高三理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義模塊一第二講數(shù)形結(jié)合思想

第二講數(shù)形結(jié)合思想思想方法詮釋數(shù)形結(jié)合思想：是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維.要點(diǎn)一利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、圖象的交點(diǎn)問題[解析](1)函數(shù)f(x)＝lnx－x－a的零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程lnx－x－a＝0的實根，將方程lnx－x－a＝0化為方程lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，由導(dǎo)數(shù)知識可知，直線y2＝x＋a與曲線y1＝lnx相切時有a＝－1，如圖所示，若關(guān)于x的方程lnx－x－a＝0有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)．故選B.(2)方程eq\f(1,x＋2)＝a|x|有三個不同的實數(shù)解等價于函數(shù)y＝eq\f(1,x＋2)與y＝a|x|的圖象有三個不同的交點(diǎn)．在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝eq\f(1,x＋2)與y＝a|x|的圖象，如圖所示，由圖易知，a>0.當(dāng)－2<x<0時，設(shè)函數(shù)y＝a|x|＝－ax的圖象與函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x＋2)的圖象相切于點(diǎn)(x0，y0)，因為f′(x0)＝－eq\f(1,x0＋22)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－ax0，,y0＝\f(1,x0＋2)，,\f(1,x0＋22)＝a，))解得a＝1，所以實數(shù)a的取值范圍為(1，＋∞)，故選C.[答案](1)B(2)C利用數(shù)形結(jié)合求方程解、函數(shù)零點(diǎn)問題的2個注意點(diǎn)(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性，否則會得到錯解．(2)正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合．[對點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2017·大連模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________．[解析]作出f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x>m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個不同的根，則有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.[答案](3，＋∞)2．設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________．[解析]如圖所示，由題意可知M在直線y＝1上運(yùn)動，設(shè)直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點(diǎn)P(0,1)．當(dāng)x0＝0即點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時，顯然圓上存在點(diǎn)N(±1,0)符合要求；當(dāng)x0≠0時，過M作圓的切線，切點(diǎn)之一為點(diǎn)P，此時對于圓上任意一點(diǎn)N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特別地，當(dāng)∠OMP＝45°時，有x0＝±1.結(jié)合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1，1]．[答案][－1,1]要點(diǎn)二利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題[解析](1)作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0))對應(yīng)的可行域，如圖中陰影部分所示．易求得可行域的頂點(diǎn)A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，平移直線y＝－2x＋z，當(dāng)直線y＝－2x＋z過點(diǎn)B(－6，－3)時，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，選擇A.(2)根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m，因為∠APB＝90°，連接OP，易知|OP|＝eq\f(1,2)|AB|＝m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離．因為|OC|＝eq\r(32＋42)＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值為6，故選B.[答案](1)A(2)B利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題的3點(diǎn)思路(1)對于幾何圖形中的動態(tài)問題，應(yīng)分析各個變量的變化過程，找出其中的相互關(guān)系求解．(2)對于求最大值、最小值問題，先分析所涉及知識，然后畫出相應(yīng)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．(3)如果(不)等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解．[對點(diǎn)訓(xùn)練]3．(2017·石家莊市高三二檢)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤0，,x－y≤0，,x2＋y2≤r2))(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)的最小值為()A．－1B．－eq\f(5\r(2)＋1,7)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(7,5)[解析]作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由題意，知eq\f(1,4)πr2＝π，解得r＝2.z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)＝1＋eq\f(y－2,x＋3)，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(－3,2)連線的斜率加上1，由圖知當(dāng)可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P的連線與圓相切時斜率最?。O(shè)切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，則有eq\f(|3k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(12,5)或k＝0(舍去)，所以zmin＝1－eq\f(12,5)＝－eq\f(7,5).故選D.[答案]D4．(2017·武漢二模)已知拋物線的方程為x2＝8y，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(－2,4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使△APF的周長最小，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．[解析]因為(－2)2<8×4，所以點(diǎn)A(－2,4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部，如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，連接AQ，由拋物線的定義可知△APF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)P，B，A三點(diǎn)共線時，△APF的周長取得最小值，即|AB|＋|AF|.因為A(－2,4)，所以不妨設(shè)△APF的周長最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq\f(1,2)，故使△APF的周長最小的拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))，故填eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))要點(diǎn)三利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式、參數(shù)問題[解析](1)曲線方程可轉(zhuǎn)化為(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圓心為(2,3)，半徑為2的下半圓，如圖，依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線y＝x＋b與此半圓相切時，圓心(2,3)到直線y＝x＋b的距離等于2，∴eq\f(|2－3＋b|,\r(2))＝2，解得b＝1＋2eq\r(2)或b＝1－2eq\r(2)，因為是下半圓，所以b＝1－2eq\r(2)；當(dāng)直線過(0,3)時，可得b＝3，所以1－2eq\r(2)≤b≤3.故選C.(2)對任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，即f(x)max≤|k－1|.因為f(x)的草圖如圖所示，觀察f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≤1，,logeq\s\do8(\f(1,3))x，x>1))的圖象可知，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時，函數(shù)f(x)max＝eq\f(1,4)，所以|k－1|≥eq\f(1,4)，解得k≤eq\f(3,4)或k≥eq\f(5,4).[答案](1)Ceq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式或求參數(shù)范圍問題的技巧求參數(shù)范圍或解不等式問題時經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決問題，往往可以避免繁瑣的運(yùn)算，獲得簡捷的解答．[對點(diǎn)訓(xùn)練]5．(2017·河南鄭州月考)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范圍是()A．(－1,0)B．[－1,0)C．(－2,0)D．[－2,0)[解析]在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象，知滿足條件的x∈(－1,0)．[答案]A6．(2017·濟(jì)南一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x≤0，,sinπx，x>0，))若f(x)－ax≥－1，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]依題意得f(x)≥ax－1.在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝f(x)與y＝ax－1(該直線過定點(diǎn)(0，－1)、斜率為a)的圖象，如圖所示．設(shè)直線y＝ax－1與曲線y＝x2－4x(x≤0)相切于點(diǎn)(x0，y0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2x0－4，x0≤0，,x\o\al(2,0)－4x0＝ax0－1，))解得x0＝－1，a＝－6.結(jié)合圖形可知，實數(shù)a的取值范圍是[－6,0]．[答案][－6,0]—————————————————————運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題的三原則1．等價性原則在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)