初中數(shù)學(xué) 奧數(shù)競(jìng)賽教程專項(xiàng)練習(xí)題經(jīng)典題型 九年級(jí)

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程【賽場(chǎng)演練】題詳細(xì)解答

目錄

第1講一元二次方程............................................................2

第2講一元二次方程的應(yīng)用.........................................................6

第3講一元二次方程根的判別式..................................................12

第4講一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系.................................................17

第5講一元二次方程根的分布.....................................................22

第6講完全平方數(shù)與配方法........................................................25

第7講二次函數(shù)...................................................................29

第8講二次函數(shù)的應(yīng)用............................................................35

第9講拋物線的平移、翻折、旋轉(zhuǎn).................................................42

第10講二次函數(shù)的最值...........................................................46

第11講一元二次不等式............................................................51

第12講銳角三角函數(shù).............................................................54

第13講解直角三角形.............................................................60

第14講圓的基本性質(zhì)..............................................................65

第15講直線與圓..................................................................76

第16講圓幕定理..................................................................83

第17講圓與圓....................................................................88

第18講與圓相關(guān)的計(jì)算...........................................................94

第19講四點(diǎn)共圓.................................................................101

第20講幾何定值.................................................................108

第21講幾何最值.................................................................115

第22講三角形的“五心”........................................................125

第23講投影與三視圖.............................................................132

第24講統(tǒng)計(jì)與概率...............................................................141

第25講反證法...................................................................151

第26講組合問(wèn)題.................................................................156

第27講極端原理.................................................................162

第28講染色問(wèn)題.................................................................167

第29講生活中的數(shù)學(xué).............................................................172

1

第1講一元二次方程

1.（2004年江西省競(jìng)賽題）方程J程+V+22=x+y+2的整數(shù)解有（）

A.1組B.3組C.6組D.無(wú)窮多組

2.（第15屆江蘇省競(jìng)賽題）自然數(shù)“滿足（/一2〃一2『以=（/-2"一2『”"6,這樣的”的個(gè)數(shù)是

（）

A.2B.lC.3D.4

3.（第9屆五羊杯競(jìng)賽題）方程尤國(guó)-3國(guó)+2=0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

4.（1999年江蘇省競(jìng)賽題）已知a,6都是負(fù)實(shí)數(shù)，且工+1-——=0,那么？的值是（）

aba—ba

.1+若R1-75?-1+75n-1-^5

2222

5.（第16屆江蘇省競(jìng)賽題）若兩個(gè)方程/+依+/7=0和兄2+陵+。=0只有一個(gè)公共根，則（）

\.a=bB.a+Z?=0C.a+b=\D.a+Z?=—1

6.（1998年山東省競(jìng)賽題）已知。4+3°2=b2-36=1,且/匕工］,則如二1的值是（）

b3

A.35B.36C.-35D.-36

7.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）方程組［立+"=23的正整數(shù)解的組數(shù)是（）

［xy+yz=63

A.4B.3C.2D.l

8.（2000年美國(guó)猶他州競(jìng)賽題）方程丁―6/—X+6=0所有根的積是（）

A.3B.-3C.4D.-6

9.（第35屆美國(guó)中學(xué)生競(jìng)賽題）若夕為質(zhì)數(shù)，且方程f+p%—444P=0的兩根均為整數(shù)，則（）

A.l<p<lC.21Vp<31D.31<p<41

10.（全國(guó)競(jìng)賽題）如果x和y是非零實(shí)數(shù)，使得|x|+y=3和Wy+d=0,那么x+y等于（）

A.3B.acJ一相D.4-V13

2

11.（1999年全國(guó)競(jìng)賽題）已知』-同=1,那么代數(shù)式』+同的值為（）

aa

A.—B.--C.-A/5D4

22

2

12.（2001年全國(guó)競(jìng)賽題）如果。，人是質(zhì)數(shù)，且"一134+優(yōu)=0,廿_136+m=0,那么夕+處的

ab

值為（)

