2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.5.2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃學(xué)案新人教B版必修5

PAGE1-3.5.2簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解線性規(guī)劃的意義，能依據(jù)線性約束條件建立目標(biāo)函數(shù)．(重點(diǎn))2．理解并初步運(yùn)用線性規(guī)劃的圖解法解決一些實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．理解目標(biāo)函數(shù)的最大、最小值與其對(duì)應(yīng)直線的截距的關(guān)系．(易混點(diǎn))1.通過(guò)線性規(guī)劃中的基本概念的學(xué)習(xí)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過(guò)目標(biāo)函數(shù)最值的探討，培育學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．3．借助線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).1．線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式組線性約束條件由x，y的一次不等式(或等式)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x，y的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿意線性約束條件的解(x，y)可行域全部可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題2．線性目標(biāo)函數(shù)的最值線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)對(duì)應(yīng)的斜截式直線方程是y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，它表示斜率為－eq\f(a,b)，在y軸上的截距是eq\f(z,b)的一條直線，當(dāng)z改變時(shí)，方程表示一組相互平行的直線．當(dāng)b>0，截距最大時(shí)，z取得最大值，截距最小時(shí)，z取得最小值；當(dāng)b<0，截距最大時(shí)，z取得最小值，截距最小時(shí)，z取得最大值．1．已知變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0，))則z＝x＋2y的最小值為()A．3 B．1C．－5 D．－6C[由約束條件作出可行域如圖：由z＝x＋2y得y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)，eq\f(z,2)的幾何意義為直線在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)過(guò)直線x＝－1和x－y＝1的交點(diǎn)A(－1，－2)時(shí)，z最小，最小值為－5，故選C．]2．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1，))則z＝x－y的最大值為________．1[依據(jù)題意作出不等式組所表示的可行域如圖陰影部分所示．令z＝0，作直線l：y－x＝0.當(dāng)直線l向下平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的z＝x－y的函數(shù)值隨之增大，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)M時(shí)，z＝x－y取得最大值．頂點(diǎn)M是直線x＋y＝1與直線y＝0的交點(diǎn)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝0，))得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.]3．某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件．已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為________元．2300[設(shè)需租賃甲種設(shè)備x臺(tái)，乙種設(shè)備y臺(tái)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≥50，,10x＋20y≥140，,x∈N，,y∈N.))目標(biāo)函數(shù)為z＝200x＋300y.作出其可行域(圖略)，易知當(dāng)x＝4，y＝5時(shí)，z＝200x＋300y有最小值2300元．]線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題【例1】若實(shí)數(shù)x，y滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－3≥0，,2x－y－3≤0，,x－my＋1≥0，))且x＋y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m＝()A．－2 B．－1C．1 D．2[思路探究]解決線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題一般用圖解法．因此要求作圖要精確、規(guī)范，且要弄清晰函數(shù)值與直線截距的內(nèi)在聯(lián)系．對(duì)于已知最值求參數(shù)這一逆向問(wèn)題也同正向處理方式類似，須要自己先表示出目標(biāo)函數(shù)的最值，再與已知供應(yīng)的最值進(jìn)行對(duì)應(yīng)．C[作出可行域如圖中陰影部分所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－my＋1＝0，,2x－y－3＝0，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋3m,－1＋2m)，\f(5,－1＋2m)))，平移y＝－x，當(dāng)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，x＋y取得最大值，即eq\f(1＋3m,－1＋2m)＋eq\f(5,－1＋2m)＝9，解得m＝1.]1．解二元線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟(1)畫：在直角坐標(biāo)平面上畫出可行域和直線ax＋by＝0(目標(biāo)函數(shù)為z＝ax＋by)；(2)移：平行移動(dòng)直線ax＋by＝0，確定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的點(diǎn)；(3)求：求出取得最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)(解方程組)及最大值和最小值；(4)答：給出正確答案．2．一般地，對(duì)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by，若b>0，則縱截距與z同號(hào)，因此，縱截距最大時(shí)，z也最大；若b<0，則縱截距與z異號(hào)，因此，縱截距最大時(shí)，z反而最小．