第10～16屆全國(guó)華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題詳細(xì)解釋答案

第十屆全國(guó)"華羅庚金杯"少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題一、填空（每題10分，共80分）1．下表中每一列為同一年在不同歷法中的年號(hào)，請(qǐng)完成下表：公元?dú)v200519851910希伯萊歷5746伊斯蘭歷1332印度歷1927第1小題：公元?dú)v200519851910希伯萊歷576657465671伊斯蘭歷142714071332印度歷1927190718322．計(jì)算：①18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13=();②=()。答案：10.695；13.計(jì)算機(jī)中最小的存儲(chǔ)單位稱為“位”，每個(gè)“位”有兩種狀態(tài)：0和1。一個(gè)字節(jié)由8個(gè)“位”組成，記為B。常用KB，MB等記存儲(chǔ)空間的大小，其中1KB=1024B，1MB=1024KB。現(xiàn)將240MB的教育軟件從網(wǎng)上下載，已經(jīng)下載了70%。如果當(dāng)前的下載速度為每秒72KB，則下載完畢還需要（）分鐘。（精確到分鐘）答案：174．a(chǎn)，b和c都是二位的自然數(shù)，a，b的個(gè)位分別是7與5，c的十位是1。如果它們滿足等式ab+c=2005，則a+b+c=()。答案：1025.一個(gè)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)都有三條棱以其為端點(diǎn)，沿這三條棱的三個(gè)中點(diǎn)，從這個(gè)正方體切下一個(gè)角，這樣一共切下八個(gè)角，則余下部分的體積（圖1中的陰影部分）和正方體體積的比是（）。答案：6．某種長(zhǎng)方體形的集裝箱，它的長(zhǎng)寬高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆噴涂它的表面，每平方米的費(fèi)用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的費(fèi)用降低為0.4元，一個(gè)集裝箱可以節(jié)省6.5元，則集裝箱總的表面積是（）平方米，體積是（）立方米。答案：13：37．一列自然數(shù)0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一個(gè)數(shù)是0，從第二個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)都比它前一個(gè)大1，最后一個(gè)是2024?，F(xiàn)在將這列自然數(shù)排成以下數(shù)表：03815…12714…45613…9101112………………規(guī)定橫排為行，豎排為列，則2005在數(shù)表中位于第（）行和第（）列。答案：20；458．圖2中，ABCD是長(zhǎng)方形，E，F(xiàn)分別是AB，DA的中點(diǎn)，G是BF和DE的交點(diǎn)，四邊形BCDG的面積是40平方厘米，那么ABCD的面積是（）平方厘米。

圖2答案：60二、解答下列各題，要求寫出簡(jiǎn)要過程（每題10分，共40分）9．圖3是由風(fēng)箏形和鏢形兩種不同的磚鋪設(shè)而成。請(qǐng)仔細(xì)觀察這個(gè)美麗的圖案，并且回答風(fēng)箏形磚的四個(gè)內(nèi)角各是多少度？9．解：如圖案所示，，5個(gè)風(fēng)箏形拼成一個(gè)正10邊形，所以，=（10-2）×180÷10=8×18=144度，5=360（度），=72（度）。風(fēng)箏形是個(gè)四邊形，內(nèi)角和是360度，并且（證明省略），所以，=（360-144-72）÷2=72（度）。答：在風(fēng)箏形中，有一個(gè)是鈍角，是144度，其它三個(gè)角都是72度?！菊f明】在正式出版試題解答時(shí)將給出本題，5個(gè)風(fēng)箏形拼成的圖形是一個(gè)正10邊形的嚴(yán)格的證明。【評(píng)分參考】角度正確，6分；理由正確，4分。10．有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10個(gè)自然數(shù)，①?gòu)倪@10個(gè)數(shù)中選出7個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)中的任何3個(gè)數(shù)都不會(huì)兩兩互質(zhì)；②說明從這10個(gè)數(shù)中最多可以選出多少個(gè)數(shù)，這些數(shù)兩兩互質(zhì)。10．解答：①這7個(gè)數(shù)是2，3，4，6，8，9，10；②將這10個(gè)自然數(shù)分為三組：偶數(shù)2，4，6，8，10為第一組；3，9為第二組；5，7，11為第三組。顯然，第一和第二組每組至多只能選出1個(gè)數(shù)，第三組的3個(gè)自然數(shù)兩兩互質(zhì)，最多能選3個(gè)。例如：2、3、5、7、11就兩兩互質(zhì)。所以從2、3、4、5、6、7、8、9、10和11最多可以選出5個(gè)數(shù)，這5個(gè)自然數(shù)兩兩互質(zhì)?！