中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)題型九 二次函數(shù)綜合題 類型十一 二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）（解析版）

題型九二次函數(shù)綜合題類型十一二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）1.（2022·浙江湖州）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點(diǎn)A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)D．(1)①求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②求b，c的值．(2)若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，過點(diǎn)P作PM⊥AP，交y軸于點(diǎn)M（如圖2所示）．當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②(2)；【分析】（1）①根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)即可求解；②利用待定系數(shù)法求解即可；（2）證明Rt△ABP∽R(shí)t△PCM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到n關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．(1)解：①∵正方形OABC的邊長為3，∴點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②把點(diǎn)A(3，0)，C(0，3)的坐標(biāo)分別代入y=?x2+bx+c，得，解得；(2)解：由題意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴Rt△ABP∽R(shí)t△PCM，∴，即．整理，得，即．∴當(dāng)時(shí)，n的值最大，最大值是．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．2.（2022·山東泰安）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為直線，與x軸的另一交點(diǎn)為C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M在直線上，且在第四象限，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N．①若點(diǎn)N在線段上，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②以為對(duì)角線作正方形（點(diǎn)P在右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）①先求出直線的表達(dá)式為，然后設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．可得．可得到，．再由，即可求解；②連接與交與點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為根據(jù)正方形的性質(zhì)可得E的坐標(biāo)為，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)．再由點(diǎn)P在拋物線上，即可求解．(1)解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．又拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，解得∶拋物線的表達(dá)式為．(2)解∶①設(shè)直線的表達(dá)式為．點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為，，∴，解得∶，直線的表達(dá)式為．根據(jù)題意得∶點(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，．設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．軸，．∴．，解，得．點(diǎn)M的坐標(biāo)；②連接與交與點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為四邊形是正方形，，，．∵M(jìn)N⊥x軸，軸．E的坐標(biāo)為．．．∴P的坐標(biāo)．點(diǎn)P在拋物線上，．解，得，．點(diǎn)P在第四象限，舍去．即．點(diǎn)M坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2020·吉林中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作垂直于軸的直線．是該拋物線上的任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)；是直線上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，以，為邊作矩形．（1）求的值．（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值．（3）當(dāng)矩形是正方形，且拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部時(shí)，求的值．（4）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．【解析】【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得b的值；（2）分別表示出P、Q、M的坐標(biāo)，根據(jù)Q、M的橫坐標(biāo)相同，它們重合時(shí)縱坐標(biāo)也相同，列出方程求解即可；（3）分別表示出PQ和MQ的長度，根據(jù)矩形是正方形時(shí)，即可求得m的值，再根據(jù)頂點(diǎn)在正方形內(nèi)部，排除不符合條件的m的值；（4）分，，，四種情況討論，結(jié)合圖形分析即可．【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入得，解得b=1,；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，∴,∵于點(diǎn)，∴,∵是直線上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，∴，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，解得；（3）由（2）可得，，當(dāng)矩形是正方形時(shí)，即，即或，解得，解得，又，∴拋物線的頂點(diǎn)為(1，2)，∵拋物線的頂點(diǎn)在該正方形內(nèi)部，∴P點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，即，且M點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即，解得，故m的值為；（4）①如下圖當(dāng)時(shí)，若拋物線在矩形內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該小于P點(diǎn)縱坐標(biāo)，且P點(diǎn)應(yīng)該在x軸上側(cè)，即且，解得，解得，∴，②如下圖當(dāng)時(shí)，若拋物線在矩形內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該小于P點(diǎn)縱坐標(biāo)，即，解得，∴；③當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)和M點(diǎn)都在直線x=3上不構(gòu)成矩形，不符合題意；④如下圖當(dāng)時(shí)，若拋物線在矩形內(nèi)的部分所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該大于P點(diǎn)縱坐標(biāo)，即，解得或，故，綜上所述或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，正方形的性質(zhì)定理，求二次函數(shù)解析式．能分別表示出M、P、Q的坐標(biāo)并結(jié)合圖形分析是解決此題的關(guān)鍵，注意分類討論．4.（2020·山東濰坊?中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）在射線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，或．【解析】【分析】（1）直接將和點(diǎn)代入，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形PBC的面積；過點(diǎn)P作PG軸，交軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，根據(jù)三角形PBC的面積列關(guān)于t的方程，解出t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三種情況討論結(jié)合圖形得出邊之間的關(guān)系，即可得出答案．【詳解】（1）拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)拋物線解析式為：（2）當(dāng)時(shí)，直線BC解析式為：過點(diǎn)P作PG軸，交軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F設(shè)即（3）為等腰直角三角形拋物線的對(duì)稱軸為點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3又點(diǎn)E在直線BC上點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5設(shè)①當(dāng)MN=EM，,時(shí)解得或（舍去）此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為②當(dāng)ME=EN，時(shí)解得：或（舍去）此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為③當(dāng)MN=EN，時(shí)連接CM，易知當(dāng)N為C關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)四邊形CMNE為正方形解得：（舍去）此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為在射線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，或．