人123卷或125.畀

A.——B2D2

22

13.（2001年全國(guó)聯(lián)賽題）若Q為wl,且有5片+20014+9=0及9廿+200仍+5=0,則色的值是（）

b

14.（2007年全國(guó)競(jìng)賽題）已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ox?+法+。=0,fex2+cx+a-Q,

/h1*

52+依+6=0恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則幺+"+'的值為（）

becaab

A.OB.lC.2D.3

15.（1998年廣西競(jìng)賽題）當(dāng)機(jī)=時(shí)，關(guān)于x的方程—=二_會(huì)產(chǎn)生增根.

x—2x—4%+2

16.（2004年上海南匯競(jìng)賽題）對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b,用max（a、b）表示其中較大的數(shù)，如:

max（2,-4）=2,貝！J方程x?max（x,-x）=2x+l的解是.

17.（天津市競(jìng)賽題）已知々、〃是方程爐-*_1=。的兩個(gè)根，那么4+3/的值為.

18.（1997年學(xué)習(xí)報(bào)公開(kāi)賽題）解方程2f_5x+3=],得_____.

X2-3X+2

19.（第15屆江蘇省競(jìng)賽題）已知3>-2%-5=0,5n2+2n-3=0,其中用，〃為實(shí)數(shù)，則

1

m----=.

n

20.（1993年合肥市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）方程」—+4-=二一+1的解是.

x+2x—4x—2

21.（第15屆五羊杯競(jìng)賽題）方程（V-3f+%—2）（丁—九2一4%+7）+6%2―15%+18=0的全部相異實(shí)

根是.

1x-1

22.（第8屆希望杯競(jìng)賽題）若+l的值為2,則x的值等于___.

9x23

~x3-l

23.（第12屆五羊杯競(jìng)賽題）方程上凸+12^=12凸+上空的解是％=.

11-2x15—2x17-2x9—2x

24.（1998年祖沖之杯競(jìng)賽題）方程一—+——+丁二一+--1——=—的解是.

x+xx+3x+2x+5x+6x+7x+1221

25.（第11屆五羊杯競(jìng)賽題）規(guī)定運(yùn)算滿足：Q*〃=l（〃wO）,Q*（b*c）=（〃*b）c,其中cwO,

3

a,b,c為實(shí)數(shù)，則方程x?*19=99x的解x=.

26.（第11屆五羊杯競(jìng)賽題）已知a=（A-應(yīng)力=-（退+后）（五+1）,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),

2x2a2b2x2a2b

方程---T----T----7的解x=.

1—x1—a\—b1-x21-a21-b2

27.（1996年上海市競(jìng)賽題）a,b是方程/一4x+l=0的兩個(gè)根，c,d是方程￡一5兀+2=0的兩

個(gè)根，記t=—-—+—-—+—-—+—-—,則用f表示

b+c+da+c+da+b-^-da+b+c

a1b1c2d2

-------1--------1--------1-------_.

b+c+da+c+da+b+da+b+c

28.（2001年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）若爐+孫+y=14,/+xy+x=28,求x+y的值.

29.（1998年全國(guó)聯(lián)賽題）滿足1998?+療=1997。+?（o＜根＜〃＜1998）的整數(shù)對(duì)（優(yōu)川共有

個(gè).

30.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）已知關(guān)于x的方程+=0的根者B是整數(shù)，那么符合條件

的整數(shù)。有個(gè).

31.（1998年全國(guó)競(jìng)賽題）已知方程片爐一（3/-8。卜+2片-3.+15=0（a為非負(fù)整數(shù)）至少有一

個(gè)整數(shù)根，則。=.

32.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）滿足（〃2-“-1/2=1的整數(shù)〃有個(gè).

33.（重慶市競(jìng)賽題）已知/-5/+8/-5%+1=0,求x+!的值.

34.（1995年黃岡市競(jìng)賽題）設(shè)關(guān)于x的方程/+（父一7》-2+2。+12=0有相等兩根，求a的值.

\X）X

1_3x+2

35.（1997年太原市競(jìng)賽題）解方程:

12x+l

X

4

3

36.（第8屆育英杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）若儲(chǔ)一3。+1=0,求—的值.

a6+l

12

37.（第8屆美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）求方程工一-——H------------------=0的正數(shù)解.