驹u(píng)分參考】①正確，給4分；②答案5正確，給4分，理由陳述正確，給2分。11．一個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度是3、4、5，如果分別以各邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到三個(gè)立體。求這三個(gè)立體中最大的體積和最小的體積的比。11．解：①以長(zhǎng)為3的直角邊分為軸旋轉(zhuǎn)得到的是一個(gè)圓錐，體積；②以長(zhǎng)為4的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體也是圓錐，體積；③以長(zhǎng)為5的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的立體是由兩個(gè)圓錐底面上下疊合在一起組成的紡錐體。設(shè)兩個(gè)圓錐的高為,則有,設(shè)底面的半徑是h，它是直角三角形斜邊上的高，由直角三角形面積公式：，④再由圓錐的體積公式計(jì)算紡錐體的體積應(yīng)當(dāng)是：⑤既然∶。答：最大的體積和最小的體積的比是?！驹u(píng)分參考】每步2分。12．A碼頭在B碼頭的上游，“2005號(hào)”遙控艦?zāi)腁碼頭出發(fā)，在兩個(gè)碼頭之間往返航行。已知艦?zāi)Ｔ陟o水中的速度是每分鐘200米，水流的速度是每分鐘40米。出發(fā)20分鐘后，艦?zāi)Ｎ挥贏碼頭下游960米處，并向B碼頭行駛。求A碼頭和B碼頭之間的距離。12．解：①艦?zāi)腁碼頭順流而下960米，航行時(shí)間=分，20-4=16（分）。因此，艦?zāi)３霭l(fā)后第16分鐘又回到A碼頭。②既然艦?zāi)３霭l(fā)后第16分鐘又回到A碼頭，所以，在這16分鐘中，艦?zāi)ｍ樍餍旭偟穆烦膛c逆流行駛的路程相同。設(shè)在16分鐘中，艦?zāi)ｍ樍骱叫械臅r(shí)間為t,逆流航行的時(shí)間16-t，順流航行的速度是200+40=240米/分，逆流航行的速度是200-40=160米/分，應(yīng)當(dāng)有：240×t=160×(16-t),t=6.4(分)。③因此，出發(fā)20分鐘后艦?zāi)５目偟暮匠淌牵?.4×240+(16-6.4)×160+960=4032(米)④設(shè)兩個(gè)碼頭的距離是L米，則有，4032=2ml+960,m是整數(shù)，由于，L>960。所以，1≤，即m=1,L=1536米。答：兩個(gè)碼頭的距離是1536米?！驹u(píng)分參考】①能計(jì)算出艦?zāi)３霭l(fā)后第16分鐘又回到A碼頭，2分；②計(jì)算出順流航行的時(shí)間，4分；③計(jì)算出艦?zāi)？偟暮匠蹋?分；④計(jì)算出兩個(gè)碼頭的距離，2分。三、解答下列各題，要求寫出詳細(xì)過程（每題15分，共30分）13．已知等式其中A，B是非零自然數(shù)，求A+B的最大值。13．解：設(shè)A=ka,B=kb,(a,b)=1,即有，因?yàn)椋╝,b）=1,所以有（a+b,b）=1和（a,a+b）=1,只能有a+b整除k。設(shè)k=m×(a+b)，則有因?yàn)樯鲜揭馕吨鴐,a,b必須是15的約數(shù)。考慮到交換a和b的取值，不改變A+B的值。所以m,a,b可能的取值和A+B的值是：m113515a31111b515531A+B642561088060答：A+B的最大值是256?！驹u(píng)分參考】答案正確，6分，推理正確，即能列出A+B的5種取值，給9分。14．兩條直線相交，四個(gè)交角中的一個(gè)銳角或一個(gè)直角稱為這兩條直線的“夾角”（見圖4）。如果在平面上畫L條直線，要求它們兩兩相交，并且“夾角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，問：（1）L的最大值是多少？（2）當(dāng)L取最大值時(shí)，問所有的“夾角”的和是多少？14．解答：◆固定平面上一條直線,其它直線與此條固定直線的交角自這條固定直線起逆時(shí)針計(jì)算,只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一種角度之一，所以，平面上最多有12條直線。否則，必有兩條直線平行?！羧缬蚁聢D，將所有直線做平行移動(dòng)，使它們交于同一個(gè)點(diǎn)，這樣的平行移動(dòng)顯然不改變兩條直線的“夾角”。無(wú)妨設(shè)其中一條直線水平，從水平直線開始，逆時(shí)針將12條直線分別記為第一條、第二條、……和第十二條直線。（1）第二條至第十二條直線與第一條直線的“夾角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45+30+15=540（度）；（2）第三條至第十二條直線與第二條直線相交的“夾角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45+30=（540-15）（度）；（3）第四條至第十二條直線與第三條直線相交的“夾角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45=（540-15-30）（度）；……；（10）第十一條和第十二條直線與第十條直線相交的“夾角”和是（30+15）（度），（11）第十二條直線與第十一條直線相交的“夾角”和是：15（度）；◆將（2）和（11）、（3）和（10）、（4）和（9）、（5）和（8）、（6）和（7）配對(duì)，得到所有的“夾角”之和是6×540=3240（度）。