1．已知x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋3y≤15，,y≤x＋1，,x－5y≤3.))求z＝3x＋5y的最大值和最小值．[解]由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋3y≤15，,y≤x＋1，,x－5y≤3))作出可行域，如圖所示．∵目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋5y，∴作直線l：3x＋5y＝0.平移直線l，在可行域內(nèi)以經(jīng)過(guò)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)))的直線l1所對(duì)應(yīng)的z最大．類似地，在可行域內(nèi)，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(－2，－1)的直線l2所對(duì)應(yīng)的z最?。鄗max＝3×eq\f(3,2)＋5×eq\f(5,2)＝17，zmin＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11.非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題【例2】已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝eq\f(2y＋1,x＋1)的取值范圍．[解](1)作出可行域如圖所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．z＝x2＋(y－5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M(0,5)的距離的平方，過(guò)M作AC的垂線，易知垂足在AC上，故|MN|＝eq\f(|0－5＋2|,\r(1＋－12))＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).∴|MN|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2＝eq\f(9,2)，∴z的最小值為eq\f(9,2).(2)z＝2·eq\f(y－－\f(1,2),x－－1)表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))連線斜率的2倍，∵kQA＝eq\f(7,4)，kQB＝eq\f(3,8)，∴z的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,2))).1．利用線性規(guī)劃求最值，關(guān)鍵是理解線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，從本題的求解過(guò)程可以看出，最優(yōu)解一般在可行域的邊界上，并且通常在可行域的頂點(diǎn)處取得，所以作圖時(shí)要力求精確．2．非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求解策略(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)距離的平方，特殊地，z＝x2＋y2型的目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方．(2)z＝eq\f(y－b,x－a)型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率．(3)z＝|Ax＋By＋C|可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的eq\r(A2＋B2)倍．2．假如點(diǎn)P在平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x＋y－2≤0，,2y－1≥0))上，點(diǎn)Q在曲線x2＋(y＋2)2＝1上，求|PQ|的最小值．[解]畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x＋y－2≤0，,2y－1≥0))所表示的平面區(qū)域，x2＋(y＋2)2＝1所表示的曲線為以(0，－2)為圓心，1為半徑的一個(gè)圓．如圖所示，只有當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，點(diǎn)Q在點(diǎn)B(0，－1)時(shí)，|PQ|取得最小值為eq\f(3,2).利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題[探究問(wèn)題]某公司有60萬(wàn)元資金，安排投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)項(xiàng)目乙投資的eq\f(2,3)倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬(wàn)元．1．設(shè)投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目的資金分別為x，y萬(wàn)元，那么x，y應(yīng)滿意什么條件？[提示]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤60，,x≥\f(2,3)y，,x≥5，,y≥5.))2．若公司對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬(wàn)元可獲得0.4萬(wàn)元的利潤(rùn)，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬(wàn)元可獲得0.6萬(wàn)元的利潤(rùn)，設(shè)該公司所獲利潤(rùn)為z萬(wàn)元，那么z與x，y有何關(guān)系？[提示]依據(jù)公司所獲利潤(rùn)＝投資項(xiàng)目甲獲得的利潤(rùn)＋投資項(xiàng)目乙獲得的利潤(rùn)，可得z與x，y的關(guān)系為z＝0.4x＋0.6y.3．x，y應(yīng)在什么條件下取值，x，y取值對(duì)利潤(rùn)z有無(wú)影響？[提示]x，y必需在線性約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤60，,x≥\f(2,3)y，,x≥5，,y≥5))下取值．x，y取不同的值，干脆影響z的取值．【例3】某運(yùn)輸公司有7輛載重量為6t的A型卡車與4輛載重量為10t的B型卡車，有9名駕駛員，在建筑某高速馬路中，該公司承包了每天至少搬運(yùn)360t土的任務(wù)．已知每輛來(lái)回的次數(shù)為：A型卡車8次，B型卡車6次；每輛卡車每天來(lái)回的成本費(fèi)用狀況：A型卡車160元，B型卡車252元．試問(wèn)，A型卡車與B型卡車每天各出動(dòng)多少輛時(shí)公司的成本費(fèi)用最低？[思路探究]首先列出線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題．因?yàn)樯婕霸搯?wèn)題中卡車的數(shù)量均為整數(shù)，因此用“網(wǎng)格法”探求出可行域中的全部整點(diǎn)，再尋求最優(yōu)解．