X2-10X-29%2-10^-45X2-10X-69

38.（2002年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）若兩方程片/+融一「°和/_6_片=0有公共根，求°的值.

1+4/

39.（1996年加拿大競(jìng)賽題）解方程組.=z,

1+4/

4z2

-X.

A+4z2

4。.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）已矢3-c三數(shù)滿足方程（a組+b=―8,2i試求方程

bx2+ex-a=0的卞艮.

5

第2講一元二次方程的應(yīng)用

1.（山東省競(jìng)賽題）如圖所示，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形，設(shè)。=1,則這個(gè)

正方形的面積為（

7+3小

X1..

2

b

C1

（第1題圖）

2.（2007年浙江省競(jìng)賽題）若丁+f+*+1=0,則X-27+%—26+…+X-+1+X+…+*26+彳27的值是

（）

A.lB.OC.-lD.2

3.（2000年重慶市競(jìng)賽題）一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和的3倍等于原數(shù)減2,則原

數(shù)的十位數(shù)字是（）

A.2B.3C.4D.5

4.（第18屆五羊杯競(jìng)賽題）已知o2-3a+l=0,那么第2-9。-2+：,=（）

1+a2

A.3B.5C.3出D.6正

5.（2002年四川省競(jìng)賽題）如果某個(gè)等腰梯形的下底與對(duì)角線長(zhǎng)都是10厘米，梯形的上底與高相

等，則上底的長(zhǎng)是（）厘米.

A.5友B.6友C.5D.6

6.（2001年山東省競(jìng)賽題）甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，相背而行，1小時(shí)后他們分別到達(dá)各

自的終點(diǎn)A和瓦若仍從原地出發(fā)，互換彼此的目的地，則甲在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)3,甲的

速度與乙的速度之比為（）

A.3：5B.1：3C.4：5D.3：4

7.（2000年黃岡市競(jìng)賽題）某商品的標(biāo)價(jià)比成本價(jià)高p%,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧損成本,

售價(jià)的折扣（即降低的百分?jǐn)?shù)）不得超過(guò)d%,則d可用.表示為（）

loop100/7

A.PB.p

100+p100-/?100+P

8.（第11屆五羊杯競(jìng)賽題）右下圖是一面長(zhǎng)為a,寬為6（a>6）的矩形旗子，其四個(gè)角是藍(lán)色的四

個(gè)全等矩形（陰影部分），面積之和等于整面旗子面積一半；旗子中間兩條直交白條紋的寬度相等.

則藍(lán)色矩形的最短邊的長(zhǎng)為（）

6

.a-+-a—Z?+JQ2+Z??

B.---------------------

42

C3〃+Z7+J”，+Z??Db—a+JQ2+

4'4

b

（第8題圖）

9.（2004年全國(guó)聯(lián)賽題）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、a、b,另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、

b、b,其中a＞從若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，則@等于（）

b

Ag+1R占+1「A/3+2八A/5+2

2222

10.（第11屆五羊杯競(jìng)賽題）五羊足球隊(duì)舉行慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，總共碰杯990次，

晚宴共有人出席.

11.（1999年全國(guó)競(jìng)賽題）江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷涌出，假定每分鐘涌出的水量相等.

如果用2臺(tái)抽水機(jī)抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺(tái)抽水機(jī)抽水，16分鐘可抽完.如果要在10分鐘

內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機(jī)臺(tái).

12.（第19屆江蘇省競(jìng)賽題）參加會(huì)議的成員都互相握過(guò)手，其中某人與他的一些老朋友握過(guò)第二

次手.若這次會(huì)議握手的總次數(shù)是159,那么參加會(huì)議的成員有人,其中，第二次握手共有

______次.

13.（第8屆五羊杯競(jìng)賽題）某校A與直線公路距離為3000米，又與該公路上某車(chē)站D的距離為5000

米.現(xiàn)要在公路邊建一小商店C,使之與學(xué)校A及車(chē)站。的距離相等，如科所示，那么該商店與車(chē)站

的距離是米.