【評(píng)分參考】第1問答案正確，給5分；第2問中，能完成②，給8分；能求出“夾角的總和，即完成③，給2分。第十一屆全國(guó)"華羅庚金杯"少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題一、填空。1．計(jì)算：2．圖1a是一個(gè)長(zhǎng)方形，其中陰影部分由一副面積為1的七巧板拼成（如圖1b），那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是（）。3．有甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)參加的足球循環(huán)賽，每?jī)申?duì)都要賽一場(chǎng)，勝者得3分，負(fù)者得0分，如果踢平，兩隊(duì)各得1分?，F(xiàn)在甲、乙和丙分別得7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得（）分。4．圖2中，小黑格表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)。連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量。現(xiàn)在從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，那么單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是（）。5．先寫出一個(gè)兩位數(shù)62，接著在62右端寫這兩個(gè)數(shù)字的和為8，得到628，再寫末兩位數(shù)字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一個(gè)有2006位的整數(shù)：628101123……，則這個(gè)整數(shù)的數(shù)字之和是（）。6．智慧老人到小明的年級(jí)訪問，小明說他們年級(jí)共一百多同學(xué)。老人請(qǐng)同學(xué)們按三人一行排隊(duì)，結(jié)果多出一人，按五人一行排隊(duì)，結(jié)果多出二人，按七人一行排隊(duì)，結(jié)果多出一人，老人說我知道你們年級(jí)的人數(shù)應(yīng)該是（）人。7．如圖3所示，點(diǎn)B是線段AD的中點(diǎn)，由A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的所有線段的長(zhǎng)度均為整數(shù)，若這些線段的長(zhǎng)度之和為10500，則線段AB的長(zhǎng)度是（）。8．100個(gè)非0自然數(shù)的和等于2006，那么它們的最大公約數(shù)最大可能值是（）。二、解答下列各題，要求寫出簡(jiǎn)要過程。（每題10分，共40分）9．如圖4，圓O中直徑Ab與CD互相垂直，AB＝10厘米。以C為圓心，CA為半徑畫弧AEB。求月牙形ADBEA（陰影部分）的面積？10．甲、乙和丙三只螞蟻爬行的速度之比是8：6：5，它們沿一個(gè)圓圈從同一點(diǎn)同時(shí)同向爬行，當(dāng)它們首次同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，就結(jié)束爬行。問螞蟻甲追上螞蟻乙一共多少次？（包括結(jié)束時(shí)刻）。11．如圖5，ABCD是矩形，BC＝6cm，AB＝10cm，AC和BD是對(duì)角線。圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米？（π取3.14）12．將一根長(zhǎng)線對(duì)折后，再對(duì)折，共對(duì)折10次，得到一束線。用剪刀將這束線剪成10等份，問：可以得到不同長(zhǎng)度的短線段各多少根？三、解答下列各題，要求寫出詳細(xì)過程。（每題15分，共30分）13．華羅庚爺爺在一首詩(shī)文中勉勵(lì)青少年：“猛攻苦戰(zhàn)是第一，熟練生成百巧來(lái)，勤能補(bǔ)拙是良訓(xùn)，一分辛苦一分才?！爆F(xiàn)在將詩(shī)文中不同的漢字對(duì)應(yīng)不同的自然數(shù)，相同的漢字對(duì)應(yīng)相同的自然數(shù)，并且不同漢字所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)可以排列成一串連續(xù)的自然數(shù)。如果這28個(gè)自然數(shù)的平均值是23，問“分”字對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的最大可能值是多少？14．一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的木棍，用紅色刻度線將它分成m等份，用黑色刻度線將它分成n等份（m>n）。（1）設(shè)X是紅色與黑色刻度線重合的條數(shù)，請(qǐng)說明：X＋1是m和n的公約數(shù)；（2）如果按刻度線將該木棍鋸成小段，一共可以得到170根長(zhǎng)短不等的小棍，其中最長(zhǎng)的小棍恰有100根。試確定m和n的值。