[解]設(shè)每天出動(dòng)的A型卡車數(shù)為x，則0≤x≤7；每天出動(dòng)的B型卡車數(shù)為y，則0≤y≤4.因?yàn)槊刻斐鲕嚨鸟{駛員最多9名，則x＋y≤9，每天要完成的搬運(yùn)任務(wù)為48x＋60y≥360，每天公司所花成本費(fèi)用為z＝160x＋252y.本題即求滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤7，,0≤y≤4，,x＋y≤9，,48x＋60y≥360，))且使z＝160x＋252y取得最小值的非負(fù)整數(shù)x與y的值．不等式組表示的平面區(qū)域即可行域如圖所示，其可行域?yàn)樗倪呅蜛BCD區(qū)域(含邊界線段)，它的頂點(diǎn)是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(2,5)))，C(7,2)，D(5,4)．結(jié)合圖形可知，在四邊形區(qū)域上，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是非負(fù)整數(shù)的點(diǎn)只有P1(3,4)，P2(4,4)，P3(4,3)，P4(5,2)，P5(5,3)，D(5,4)，P6(6,2)，P7(6,3)，P8(7,1)，C(7,2)10個(gè)點(diǎn)．作直線l：160x＋252y＝0.使l向上方平行移動(dòng)，可發(fā)覺(jué)它與上述的10個(gè)點(diǎn)最先接觸到的點(diǎn)是P4(5,2)，得到的z的值最小，zmin＝160×5＋252×2＝1304.即當(dāng)公司每天出動(dòng)A型卡車5輛，B型卡車2輛時(shí)，公司的成本費(fèi)用最低．解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：(1)審題——細(xì)致閱讀，對(duì)關(guān)鍵部分進(jìn)行“精讀”，精確理解題意，明確有哪些限制條件，起關(guān)鍵作用的變量有哪些．由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的變量比較多，為了理順題目中量與量之間的關(guān)系，有時(shí)可借助表格來(lái)理順．(2)轉(zhuǎn)化——設(shè)元．寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問(wèn)題．(3)求解——解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問(wèn)題．(4)作答——就應(yīng)用題提出的問(wèn)題作出回答．3．某公司安排2024年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300min的廣告，廣告費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/min和200元/min.已知甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元，問(wèn)該公司如何安排在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬(wàn)元？[解]設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為xmin和ymin，總收益為z元．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤300，,500x＋200y≤90000，,x≥0，,y≥0，))目標(biāo)函數(shù)z＝3000x＋2000y.二元一次不等式組等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤300，,5x＋2y≤900，,x≥0，,y≥0，))作出可行域如圖陰影部分所示，當(dāng)直線z＝3000x＋2000y過(guò)點(diǎn)M時(shí)，z最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝300，,5x＋2y＝900))得M(100,200)．所以zmax＝3000×100＋2000×200＝700000(元)＝70(萬(wàn)元)．所以該公司在甲電視臺(tái)做100min廣告，在乙電視臺(tái)做200min廣告，公司收益最大，最大值為70萬(wàn)元．1．本節(jié)課的重點(diǎn)是求線性目標(biāo)函數(shù)的最值及已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)問(wèn)題．難點(diǎn)是非線性目標(biāo)函數(shù)最值的求法及已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)問(wèn)題．2．本節(jié)課要重點(diǎn)駕馭的規(guī)律方法：(1)用圖解法解決線性或非線性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟：①在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域．②考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．③確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解．④求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值．(2)逆用目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)．3．在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，有些最優(yōu)解往往須要整數(shù)解(比如人數(shù)、車輛數(shù)等)，而干脆依據(jù)約束條件得到的不肯定是整數(shù)解，可以運(yùn)用枚舉法驗(yàn)證求最優(yōu)整數(shù)解，或者運(yùn)用平移直線求最優(yōu)整數(shù)解．最優(yōu)整數(shù)解有時(shí)并非只有一個(gè)，應(yīng)詳細(xì)狀況詳細(xì)分析．1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)可行域是一個(gè)封閉的區(qū)域．()(2)在線性約束條件下，最優(yōu)解是唯一的．()(3)最優(yōu)解肯定是可行解，但可行解不肯定是最優(yōu)解．()(4)線性規(guī)劃問(wèn)題肯定存在最優(yōu)解．()[解析](1)×.可行域是約束條件表示的平面區(qū)域，不肯定是封閉的．(2)×.在線性約束條件下，最優(yōu)解可能有一個(gè)或多個(gè)，也可能有多數(shù)個(gè)，也可能無(wú)最優(yōu)解，故該說(shuō)法錯(cuò)誤．(3)√.滿意線性約束條件的解稱為可行解，但不肯定是最優(yōu)解，只有使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，才是最優(yōu)解，所以最優(yōu)解肯定是可行解．(4)×.線性規(guī)劃問(wèn)題不肯定存在可行解，存在可行解也不肯定存在最優(yōu)解，故該說(shuō)法是錯(cuò)誤的．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．設(shè)變量x，y滿意約束條