A

（第13題圖）

14.（第6屆華羅庚金杯復(fù)賽題）某公共汽車(chē)線路中間有10個(gè)站，車(chē)有快車(chē)及慢車(chē)兩種，快車(chē)車(chē)速

是慢車(chē)車(chē)速的1.2倍，慢車(chē)每站都停，快車(chē)則只?？恐虚g1個(gè)站，每站停留時(shí)間都是3分鐘.當(dāng)某次

慢車(chē)發(fā)出40分鐘后，快車(chē)從同一始發(fā)站開(kāi)出，兩車(chē)恰好同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).問(wèn)快車(chē)從起點(diǎn)到終點(diǎn)共有多

7

少分鐘？

答：快車(chē)從起點(diǎn)到終點(diǎn)共用分鐘.

15.（1999年安徽省部分地區(qū)聯(lián)賽題）甲、乙兩地分別在河的上、下游，每天各有一班船準(zhǔn)點(diǎn)勻速?gòu)?/p>

兩地對(duì)開(kāi)，通常它們總在11時(shí)于途中相遇，一天乙地的船因故晚發(fā)了40分鐘，結(jié)果兩船在上午11

時(shí)15分在途中相遇.已知甲地開(kāi)出的船在靜水中的速度為44千米/時(shí)，而乙地開(kāi)出的船在靜水中的速

度為水流（勻）速度v千米/時(shí)的平方，貝h=千米/時(shí).

16.（2005年太原市競(jìng)賽題）有兩個(gè)正整數(shù)a、b,它們的平方和為585,而最大公約數(shù)與最小公倍

數(shù)的和為87,則a+b=.

17.（2004年我愛(ài)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)競(jìng)賽題）如圖所示，A、3兩地相距600千米，過(guò)A地一條鐵路"）筆

直地沿東西方向兩邊延伸，點(diǎn)B到AD的最短距離360千米.今計(jì)劃在鐵路線的>上修一個(gè)中轉(zhuǎn)站C,

再在3c間修一條筆直的公路.如果同樣的物資在每千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍，那么，為使

通過(guò)鐵路由A到C再通過(guò)公路由C到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最小值，中轉(zhuǎn)站C的位置應(yīng)使AC=千

米.

CD

B

（第17題圖）

18.（2005年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）某人將一本書(shū)的頁(yè)碼按1,2,3,…的順序相加，其中有一個(gè)頁(yè)

碼被多加了一次，結(jié)果得到一個(gè)錯(cuò)誤的總和2005,則被多加的頁(yè)碼是.

19.（2001年全國(guó)競(jìng)賽題）銷(xiāo)售某種商品，如果單價(jià)漲加％,則售出的數(shù)量就得減少旦.為了該商品

150

的銷(xiāo)售總金額最大，那么，"的值應(yīng)該確定為.

20.（2004年浙江省競(jìng)賽題）已知a、b、c都是整數(shù)，且a—2人=4,ab+c2-l=0,求Q+6+C的

值.

21.（2004年四川省競(jìng)賽題）實(shí)數(shù)a,b,。滿足且a+Z?+c=l,"十從十02=].求證:

?74

1<a+Z?<一.

3

22.（2004年“新世紀(jì)杯”競(jìng)賽題）一種新型電子計(jì)算機(jī)投產(chǎn)，計(jì)劃兩年后使成本降低31%,問(wèn)平均

8

每年應(yīng)降低成本百分之幾?

23.（迎春杯競(jìng)賽題）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字的平方小9,如果把個(gè)位與十位上

的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)小27,求原來(lái)的兩位數(shù).

24.（2005年黑龍江省競(jìng)賽題）滿足（X-3）2+（y-3）2=6的所有實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）中，上的最大值是多少？

X

25.（2000年黃石市應(yīng)用能力測(cè)試題）為了有效地控制沙塵暴等惡劣天氣對(duì)人類生存環(huán)境的破壞，我

國(guó)北方某地決定加快植樹(shù)造林的速度，計(jì)劃用兩年時(shí)間將防風(fēng)林的面積從現(xiàn)在的2萬(wàn)畝擴(kuò)大到2.42

萬(wàn)畝，求平均每年增長(zhǎng)的百分率.