第十二屆全國(guó)“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試卷（小學(xué)組）（時(shí)間2007年4月21日10︰00（市）、區(qū)________學(xué)校_____________姓名________考號(hào)_______一、填空（每題10分，共80分）1、“華”、“杯”、“賽”三個(gè)字的四角號(hào)碼分別是“2440”、“4199”和“3088”，將“華杯賽”的編碼取為“244041993088”。如果這個(gè)編碼從左起的奇數(shù)位的數(shù)碼不變，偶數(shù)位的數(shù)碼改變?yōu)殛P(guān)于9的補(bǔ)碼，例如：0變9，1變8等，那么“華杯賽”新的編碼是___________。2、計(jì)算：[20.75＋(3.74－2)9]41.75＝___________。3、如圖1所示，兩個(gè)正方形ABCD和DEFG的邊長(zhǎng)都是整數(shù)厘米。點(diǎn)E在線段CD上，且CE＜DE。線段CF＝5厘米，則五邊形ABCFG的面積等于__________4、將、、、、從小到大排列，第三個(gè)數(shù)是_______。5、圖2a是一個(gè)密封水瓶的切面圖，上半部為圓錐狀，下半部為圓柱狀，底面直徑都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度為12厘米。將水瓶倒置后，如圖2b，瓶中液面的高度是16厘米，則水瓶的容積等于_______立方厘米。（取6、一列數(shù)是按以下條件確定的：第一個(gè)是3，第二個(gè)是6，第三個(gè)是18，以后每一個(gè)數(shù)是前面所有數(shù)的和的2倍，則第六個(gè)數(shù)等于________，從這列數(shù)的第________個(gè)數(shù)開始，每個(gè)都大于2007。7、一個(gè)自然數(shù)，它的最大的約數(shù)和次大的約數(shù)的和是111，這個(gè)自然數(shù)是______。8、用一些棱長(zhǎng)是1的小正方體碼成一個(gè)立體，從上向下看這個(gè)立體，如圖3，從正面看這個(gè)立體，如圖4，則這個(gè)立體的表面積最多是_________。二、簡(jiǎn)答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過程）9、如圖5，在三角形ABC中，點(diǎn)D在BC上，且∠ABC＝∠ACB，∠ADC＝∠DAC，∠DAB＝21°，求∠ABC的度數(shù)；并且回答：圖中哪些三角形是銳角三角形。10、李云靠窗坐在一列時(shí)速60千米的火車?yán)铮吹揭惠v有30節(jié)車廂的貨車迎面駛來(lái)，當(dāng)貨車車頭經(jīng)過窗口時(shí)，他開始記時(shí)，直到最后一節(jié)車廂駛過窗口時(shí)，所記的時(shí)間是18秒。已知貨車車廂長(zhǎng)15.8米，車廂間距1.2米11、圖6是一個(gè)99的方格圖，由粗線隔為9個(gè)橫豎各有3個(gè)格子的“小九宮”格，其中，有一些小方格填有1至9的數(shù)字。小青在第4列的空格中各填入了一個(gè)1至9的自然數(shù)，使每行、每列和每個(gè)“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小青將第4列的數(shù)字從上向下寫成一個(gè)9位數(shù)。請(qǐng)寫出這個(gè)9位數(shù)，并且簡(jiǎn)單說明理由。12、某班一次數(shù)學(xué)考試，所有成績(jī)得優(yōu)的同學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是95分，沒有得優(yōu)的同學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是80分。已知全班同學(xué)的平均成績(jī)不少于90分，問得優(yōu)的同學(xué)占全班同學(xué)的比例至少是多少？三、詳答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13、如圖7，連接一個(gè)正六邊形的各頂點(diǎn)。問圖中共有多少個(gè)等腰三角形（包括等邊三角形）？14、圓周上放置有7個(gè)空杯子，按順時(shí)針方向依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7。小明首先將第1枚白色棋子放入1號(hào)盒子，然后將第2枚白色棋子放入3號(hào)盒子，再將第3枚白色棋子放入6號(hào)盒子，……，放置了第k－1枚白色棋子后，小明依順時(shí)針方向向前數(shù)了k－1個(gè)盒子，并將第k枚白色棋子放在下一個(gè)盒子中，小明按照這個(gè)規(guī)則共放置了200枚白色棋子。隨后，小青從1號(hào)盒子開始，按照逆時(shí)針方向和同樣的規(guī)則在這些盒子中放入了300枚紅色棋子。請(qǐng)回答：每個(gè)盒子各有多少枚白色棋子？每個(gè)盒子各有多少枚棋子？

