5年級下冊第01講-圓與扇形初步

第一講圓與扇形初步------------------------------------------------------------------------------------------圓是宇宙中最簡單的圖形：天上的太陽、月亮、行星和恒星，它們在太空中呈現(xiàn)圓和球形；地上的滾滾車輪，家里的盤子、碗、鐘表也都是圓的．在自然界中，沒有像圓那樣美的圖形了．圓勻稱、飽滿、光滑、對稱，常用來象征吉祥如意，表達(dá)人們的良好愿望：圓滿、圓夢、團(tuán)圓……古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：“一切立體圖形中最美的是球體，一切平面圖形中最美的是圓形”．他們認(rèn)為，圓是神創(chuàng)造出來的最完美的東西．在紙上畫一點(diǎn)O，并在紙上找到所有與O距離為1的點(diǎn)，如A、B、C、D、E、F、G……等．這些點(diǎn)合到一起，就構(gòu)成一個(gè)圓．點(diǎn)O就稱為該圓的圓心；圓心與圓周上任意一點(diǎn)的連線（例如線段OA、OB、OC、OD等）叫半徑；通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫直徑．直徑長恰好是半徑長的兩倍．OOABCDEFGHIOABCDEFGHI圓心半徑O直徑圓心確定了圓所在的位置，半徑長度確定了圓的大?。粋€(gè)圓只要確定了“圓心”和“半徑”，就能完全確定下來．圓周長與直徑的比值是一個(gè)固定不變的數(shù)，我們稱之為圓周率，用希臘字母π表示．很早的時(shí)候，人們就利用滾圓法知道了π大約是3．隨著科學(xué)的進(jìn)步，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道圓周率是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，無法寫成分?jǐn)?shù)的形式．在實(shí)際問題的計(jì)算中，常常取近似值3.14．直徑長度通常用字母d來表示，半徑長度通常用r來表示，圓周長通常用C來表示．于是有圓周長公式：．習(xí)慣上，圓面積用字母S來表示．它的計(jì)算公式為：．這一計(jì)算公式可以通過圓的周長公式推導(dǎo)出來．大家仔細(xì)觀察下圖，想想看應(yīng)該如何推導(dǎo)？練一練下面的題目中，π都取為3.14．已知一個(gè)圓的半徑為3厘米，那么這個(gè)圓的周長為_______厘米；已知一個(gè)圓的周長為50.24厘米，那么這個(gè)圓的直徑為_______厘米；已知一個(gè)圓的半徑為3厘米，那么這個(gè)圓的面積為_______平方厘米；已知一個(gè)圓的面積為78.5平方厘米，那么這個(gè)圓的半徑為_______厘米．扇形是指圓上被兩條半徑和半徑之間的弧所包圍的部分．其中，圓的半徑也稱為扇形的半徑，而兩條半徑所成的夾角稱為扇形的圓心角．扇形是圓的一部分．要想知道扇形的弧長與面積，只要知道它是所在圓的幾分之幾就可以．它是圓的幾分之幾，它的弧長就是圓周長的幾分之幾，它的面積也同樣就是圓面積的幾分之幾．扇形弧長=；扇形面積=．需要注意的是，扇形的弧長不是它的周長，扇形的周長還必須加上兩條半徑！練一練已知一個(gè)扇形的半徑是2厘米，圓心角是45°，那么這個(gè)扇形所在圓的面積是_______平方厘米；扇形的圓心角占圓周角的____分之____，它的面積占圓面積的____分之____，這個(gè)扇形的面積是______．已知一個(gè)扇形的半徑為6厘米，圓心角為120°，那么這個(gè)扇形的弧長為________厘米，周長是_______厘米；面積為_______平方厘米．已知一個(gè)扇形的半徑為4厘米，面積為12.56平方厘米，它的弧長等于_______厘米，周長等于______厘米．-------------------------------------------------------------------------------------------例題1．有一個(gè)圓形花壇，直徑為20米，一只小蜜蜂沿著花壇外周飛了一圈，請問它飛了多少米？如果小蜜蜂沿著圖中的虛線，飛一個(gè)“8”字，路線構(gòu)成過花壇圓心的兩個(gè)小圓，那么這次它飛了多少米？（π取3.14）分析：小圓的直徑是多少？練習(xí)1．半徑分別為1、2、3、4厘米的四個(gè)圓的周長之和是多少厘米？（π取3.14）例題2．O如圖，在一塊面積為28.26平方厘米的圓形鋁板中，裁出了7個(gè)同樣大小的圓鋁板．問：余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？（π取3.14）O分析：大圓的半徑是多少？小圓的半徑又是多少？練習(xí)2．O如圖，在一塊面積為12.56平方厘米的紙板中，裁出了2個(gè)同樣大小的圓紙板．問：余下的紙板的總面積是多少平方厘米？（π取3.14）O------------------------------------------------------------------------------------------一個(gè)規(guī)則的圓或扇形直接利用公式就可以求解，但一個(gè)不規(guī)則圖形就沒那么容易．在求解之前，先得當(dāng)一回“裁縫”，將圖形拆分、重組，然后再利用規(guī)則圖形的相加或相減來進(jìn)行求解．------------------------------------------------------------------------------------------例題3．如圖，圖中的三角形都是等腰直角三角形，求各圖中陰影部分的面積．（π取3.14）4444

