16函數(shù)y=Asin（ωxφ）的性質(zhì)與圖象課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第1章三角函數(shù)1.了解函數(shù)的圖象；2.掌握函數(shù)的性質(zhì)；3.會(huì)利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決三角函數(shù)問(wèn)題.

情境：筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).你能用一個(gè)合適的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)盛水筒（視為質(zhì)點(diǎn)）距離水面的相對(duì)高度與時(shí)間的關(guān)系嗎？因筒車(chē)上盛水筒的運(yùn)動(dòng)具有周期性，可以考慮利用三角函數(shù)模型刻畫(huà)它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.如圖，將筒車(chē)抽象為一個(gè)幾何圖形，設(shè)經(jīng)過(guò)ts后，盛水筒M從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P.由筒車(chē)的工作原理可知，這個(gè)盛水筒距離水面的高度H，由以下量所決定：筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h，筒車(chē)的半徑r，筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω，盛水筒的初始位置以及所經(jīng)過(guò)的時(shí)間t.下面我們分析這些量的相互關(guān)系，進(jìn)而建立盛水筒

M運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型.如圖，以

O為原點(diǎn)，以與水平面平行的直線為

x軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)

t=0時(shí)，盛水筒

M位于點(diǎn)

P0，以

Ox為始邊，OP為終邊的角為

φ，經(jīng)過(guò)

ts后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

P(x,y).于是，以

Ox為始邊，OP為終邊的角為

ωx+φ，并且有y=rsin(ωx+φ).所以，盛水筒

M距離水面的高度

H與時(shí)間

t的關(guān)系是H=rsin(ωx+φ)+h.一.探索ω對(duì)y=sin(ωx+φ)的圖象的影響（1）作圖：當(dāng)時(shí)，得到的圖象.取A=1，，當(dāng)時(shí)，得到的圖象.（2）探究：一般地，函數(shù)y=sin(ωx+φ)的周期是，把y=sin(x+φ)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω>1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)0<ω<1時(shí)）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)的圖象.二.探索φ對(duì)y=sin(x+φ)的圖象的影響取A=1，，當(dāng)起點(diǎn)位于

時(shí)，

，可得函數(shù)

的圖象；---11-當(dāng)起點(diǎn)位于

時(shí)，

，可得函數(shù)

的圖象.

根據(jù)上面的研究，歸納出對(duì)函數(shù)

圖象影響的一般化結(jié)論.

一般地，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M的起點(diǎn)位置Q所對(duì)應(yīng)的角為φ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y=sin(x+φ)(φ≠0)，把正弦曲線上的所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ>0時(shí)）或向右（當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象.問(wèn)題:如果

取

對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如何變化呢？三.探索

A對(duì)

y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響當(dāng)參數(shù)A變化時(shí)，對(duì)函數(shù)

圖象有什么影響？根據(jù)上面的研究，歸納出A(A>0)對(duì)函數(shù)圖象影響的一般化結(jié)論.一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A>1時(shí)）或縮短（當(dāng)0<A<1時(shí)）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到.從而，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A，A]，最大值是A，最小值是-A.縱坐標(biāo)不變1-１2-2xoy3-32

y=sinx

y=sin(x-)①②③

一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象，可以用下面的方法得到：

①先畫(huà)出函數(shù)y=sinx的圖象；②再把正弦曲線向左（或右）平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象；③然后把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象；④最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變），這時(shí)的曲線就是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.（畫(huà)法二）利用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)

在一個(gè)周期（T=6π）內(nèi)的圖像：

xyO2-2CBCDA.B.C.D.CA.B.C.D.1.ω

對(duì)y=sin(ωx+φ)的圖象的影響.一般地，函數(shù)y=sin(ωx+φ)的周期是，把y=sin(x+φ)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω>1時(shí))或伸長(zhǎng)(當(dāng)0<ω<1時(shí))到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)的圖象.2.

φ對(duì)y=sin(x+φ)的圖象的影響.函數(shù)y=sin(x+φ)(φ≠0)，把正弦曲線上的所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ>0時(shí)）或向右（當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象.3.A對(duì)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響.一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，可以看作是把y=