答案一、填空1.解：偶數(shù)位自左至右依次為4、0、1、9、0、8，它們關(guān)于9的補(bǔ)碼自左至右依次為5、9、8、0、9、1，所以“華杯賽”新的編碼是：2549489039812.解：原式＝[20.75＋1.24×]÷41.75＝[20.75＋0.125]÷41.75＝20.875÷41.75＝0.53.解：CF＝5，又CD和DF都是整數(shù)，根據(jù)勾股定理可知CE＝3，DF＝4，CD＝7，所以五邊形ABCFG的面積為：＝16＋49＋6＝71（平方厘米）4.解：＝0.524，＝0.525，所以：，第三小的數(shù)是5.解：如果將瓶中的液體取出一部分，使正立時(shí)高度為11厘米，則倒立時(shí)高度為15厘米，這時(shí)瓶中的液體剛好為瓶的容積的一半，所以瓶的容積相當(dāng)于一個(gè)高22厘米（底面積不變）的圓柱的體積，即瓶的容積是：3.14××22＝1727（立方厘米）6.解：這列數(shù)的第一個(gè)是3，第二個(gè)是6，第三個(gè)是18，第四個(gè)是（3＋6＋18）×2＝54，第五個(gè)是（3＋6＋18＋54）×2＝162，第六個(gè)是（3＋6＋18＋54＋162）×2＝486設(shè)這列數(shù)的第一個(gè)為a，則第二個(gè)為2a，第三個(gè)為6a＝2×3×a，第四個(gè)為18a＝2××a，第五個(gè)為54a＝第六個(gè)為162a＝2××a，第n個(gè)為2××a，因?yàn)閍＝3，所以第n個(gè)數(shù)也可寫作2×，即從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的3倍。2007÷486＞3，而2007÷3＜9，可知從第8個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都大于2007.7.解：因?yàn)?11是奇數(shù)，而奇數(shù)＝奇數(shù)＋偶數(shù)，所以所求數(shù)的最大約數(shù)與次大約數(shù)必為一奇一偶。而一個(gè)數(shù)的最大約數(shù)是其自身，而一個(gè)數(shù)如有偶約數(shù)此數(shù)必為偶數(shù)，而一個(gè)偶數(shù)的次大約數(shù)應(yīng)為這個(gè)偶數(shù)的，設(shè)這個(gè)次大約數(shù)為a，則最大約數(shù)為2a，a＋2a＝111，求得a＝37，2a＝74，即所求數(shù)為74.8.解：根據(jù)所給視圖，可畫出這個(gè)立體的直觀圖如下：可知，上下面積為8×2＝16（平方厘米），前后面積為8×2＝16（平方厘米），左右面積為8×2＝16（平方厘米），此立體的表面積共48平方厘米.二、簡(jiǎn)答下列各題9.解：∵∠DAC＋∠ADC＋∠C＝，而∠DAC＝∠ADC＝∠B＋21，∠B＝∠C，∴3×∠B＋21°＝180°,∴∠B＝46°∠DAC＝46°＋21°＝67°，∠BAC＝67°＋21°＝88°∴△ABC和△ADC都是銳角三角形.10.解：客車速度為60千米/小時(shí)，18秒鐘通過的路程為：＝300（米）貨車長(zhǎng)為（15.8＋1.2）×30＋10＝520（米）18秒鐘貨車通過的距離為520－300＝220（米）貨車速度為＝44（千米/小時(shí)）11.解：用（a，b）表示第a行第b列的方格，第4列已有數(shù)字1、2、3、4、5，第6行已有數(shù)字6、7、9，所以方格（6，4）＝8；第3行和第5行都有數(shù)字9，所以（7，4）＝9；正中的“小九宮”中已有數(shù)字7，所以只能是（3，4）＝7；此時(shí)，第4列中只余（5，4），這一列只有數(shù)字6未填，所以（5，4）＝6。所以，第4列的數(shù)字從上向下寫成的9位數(shù)是：327468951.12.解：為使全班同學(xué)的平均分達(dá)到90分，需將2名得優(yōu)的同學(xué)和1名沒得優(yōu)的同學(xué)匹配為一組，即得優(yōu)的同學(xué)至少應(yīng)為沒得優(yōu)同學(xué)的2倍，才能確保全班同學(xué)的平均分不低于90分，所以得優(yōu)同學(xué)占全班同學(xué)的比例至少是.三、詳答下列各題13.解：首先按是否是等邊三角形分類，圖a、圖b、圖c中有3類等邊三角形，紅色的有6個(gè)，藍(lán)色的有6個(gè)，黃色的有2個(gè)，共14個(gè)等邊三角形。圖d中有3類非等邊的等腰三角形，綠色的有6個(gè)，紫色的有6個(gè)，棕色的有12個(gè)，共24個(gè)。所以共有等腰三角形（包括等邊三角形）為38個(gè).14.解：依順時(shí)針方向不間斷地給這7個(gè)盒子編號(hào)，則1號(hào)盒子可有的號(hào)數(shù)為1、8、15、…7k+1；2號(hào)盒子可有的號(hào)數(shù)為2、9、16、…7k+2；…；7號(hào)盒子可有的號(hào)數(shù)為7、14、21、…7k+7（k為整數(shù)）。根據(jù)規(guī)則，小明將第1枚棋子放入1號(hào)盒子，將第2枚棋子放入3號(hào)盒子，將第3枚棋子放入6號(hào)盒子，將第4枚棋子放入10號(hào)即3號(hào)盒子，將第5枚棋子放入15號(hào)即1號(hào)盒子，將第6枚棋子放入21號(hào)即7號(hào)盒子，將第7枚棋子放入28號(hào)即7號(hào)盒子，按照這個(gè)規(guī)律，從第8枚棋子開始，將重復(fù)上述棋子放入的盒子，即第8枚放入1號(hào)盒子，第9枚放入3號(hào)盒子，…，也就是每7枚棋子為一個(gè)周期。并且這7枚棋子有2枚放入1號(hào)盒子，有2枚放入3號(hào)盒子，有2枚放入7號(hào)盒子，有1枚放入6號(hào)盒子，2、4、5號(hào)盒子未放入棋子。各盒子中的白子數(shù)目如下表。200＝7×28＋4，經(jīng)過28次循環(huán)后，第197枚棋子放入1號(hào)盒子，第198枚棋子放入3號(hào)盒子，第199枚棋子放入6號(hào)盒子，第200枚棋子放入3號(hào)盒子。在小青逆時(shí)針放子時(shí)，我們依逆時(shí)針方向給盒子不間斷編號(hào)，同樣地每7枚棋子為一個(gè)周期，300＝7×42＋6，可以求出各盒子中的紅子數(shù)目如下表。盒子編號(hào)1234567白子57058002956紅子86854300860棋子總數(shù)143851010011556