26.（1998年天津市競(jìng)賽題）象棋比賽共有奇數(shù)個(gè)選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤(pán)，記分

辦法是勝一盤(pán)得1分，和一盤(pán)各得0.5分，負(fù)一盤(pán)得0分.已知其中兩名選手共得8分，其他人的平

均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？

27.（1999年天津市競(jìng)賽題）某同學(xué)買(mǎi)某種鉛筆，當(dāng)他買(mǎi)x支時(shí)，付了y元（x,y都是正整數(shù)），營(yíng)

業(yè)員說(shuō)：“你要再多買(mǎi)10支，我就總共收2元錢(qián).這樣相當(dāng)于你每買(mǎi)30支，可節(jié)省2元錢(qián).”求x,y.

28.（2001年武漢市競(jìng)賽題）便民商場(chǎng)有一批進(jìn)貨價(jià)為12元的商品A,當(dāng)定價(jià)為20元時(shí)，每天可售

出240個(gè).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)生：在定價(jià)20元的基礎(chǔ)上，該商品：（1）每個(gè)漲價(jià)1元，則每天少售出

20個(gè)；（2）每降價(jià)1元，則每天多售出40個(gè).為了使商品A每天獲得利潤(rùn)1920元，并讓利給消費(fèi)者,

定價(jià)多少時(shí)較為合理？

9

29.（2004年成都市競(jìng)賽題）已知三整數(shù)a,b,c之和為13,且q=2.求〃的最大值和最小值，并

bc

求出此時(shí)相應(yīng)的6與c之值.

30.（2000年黃石應(yīng)用能力測(cè)試題）兩個(gè)農(nóng)婦一共帶著100個(gè)雞蛋上市場(chǎng)去賣(mài)，兩人帶的雞蛋數(shù)量不

同，但是賣(mài)得的錢(qián)數(shù)一樣，于是第一個(gè)農(nóng)婦對(duì)第二個(gè)農(nóng)婦說(shuō)：“如果你的雞蛋換給我，我可以賣(mài)得

15個(gè)銅板第二個(gè)農(nóng)婦回答道：“但是你的雞蛋如果換給我，我就只能賣(mài)得62個(gè)銅板.”問(wèn)每人各

3

有多少個(gè)雞蛋？

31.（1999年江蘇省競(jìng)賽題）小明有5張人民幣，面值合計(jì)20元.

（1）小明的5張人民幣的面值分別是元，元，元，元，元.

（2）小明到水果店，稱了尤千克蘋(píng)果（x是整數(shù)），按標(biāo)價(jià)應(yīng)付y元，正好等于小明那5張人民幣中

的2張面值之和，這時(shí)果筐里還剩6千克蘋(píng)果，店主便對(duì)小明說(shuō)：“如果你把這剩下的也都買(mǎi)去，那

么連同剛才已經(jīng)稱的，一共就付10元錢(qián)吧.”小明一算，這樣相當(dāng)于每千克比標(biāo)價(jià)減少了0.5元，本

著互利原則，便答應(yīng)了.試求x和y.

32.（2008年遼寧省競(jìng)賽題）某商店經(jīng)銷(xiāo)一種產(chǎn)品，其成本為40元/千克，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，若按照

50元/千克銷(xiāo)售，一個(gè)月能售出500千克，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，月銷(xiāo)售量就減少10千克.商店本

月可有資金為10000元，針對(duì)該產(chǎn)品的銷(xiāo)售情況，如果本月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到8000元，那么，銷(xiāo)售單價(jià)

應(yīng)定為多少合適？

33.（1997年廣西競(jìng)賽題）某項(xiàng)工作的總報(bào)酬已定，如果甲單獨(dú)做完要比乙單獨(dú)做完少用5天時(shí)間.