分析：經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆指詈鸵苿樱瑘D中不規(guī)則的陰影部分可以拼成規(guī)則的幾何圖形．

練習(xí)3．圖中的4個(gè)圓的圓心恰好是正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，如果每個(gè)圓的半徑都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？（π取3.14）

例題4．如圖是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，AB是直徑．如圖所示，讓A點(diǎn)不動，把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°，此時(shí)B點(diǎn)移動到C點(diǎn)．請問：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（π取3.14）AABAB60C分析：圖（2）中整個(gè)圖形的面積是多少，空白部分的面積又是多少？先列出算式，看看有沒有可以抵消的部分．

練習(xí)4．下圖（1）是一個(gè)半徑為3厘米的半圓，AB是直徑．如圖（2）所示，讓A點(diǎn)不動，把整個(gè)半圓順時(shí)針轉(zhuǎn)30°，此時(shí)B點(diǎn)移動到C點(diǎn)．請問：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（（1）（1）AABB（2）（2）AA3030BBCC小知識圓有很多有意思的性質(zhì)：圓心到圓上的每個(gè)點(diǎn)的距離都相等，這是圓的定義．每條經(jīng)過圓心的直線都把圓平分為兩半，都是圓的對稱軸，因而圓有無數(shù)條對稱軸．圓繞著圓心任意旋轉(zhuǎn)，所得的圖形與原來的圓重合．所有的圓之間都可以通過縮放相互轉(zhuǎn)換，因而圓只有唯一一種形狀，任意兩個(gè)圓都是相似的．所有平面圖形在周長相同的情況下，圓的面積是最大的．因而圓也被稱為平面上最完美的圖形．

例題5．圖中的4個(gè)圓的圓心是正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心．如果每個(gè)圓的半徑都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？分析：圖中的陰影部分雖然很對稱，但并不規(guī)則，無法用公式直接計(jì)算．那能不能通過恰當(dāng)?shù)母钛a(bǔ)將其變?yōu)橐粋€(gè)規(guī)則圖形進(jìn)行求解呢？同學(xué)們不妨動手試一試．------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4例6．右圖是由一個(gè)圓與一個(gè)直角扇形重疊組成的，其中圓的直徑與扇形的半徑都是4．圖中陰影部分的面積是多少？（π取3.14）

分析：陰影部分的兩個(gè)小弓形可以拼到哪里？4

圓的歷史圓形，是一個(gè)看來簡單，實(shí)際上十分奇妙的圖形．古代人最早是從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的．在一萬八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓．到了陶器時(shí)代，許多陶器都是圓的．圓的陶器是將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上制成的．當(dāng)人們開始紡線，又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘．古代人還發(fā)現(xiàn)搬運(yùn)圓的木頭時(shí)滾著走比較省勁．后來他們在搬運(yùn)重物的時(shí)候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當(dāng)然比扛著走省勁得多．約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個(gè)輪子——圓形的木盤．大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子．會作圓，但不一定就懂得圓的性質(zhì)．古代埃及人就認(rèn)為：圓，是神賜給人的神圣圖形．一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468~前376年）才給圓下了一個(gè)定義：圓，一中同長也．意思是說：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長都相等．這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330~前275年）給圓下定義要早100年．任意一個(gè)圓的周長與它直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率，用字母π表示．它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，π=3.1415926535…但在實(shí)際運(yùn)用中一般只取它的近似值，即π≈3.14．如果用C表示圓的周長：C=πd或C=2πr．《周髀算經(jīng)》上說“周三徑一”，把圓周率看成3，但是這只是一個(gè)近似值．美索不達(dá)米亞人在作第一個(gè)輪子的時(shí)候，也只知道圓周率是3．魏晉時(shí)期的劉徽于公元263年給《九章算術(shù)》作注時(shí)，發(fā)現(xiàn)“周三徑一”只是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值．他創(chuàng)立了割圓術(shù)，認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時(shí)，周長就越逼近圓周長．他算到圓內(nèi)接正3072邊形的圓周率，π=3927/1250．劉徽把極限的概念運(yùn)用于解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題之中，這在世界數(shù)學(xué)史上也是一項(xiàng)重大的成就．祖沖之（公元429~500年）在前人的計(jì)算基礎(chǔ)上繼續(xù)推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數(shù)精確值，他還用兩個(gè)分?jǐn)?shù)值來表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率．在歐洲，直到1000年后的十六世紀(jì)，德國人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個(gè)數(shù)值．現(xiàn)在有了電子計(jì)算機(jī)，圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后12400億位了．

面積為78.5平方厘米的圓，周長是多少厘米？（π取3.14）一個(gè)半徑為