第十三屆“華羅庚金杯”少年組數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試卷（小學(xué)組）姓名_________成績(jī)_______一．填空（每題體10分，共80分）1.計(jì)算：＝。2.林林倒?jié)M一杯純牛奶，第一次喝了，然后加入豆?jié){，將杯子斟滿并攪拌均勻，第二次，林林又喝了，繼續(xù)用豆?jié){將杯子斟滿并攪拌均勻，重復(fù)上述過程，那么第四次后，林林共喝了一杯純牛奶總量的（用分?jǐn)?shù)表示）。3.圖1是小明用一些半徑為1厘米，2厘米，4厘米，和8厘米鼠頭圖案，圖中陰影部分的總面積為平方厘米。4.悉尼與北京的時(shí)差是3小時(shí)，例如：悉尼時(shí)間12：00時(shí)，北京時(shí)間是9:00。某日，當(dāng)悉尼時(shí)間9：15時(shí)，小馬和小楊分別乘機(jī)從悉尼和北京同時(shí)出發(fā)去對(duì)方所在地，小馬于北京時(shí)間19：33分到達(dá)北京。小馬和小楊路途上所用時(shí)間之比為7：6，那么小楊到達(dá)悉尼時(shí)，當(dāng)?shù)貢r(shí)間是。5.將六個(gè)自然數(shù)14，20，33，117，143，175分組，如果要求每組中的任意兩個(gè)數(shù)都互質(zhì)，則至少需要將這些數(shù)分成組。6.對(duì)于大于零的分?jǐn)?shù)，有如下4個(gè)結(jié)論：①兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的和是真分?jǐn)?shù)；②兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的積是真分?jǐn)?shù)；③一個(gè)真分?jǐn)?shù)與一個(gè)假分?jǐn)?shù)的和是一個(gè)假分?jǐn)?shù)；④一個(gè)真分?jǐn)?shù)與一個(gè)假分?jǐn)?shù)的積是一個(gè)假分?jǐn)?shù)。其中正確結(jié)論的編號(hào)是。7.記A=++++…+,那么比A小的最大自然數(shù)是。8.黑板上寫著1至2008共2008個(gè)自然數(shù)，小明每次擦去兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)，再寫上它們的平均數(shù)，最后黑板上只剩下一個(gè)自然數(shù)，這個(gè)數(shù)可能的最大值和最小值的差是。二．解下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過程）9.小李應(yīng)聘某公司主任職位時(shí)，要根據(jù)下表回答主任的月薪是多少，請(qǐng)你回答這個(gè)問題。職位會(huì)計(jì)與出納出納與秘書秘書與主管主管與主任主任與會(huì)計(jì)月薪和3000元3200元4000元5200元4400元10.請(qǐng)將四個(gè)4用四則運(yùn)算符號(hào)、括號(hào)組成五個(gè)算式，使它們的結(jié)果分別等于5，6，7，8，9。11.圖2中，ABCD和CGEF是兩個(gè)正方形，AG和CF相交與H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面積等于6平方厘米，求五邊形ABGEF的面積。12.設(shè)六位數(shù)滿足-f，請(qǐng)寫出所有的這樣的六位數(shù)。三．解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13.甲乙兩人沿一個(gè)周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道勻速前進(jìn)，甲行走一圈需4分鐘，乙行走一圈需7分鐘，他們同時(shí)同地同向出發(fā)，甲走完10圈后，改為反向行走，出發(fā)后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇時(shí)，二人都擊掌示意。問：當(dāng)二人第15次擊掌時(shí)，甲共走了多長(zhǎng)時(shí)間？乙走了多少路程？14.右圖是一個(gè)分?jǐn)?shù)等式：等式中的漢字代表數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8和9，不同的漢字代表不同的的數(shù)字。如果“北”和“京”分別代表1和9.請(qǐng)寫出“奧運(yùn)會(huì)”所代表的所有的三位整數(shù)，并說明理由。一、填空題號(hào)12345678答案265/816420：393②③92005二、解答9----2900元10----911----49.512----111111.102564三、解答13----甲走了66又2/11分鐘，乙走了3781又7/11分鐘14----647、638、836