現(xiàn)由甲、乙兩人合做，6天完成任務(wù).由于甲比乙工作效率高，所以甲每天所得的報(bào)酬比乙每天所得

10

的報(bào)酬多90元.問(wèn)：甲、乙兩人每天各得多少元報(bào)酬？完成此項(xiàng)工作的總報(bào)酬是多少元?

34.（2004年太原市競(jìng)賽題）甲、乙兩人同時(shí)從圓形跑道上同一點(diǎn)出發(fā)，沿順時(shí)針?lè)较蚺懿?，甲的?/p>

度比乙快，過(guò)了一段時(shí)間，甲第一次從背后追上乙，這時(shí)甲立即改變方向，沿逆時(shí)針?lè)较蛞栽瓉?lái)的

速度跑去，當(dāng)兩人再次相遇時(shí)，乙恰好跑了4圈，求甲的速度是乙的幾倍？

35.（1997年荊州市競(jìng)賽題）用正方形的地磚不重疊無(wú)縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長(zhǎng)為無(wú)厘米規(guī)格的

地磚，恰需〃塊；若選用邊長(zhǎng)為y厘米規(guī)格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊.已知尤，y,〃都

是整數(shù)，且x,y互質(zhì).試問(wèn)這塊地有多少平方米？

36.（2000年“新世紀(jì)杯”廣西初賽題）某房產(chǎn)公司計(jì)劃投資370萬(wàn)元建一棟每層建筑面積為1000

平方米的多層（不超過(guò)8層）住宅樓，其中征購(gòu)?fù)恋丶敖患{各項(xiàng)管理費(fèi)支出了100萬(wàn)元.樓房的總建

筑面積（即各層面積之和）的每平方米平均建筑費(fèi)用（不含購(gòu)地費(fèi)及各項(xiàng)管理費(fèi)）與建筑高度有關(guān),

樓房升高一層，整幢樓平均每平方米的建筑費(fèi)用減少10元；已知如果建4層樓，平均每平方米的建

筑費(fèi)用是400元.則按該公司的投資數(shù)額，這棟樓最多能建幾層？（可用到的數(shù)據(jù)：同。29.3）

11

第3講一元二次方程根的判別式

1.（1995年廣州、洛陽(yáng)、福州、武漢、重慶初中數(shù)學(xué)孤聯(lián)賽題）如果正數(shù)a、b、c滿足9>a+c,

那么關(guān)于尤的方程加+6x+c=0的根的情況是（）

A.有2個(gè)不相等的實(shí)根B.有2個(gè)相等的實(shí)根

C.沒(méi)有實(shí)根D.無(wú)法確定有無(wú)實(shí)根

2.（1997年哈爾濱市競(jìng)賽題）使一元二次方程尤②+3尤+優(yōu)=0有整數(shù)根的非負(fù)整數(shù)機(jī)的個(gè)數(shù)為（）

A.OB.lC.2D.3

3.（江蘇省第21屆競(jìng)賽題）設(shè)看、X2是方程尤2+*-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則M-5君+10=（）

A.-29B.-19C.-15D.-9

4.（1996年四川省聯(lián)賽題）若方程/-（a-3卜-3°-廿=0有兩個(gè)等根，則方程三+依+。=0的兩

根分別是（）

A.0,3B.0,-3C.1,4D.1,-4

5.（2000年廣西競(jìng)賽題）下列方程中有實(shí)數(shù)根的方程是（）

A.%2+l=0B.X2+X+1=0C，4Z^=0D.-X2+X+1=0

x—x

6.（1998年山東省競(jìng)賽題）方程國(guó)-3=迪的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（）

XX

A.lB.2C.3D.4

7.（1996年江蘇省競(jìng)賽題）已矢口％2一四+3—人=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，f+（6—〃）x+6—有

兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，/+（4—。h+5-5=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則〃，。的取值范圍是（）

A.2vav4,2<b<5B.lvav4,2<b<5

C.l<a<41l<b<5D.2vav4,1<Z?<5

8.（2007年浙江省競(jìng)賽題）把三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)a、b、c按任意次序（次序不同視為不同組）填