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，涉及到二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，解答類似題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?23x2+bx+c，經(jīng)過A（0，﹣4），B（x（1）求b，c的值；（2）在拋物線上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）b=?143，c=?4；（2）D（?7【解析】試題分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及|x（2）因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對(duì)角線必在拋物線的對(duì)稱軸上，滿足條件的D點(diǎn)，就是拋物線的頂點(diǎn)；（3）由四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可，再根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)與線段OB的長度關(guān)系，判斷是否為正方形即可．試題解析：（1）∵拋物線y=?23x又∵由題意可知，x1、x2是方程?23x2+bx?4=0的兩個(gè)根，∴x1+x2=32b，當(dāng)b=143時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．∴b=?（2）∵四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線的對(duì)稱軸上，又∵y=?23x2?143x?4=（3）∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是直線x=﹣3與拋物線y=?23x2?143四邊形BPOH不能成為正方形，因?yàn)槿绻倪呅蜝POH為正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是（﹣3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線上．考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．探究型；3．存在型；4．壓軸題．6.如圖，頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（3）若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，過作軸于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)心為，試求的最小值．【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為或或或時(shí)，為直角三角形；（3）最小值為.【解析】（1）結(jié)合題意，用待定系數(shù)法即可求解；（2）分3種情況討論，用勾股定理即可求解；（3）根據(jù)正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.【詳解】（1）∵拋物線過點(diǎn)，，∴，解得：，∴這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為.（2）在軸上存在點(diǎn)，使得為直角三角形．∵，∴頂點(diǎn)，∴，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，①若，則.∴，解得：，∴.②若，則，∴，解得：，，∴或.③若，則，∴，解得：，∴.綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或時(shí)，為直角三角形．（3）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵軸于點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∵點(diǎn)為的內(nèi)心，∴，，，，∴矩形是正方形，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴化簡得：，配方得：，∴點(diǎn)與定點(diǎn)的距離為.∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，∵，∴，∴最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定.7.（2019·浙江中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA,OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為好點(diǎn)．點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求該拋物線下方（包括邊界）的好點(diǎn)個(gè)數(shù)．（2）當(dāng)時(shí)，求該拋物線上的好點(diǎn)坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】（1）好點(diǎn)有：，，，和，共5個(gè)；（2），和；（3）.【解析】【分析】（1）如圖1中，當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝﹣x2+2，畫出函數(shù)圖象，利用圖象法解決問題即可；（2）如圖2中，當(dāng)m＝3時(shí)，二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5，如圖2，結(jié)合圖象即可解決問題；（3）如圖3中，拋物線的頂點(diǎn)P（m，m+2），推出拋物線的頂點(diǎn)P在直線y＝x+2上，由點(diǎn)P在正方形內(nèi)部，則0＜m＜2，如圖3中，E（2，1），F(xiàn)（2，2），觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)時(shí)，拋物線與線段EF有交點(diǎn)（點(diǎn)F除外），求出拋物線經(jīng)過點(diǎn)E或點(diǎn)F時(shí)Dm的值，即可判斷．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式為畫出函數(shù)圖像（圖1）圖1當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和好點(diǎn)有：，，，和，共5個(gè)（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式為畫出函數(shù)圖像（圖2）圖2當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，該拋物線上存在好點(diǎn)，坐標(biāo)分別是，和（3）拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為點(diǎn)P支直線上由于點(diǎn)P在正方形內(nèi)部，則如圖3，點(diǎn)，圖3當(dāng)頂點(diǎn)P支正方形OABC內(nèi)，且好點(diǎn)恰好存在8個(gè)時(shí)，拋物線與線段EF有交點(diǎn)（點(diǎn)F除外）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，解得：，（舍去）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，解得：，（舍去）當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)，恰好存在8個(gè)好點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，好點(diǎn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)正確畫出圖象，利用圖象法解決問題，學(xué)會(huì)利用特殊點(diǎn)解決問題．8.（2017·湖北中考真題）如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為D（﹣2，0），點(diǎn)P是線段CB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=t（0＜t＜10）．（1）請(qǐng)直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)P作PE⊥BC，交拋物線于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)t為何值時(shí)，∠PBE=∠OCD？（3）點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥BQ，交CQ于點(diǎn)M，作PN∥CQ，交BQ于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，請(qǐng)求出t的值．【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）或.【解析】試題分析：（1）由拋物線的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設(shè)P（t，4），則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PB、PE的長，由條件可證得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，則可證得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性質(zhì)可求得CQ的長，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，則可用t分別表示出PM和PN，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．試題解析：解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，∴C（0，4），∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y＝x2＋x＋4；（2）由題意可設(shè)P（t，4），則E（t，t2＋t＋4），∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，∵∠BPE＝∠COD＝90°，當(dāng)∠PBE＝∠OCD時(shí)