第十四屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題A（小學(xué)組）（時(shí)間：2009年4月11日10:00~11:30）填空題（每小題10分，共80分）圖1圖11．計(jì)算：__________2．如圖1所示，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格圖中，共有25個(gè)格點(diǎn)，在以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)分別是1和3的直角三角形共有__________個(gè)。EBAl3．將七位數(shù)“1357924”重復(fù)寫287次組成一個(gè)2009位數(shù)“13579241357924…”EBAlFF圖2DC4．如圖2所示，在由七個(gè)同樣的小正方形組成的圖形中，直線l將原圖形分為面積相等的兩部分，l與AB的交點(diǎn)為E，與CD的交點(diǎn)為F，若線段CF與線段AE的長(zhǎng)度之和為91厘米，那么小正方形的邊長(zhǎng)是__________厘米。DC5．某班學(xué)生要栽一批樹苗，若每個(gè)人分配k棵樹苗，則剩下38棵；若每個(gè)學(xué)生分配9棵樹苗，則還差3棵，那么這個(gè)班共有__________名學(xué)生。

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365041?376．已知三個(gè)合數(shù)A，B，C兩兩互質(zhì)，且，那么365041?377．方格中的圖形符號(hào)“

”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方格內(nèi)的數(shù)，相同的符號(hào)表示相同的數(shù)。如圖3所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四個(gè)數(shù)的和分別為36，50，41，37，則第三行的四個(gè)數(shù)的和是__________。8．已知1＋2＋3＋……＋n(n﹥2)的和的個(gè)位數(shù)為3，十位數(shù)為0，則n的最小值為__________。二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過程）9．六個(gè)分?jǐn)?shù)的和在哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之間？10．2009年的元旦是星期四，問：在2009年，哪幾個(gè)月的第一天也是星期四？哪幾個(gè)月有5個(gè)星期日？11．已知a，b，c是三個(gè)自然數(shù)，且a與b的最小公倍數(shù)是60，a與c的最小公倍數(shù)是270。求ｂ與ｃ的最小公倍數(shù)。12．在51個(gè)連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，…，101中選取k個(gè)數(shù)，使得他們的和為1949，那么k的最大值是多少？三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)解答過程）13．如圖4所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC，BC相交于點(diǎn)O。已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面積為4，求三角形OAB的面積。DDCOAB圖414．在圖5所示的乘法算式中，漢字代表1至9這9個(gè)數(shù)字，不同漢字代表不同的數(shù)字。若“?！弊趾汀百R”字分別代表數(shù)字“4”和“8”，求出“華杯賽圖5第十五屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題A（小學(xué)組）一、填空題（每小題10分，共80分）1．在10個(gè)盒子中放乒乓球，每個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)不能少于11，不能是13，也不能是5的倍數(shù)，且彼此不同，那么至少需要個(gè)乒乓球。2．有五種價(jià)格分別為2元、5元、8元、11元、14元的禮品以及五種價(jià)格分別為1元、3元、5元、7元、9元的包裝盒。一個(gè)禮品配一個(gè)包裝盒，共有種不同價(jià)格。3．汽車A從甲站出發(fā)開往乙站，同時(shí)汽車B、C從乙站出發(fā)與A相向而行開往甲站，途中A與B相遇20分鐘后再與C相遇。已知A、B、C的速度分別是每小時(shí)90km,80km,60km，那么甲乙兩站的路程是km。4．將和這6個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值從小到大排列，則這個(gè)平均值排在第位。5．將一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加得到新的一個(gè)數(shù)稱為一次操作，經(jīng)連續(xù)若干次這樣的操作后可以變?yōu)?的數(shù)稱為“好數(shù)”，那么不超過2012的“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為，這些“好數(shù)”的最大公約數(shù)是。6．