入口/+口尤+口=0的三個(gè)方框中，作為一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，則使

所得方程至少有一個(gè)整數(shù)根的a、b,c（）

A.不存在B.有一組C.有兩組D.多于兩組

9.（2000年美國(guó)猶他州數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）滿足尤2+7x+c=O有實(shí)根的最大整數(shù)。是（）

A.4B.8C.10D.12

10.（1998年全國(guó)競(jìng)賽題）如果方程d+px+l=0（p>0）的兩根之差為1,那么。等于（）

A.2B.4C.y/3D.-J5

12

11.（2001年全國(guó)聯(lián)賽題）若abwl,且有54+20011+9=0及9b2+200m+5=0,則@的值是（）

b

12.（2004年全國(guó)聯(lián)賽題）已知廿一4比是一元二次方程灰+c=o（〃wo）的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則

（）

A.ab>—B.ab<—C.ab>—D.ab<—

8844

13.（1996年上海市競(jìng)賽題）若關(guān)于x的方程12/-30x+c=0的兩實(shí)根的立方和是兩實(shí)根平方和的

3倍，則c的值是.

14.（2002年廣西競(jìng)賽題）如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)無(wú)，分式——總有意義，那么c的取值范圍是

—x+2x+c

15.（2004年全國(guó)競(jìng)賽題）實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,則z的最大值是.

16.（江蘇省第19屆競(jìng)賽題）設(shè)機(jī)為整數(shù)，且關(guān)于x的方程加9+2（7”-5）》+機(jī)-4=0有整數(shù)根，則

m的值為.

17.（太原市競(jìng)賽題）已知關(guān)于x的方程一-2ax+/=。有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)°的取

值范圍是.

18.（1998年廣西競(jìng)賽題）已知關(guān)于x的方程（a+l）/+4依+9=0的根有且只有一個(gè)值，則實(shí)數(shù)

a-.

19.（2004年我愛(ài)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)競(jìng)賽題）能使關(guān)于x的方程±乂+七1+生色=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

X—1X+1X-1

的所有。的值的總和等于.

20.（江蘇省第21屆競(jìng)賽題）設(shè)關(guān)于x的一元二次方程/+2區(qū)+!-左=0有兩個(gè)實(shí)根，則左的取值

4

范圍為.

21.（1998年上海市競(jìng)賽題）設(shè)p,4為質(zhì)數(shù)，貝IJ關(guān)于x的方程/+川+44=0的整數(shù)解是.

22.（1998年黃岡市競(jìng)賽題）如果方程尤4+6/+9/一30尤2—9°彳+2°2=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，

則p的值為.

23.（第9屆祖沖之杯競(jìng)賽題）已知二次方程觸-2b）f+2伍-a）x+24-必=0有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

24.（第7屆祖沖之杯競(jìng)賽題）已知實(shí)數(shù)無(wú)，y,z滿足x+y=5,z2=xy+y-9,那么

13

x+2y+3z=.

25.（第8屆五羊杯競(jìng)賽題）如果關(guān)于x的方程Z（左+1）（左-2）/一2（左+1）（左+2）%+（左+2）=0只有一

個(gè)實(shí)數(shù)根（相等的兩根算作一個(gè)根），那么實(shí)數(shù)左可取個(gè)不同值.

26.（2004年天津市競(jìng)賽題）若1<^<10,且方程一2n+^=0的兩根均為奇數(shù)，則

此方程的根為.

27.（2000年重慶市初賽題）設(shè)方程冗2_|2%-1|-4=0,求滿足該方程的所有根之和.

28.（1993年合肥市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知關(guān)于x的方程--2岳+11左有4個(gè)不同的實(shí)根，求上的

變化范圍.

29.（河南省競(jìng)賽題）已知a>0,b>a+c,判斷關(guān)于x的方程依2+區(qū)+。=0的根的情況，并給出

必要的說(shuō)明.

