則稱(chēng)f[g(x)]為由g(x)和f(x)復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)合函數(shù)，記作f(g(x))。2理解復(fù)合函數(shù)類(lèi)似于將兩個(gè)函數(shù)“嵌套”在一起，先進(jìn)行內(nèi)層函數(shù)g(x)的運(yùn)算，再將結(jié)果代入外層函數(shù)f(x)中進(jìn)行運(yùn)算。3舉例例如，函數(shù)y=(x+1)^2可以看作是由函數(shù)g(x)=x+1和f(x)=x^2復(fù)合而成，即y=f[g(x)]。復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則復(fù)合函數(shù)的定義：當(dāng)一個(gè)函數(shù)的輸出作為另一個(gè)函數(shù)的輸入時(shí)，就形成了復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則：將內(nèi)層函數(shù)的值代入外層函數(shù)的表達(dá)式中。例如：若f(x)=x^2,g(x)=x+1，則復(fù)合函數(shù)(f○g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式鏈?zhǔn)椒▌t如果y=f(u)且u=g(x)，則y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)為：dy/dx=dy/du*du/dx。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟1.將復(fù)合函數(shù)分解為兩個(gè)函數(shù)。2.分別求兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.將兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘。4.將u替換回原函數(shù)。單調(diào)函數(shù)的概念單調(diào)遞增函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1和x2，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)。單調(diào)遞減函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1和x2，且x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)。判斷單調(diào)性的方法定義法根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，判斷函數(shù)在定義域內(nèi)是否滿(mǎn)足單調(diào)性的條件。導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。圖像法觀(guān)察函數(shù)圖像，若圖像從左到右是上升的，則函數(shù)單調(diào)遞增；若圖像從左到右是下降的，則函數(shù)單調(diào)遞減。單調(diào)遞增函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)如果函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)，對(duì)于任意x12，都有f(x1)2)成立，則稱(chēng)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)。單調(diào)遞減函數(shù)如果函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)，對(duì)于任意x12，都有f(x1)>f(x2)成立，則稱(chēng)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性討論1基本概念首先回顧單調(diào)函數(shù)的概念和判斷方法。2復(fù)合函數(shù)理解復(fù)合函數(shù)的定義和運(yùn)算規(guī)則。3單調(diào)性分析討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與組成函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系。單調(diào)性判斷的步驟1確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的定義域，以確定函數(shù)的定義范圍。2求導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。3確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)對(duì)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式進(jìn)行分析，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即在定義域內(nèi)導(dǎo)數(shù)的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。4判斷單調(diào)性根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，如果導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)單調(diào)遞增；如果導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)單調(diào)遞減。幾種常見(jiàn)的復(fù)合函數(shù)一次函數(shù)例如:\(f(x)=2x+1\)，\(g(x)=x^2\)，則\(f(g(x))=2x^2+1\)二次函數(shù)例如:\(f(x)=x^2+1\)，\(g(x)=\sqrt{x}\)，則\(f(g(x))=x+1\)指數(shù)函數(shù)例如:\(f(x)=2^x\)，\(g(x)=x+1\)，則\(f(g(x))=2^{x+1}\)對(duì)數(shù)函數(shù)例如:\(f(x)=\log_2x\)，\(g(x)=x^2\)，則\(f(g(x))=\log_2x^2\)分段函數(shù)的單調(diào)性討論1分段函數(shù)不同區(qū)間定義不同的函數(shù)表達(dá)式2單調(diào)性函數(shù)值隨自變量變化而變化趨勢(shì)3討論確定各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，再綜合分析常數(shù)函數(shù)的單調(diào)性常數(shù)函數(shù)的圖像是一條水平直線(xiàn)。無(wú)論自變量取任何值，函數(shù)值始終保持不變。常數(shù)函數(shù)既不遞增也不遞減，它是一個(gè)常數(shù)。線(xiàn)性函數(shù)的單調(diào)性正斜率當(dāng)線(xiàn)性函數(shù)的斜率大于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。負(fù)斜率當(dāng)線(xiàn)性函數(shù)的斜率小于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。二次函數(shù)的單調(diào)性1開(kāi)口向上當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)單調(diào)遞減，右側(cè)單調(diào)遞增。2開(kāi)口向下當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)單調(diào)遞增，右側(cè)單調(diào)遞減。反函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性保持反函數(shù)繼承了原函數(shù)的單調(diào)性。