右圖所示的立體圖形由9個(gè)棱長(zhǎng)為1的立方塊搭成，這個(gè)立體圖形的表面積為。7．?dāng)?shù)字卡片“3”、“4”、“5”各10張，任意選出8張使它們的數(shù)字和是33，則最多有張是卡片8．若將算式的值化為小數(shù)，則小數(shù)點(diǎn)后第1個(gè)數(shù)字是。二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過程）9．右圖中有5個(gè)由4個(gè)1×1的小正方格組成的不同形狀的硬紙板。問能用這5個(gè)硬紙板拼成右圖中4×5的長(zhǎng)方形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種拼法；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。10．長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一條木棍，分別用紅、藍(lán)、黑線將它等分為8，12和18段，在各劃分線處將木棍鋸開，問一共可以得到多少段？其中最短的一段的長(zhǎng)是多少？11．足球隊(duì)A，B，C，D，E進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)申?duì)賽一場(chǎng)），每場(chǎng)比賽勝隊(duì)得3分，負(fù)隊(duì)得0分，平局兩隊(duì)各得1分。若A，B，C，D隊(duì)總分分別是1，4，7，8，請(qǐng)問：E隊(duì)至多得幾分？至少得幾分？12．華羅庚爺爺出生于1910年11月12日。將這些數(shù)字排成一個(gè)整數(shù)，并且分解成19101112＝1163×16424，請(qǐng)問這兩個(gè)數(shù)1163和16424中有質(zhì)數(shù)嗎？并說明理由。三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．右圖中，六邊形ABCDEF的面積是2010平方厘米。已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面積都等于335平方厘米，6個(gè)陰影三角形面積之和為670平方厘米。求六邊形A1B1C1D1E1F14．已知兩位自然數(shù)能被它的數(shù)字之積整除，求出代表的兩位數(shù)。答案1．1732．193．4254．55．223；36．327．38．49．不能10．[8，12，18]=728+12+18-3-2-1+1=32除去重復(fù)的32-4=28段最長(zhǎng)一段長(zhǎng)為1，所以1/7211．7；512．有質(zhì)數(shù),1163；1163不能除以2,3,5……37內(nèi)質(zhì)數(shù),1163＜37×4013．335×6=2010（2010-670）÷2=6702010-（670×2）=67014．11，12，15，24，36第十五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽（A卷）解答的詳細(xì)解析與答案填空題（每小題10分，共80分）1、【解答】（枚舉方法）至少需要11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173。

2、【解答】（列表方法）共有25-6=19(種)包裝盒價(jià)格禮品盒價(jià)格13579235791156810121489111315171112141618201415171921233、【解答】（相遇、追及綜合問題）A與C20分鐘相遇，共行（90+60）×(20÷60)=50(km),這50km即是A與B相遇過程中，在相同時(shí)間內(nèi)，B比C多行的路程，顯然A與B相遇時(shí)間等于50÷（80-60）=2.5（小時(shí)）。所以，A與B相遇甲乙兩站的路程為（90+80）×2.5=425(km)4、【解答】平均數(shù)=【（++）+++】÷6≈0.265457，所以這個(gè)平均數(shù)從小到大排列在第5位。5、【解答】（余數(shù)問題或周期規(guī)律）題意中的好數(shù)實(shí)際是指小于或等于2012中除以9余6的數(shù)有多少個(gè)。即數(shù)列6、15、24、33、42、51…….1005、2004共（2004-6）÷9+1=223（個(gè)），最大公約數(shù)為36、【解答】（表面幾何問題）。(視圖方法)。俯視面積5，仰視面積5，前視面積5，后視面積5，左視面積6，右視面積6，表面積共327、【解答】（不定方程問題）設(shè)卡片3用X張，卡片4用Y張，卡片5用M張，則：X+Y+M=8①3X+4Y+5M=33②2X+Y=7X最大為38、【解答】（估算問題）根據(jù)分?jǐn)?shù)數(shù)列運(yùn)算符號(hào)的加減周期性，將分?jǐn)?shù)數(shù)列分組求近似值，進(jìn)行估算。-≈0.41，-≈0.01548，-≈0.00354，-≈0.001320.00063，……推理后面每?jī)蓚€(gè)分?jǐn)?shù)之差更接近0，而且是有限個(gè)求和,所以小數(shù)點(diǎn)后第一位為4。答下列各題(每題10分，共40分)9、【解答】（染色問題）將5塊硬紙板黑白間隔染色，可見黑色有11塊，白色9塊，或者黑色9塊，白色11塊。而右邊20個(gè)格子黑、白各10塊。顯然不能用左邊5個(gè)硬紙板拼成右邊的的4×5的長(zhǎng)方形。