30.（黃岡市競(jìng)賽題）若〃、b>c>d>0,證明：在方程1爐+{2a+6%+=0①;

2

—x2+y/2b+ex+\/ad=0@；—x2+yjlc+dx+y[ad=0?+J2d+ax+=0④中,至少有

222

兩個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

31.（2000年上海市競(jìng)賽題）求方程工+工―的整數(shù)解.

xyxy4

32.（1997年全國(guó)聯(lián)賽題）當(dāng)〃取遍。到5的所有實(shí)數(shù)值時(shí)，滿足弘=a（3a-8）的整數(shù)b有幾個(gè)?

14

33.（2000年湖北省競(jìng)賽題）已知關(guān)于x的方程4/一8質(zhì)-3〃=2和爐-5+3）尤-2/+2=0,問(wèn)是

否存在這樣的“值，使第一個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差的平方等于第二個(gè)方程的一整數(shù)根？若存在，

求出這樣的〃值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

34.（1997年上海市競(jìng)賽題）已知關(guān)于尤的方程?+DS+°+ST）僅一0=型無(wú)解,這里實(shí)數(shù)°,

x+2x-2x

人滿足awb,abwb,求^+色的值.

ab

35.（1998年山東省競(jìng)賽題）當(dāng)x為何整數(shù)時(shí)，代數(shù)式9k+23x-2的值恰為兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的乘積？

36.（1995年黃岡初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)關(guān)于x的方程尤2+[2]一7X-2+2。+12=0有相等兩根，求

\X）X

a的值.

37.（1993年四川省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知方程（依+片-1）2+—^+2a2-1=0有實(shí)數(shù)解.求實(shí)數(shù)

（X+〃）

a的取值范圍.

38.（2008年天津市競(jìng)賽題）已知a,b為實(shí)數(shù),且儲(chǔ)+次?+/=3,若"一"+〃的最大值是相，

15

最小值是n,求〃z+〃的值.

39.（1993年浙江省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)A為整數(shù)系數(shù)二次方程ar2+6x+c=0的判別式.

（1）4、5、6、7、8五個(gè)數(shù)值中，哪幾個(gè)能作為A的值？分別寫(xiě)出1個(gè)相應(yīng)的二次方程.

（2）請(qǐng)你從中導(dǎo)出一般規(guī)律------切整數(shù)中，怎樣的整數(shù)值不能作為A的值，并給出證明.

40.（1990年日本第一輪選拔賽題）求方程尤2+25彳+52=3，尤2+25彳+80的所有實(shí)數(shù)解的積.

a+b=8,c

41.（2002年全國(guó)聯(lián)賽題）已知a,b,c三數(shù)滿足方程組試求方程Z?/+5一々=o

ub—c+8J2c=48,

的根.

16

第4講一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

1.（2005年武漢市競(jìng)賽題）如果a,6是關(guān)于x的方程（x+c）（x+d）=l的兩個(gè)根，那么（a+c）僅+c）

等于（）

A.lB.-lC.OD.c2

2.（2004年太原市競(jìng)賽題）設(shè)a,4是方程2/-3國(guó)-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則占好的值是（）

11

27

A.-lB.lC.——D.-

33

3.（2005年太原市競(jìng)賽題）已知關(guān)于x的一元二次方程儲(chǔ)/+^尤+°2=0①的兩根之和是一元二

次方程62+6X+C=0②的兩根的平方和.則a,b,c的關(guān)系是（）

A.a2=beB.b2=acC.c1=abD.abc—1

4.（2004年全國(guó)競(jìng)賽題）一條拋物線y=a/+6x+c的頂點(diǎn)為（4,-11）,且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為一正一負(fù)，則a,b,c中為正數(shù)的（）

A.只有aB.只有6C.只有cD,只有。和b

5.（2001年全國(guó)聯(lián)賽題）若關(guān)于x的二次方程（6-c）V+（a-b）x+c-a=0有相等的兩實(shí)數(shù)根，則a,

b,c間關(guān)系是（）

Ab+c「,a+c-a+b一,八

A.a=------B.Z?=------C.c=------D.a+》+c=O

222

6.（全國(guó)競(jìng)賽題）已知實(shí)數(shù)awb,且滿足（a+l）2=3-3（a+l）,3伍+1）=3-伍+中，則電+嘛

的值為（）

A.