遞增/遞減原函數(shù)遞增，則反函數(shù)也遞增；原函數(shù)遞減，則反函數(shù)也遞減。冪函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)y=x^n在R上單調(diào)遞增。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)y=x^n在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,0)上單調(diào)遞減。指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性定義域指數(shù)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，即\(x\inR\).單調(diào)性當(dāng)?shù)讛?shù)\(a>1\)時(shí)，指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)在\(R\)上單調(diào)遞增；當(dāng)?shù)讛?shù)\(0<a<1\)時(shí)，指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)在\(R\)上單調(diào)遞減。對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性底數(shù)大于1對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞增。底數(shù)大于0且小于1對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞減。三角函數(shù)的單調(diào)性1正弦函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)，正弦函數(shù)在[0,π/2]上單調(diào)遞增，在[π/2,π]上單調(diào)遞減。2余弦函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)，余弦函數(shù)在[0,π]上單調(diào)遞減，在[π,2π]上單調(diào)遞增。3正切函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)，正切函數(shù)在(-π/2,π/2)上單調(diào)遞增。復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性討論分段討論將復(fù)雜函數(shù)拆分成多個(gè)子函數(shù)，分別討論每個(gè)子函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的定義域?qū)⒆雍瘮?shù)的單調(diào)性拼接起來(lái)。復(fù)合函數(shù)法如果復(fù)雜函數(shù)是多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的，可以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定法則，通過(guò)分析各子函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷原函數(shù)的單調(diào)性。導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)可以快速高效地判斷函數(shù)的單調(diào)性，如果導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)單調(diào)遞增，反之則單調(diào)遞減。利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性1導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)單調(diào)遞增2導(dǎo)數(shù)為負(fù)函數(shù)單調(diào)遞減3導(dǎo)數(shù)為零函數(shù)可能存在極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性判斷中的作用1確定單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可以準(zhǔn)確地確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2判斷極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，需要進(jìn)一步判斷。3分析函數(shù)圖像導(dǎo)數(shù)可以幫助我們理解函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，繪制更準(zhǔn)確的函數(shù)圖像。單調(diào)性與最值的關(guān)系在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，函數(shù)取得最大值。在單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，函數(shù)取得最小值。單調(diào)性應(yīng)用舉例優(yōu)化問(wèn)題在生產(chǎn)計(jì)劃中，利用函數(shù)的單調(diào)性可以找到生產(chǎn)成本最低的方案。經(jīng)濟(jì)模型利用函數(shù)的單調(diào)性可以分析經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展方向。復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的重要性科學(xué)研究在物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)等領(lǐng)域，許多函數(shù)模型涉及復(fù)合函數(shù)。理解復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以幫助我們分析模型的性質(zhì)，預(yù)測(cè)系統(tǒng)的變化趨勢(shì)。經(jīng)濟(jì)學(xué)在金融市場(chǎng)，股票價(jià)格，利率等數(shù)據(jù)可以用復(fù)合函數(shù)模型來(lái)描述。分析復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以幫助投資者了解市場(chǎng)趨勢(shì)，做出合理的投資決策。計(jì)算機(jī)科學(xué)在算法設(shè)計(jì)，軟件開(kāi)發(fā)中，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以幫助我們優(yōu)化程序性能，提高代碼效率。復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的實(shí)際應(yīng)用優(yōu)化問(wèn)題在優(yōu)化問(wèn)題中，需要找到函數(shù)的最值，而函數(shù)的單調(diào)性可以幫助確定最值點(diǎn)的位置。例如，在生產(chǎn)成本優(yōu)化問(wèn)題中，可以利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)找到最優(yōu)的生產(chǎn)規(guī)模。經(jīng)濟(jì)學(xué)模型許多經(jīng)濟(jì)學(xué)模型都涉及復(fù)合函數(shù)，例如需求函數(shù)、供給函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)。利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以分析這些模型的變化趨勢(shì)，從而預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)行為。物理學(xué)在物理學(xué)中，許多物理量可以用復(fù)合函數(shù)來(lái)表示，例如速度、