2025屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考(一模)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省騰云聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考(一模)數(shù)學(xué)試卷一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，因?yàn)椋?，所以，解得，即的取值范圍是，故選：C.2.已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦點(diǎn)在軸上B.的焦距為4C.的離心率D.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍【答案】C【解析】在橢圓中，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，橢圓的焦距，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，橢圓離心率為，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，橢圓的短軸長(zhǎng)為，的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，D錯(cuò)誤.故選：C.3.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.40 B. C.20 D.【答案】B【解析】展開式的通項(xiàng)為，所以令，解得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故選：B.4.高三教學(xué)樓門口張貼著“努力的力量”的宣傳欄，勉勵(lì)著同學(xué)們專心學(xué)習(xí)，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，時(shí)間會(huì)給我們帶來驚喜.如果每天的進(jìn)步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“進(jìn)步”是“落后”的230萬倍，現(xiàn)張三同學(xué)每天進(jìn)步，李四同學(xué)每天落后，假設(shè)開始兩人相當(dāng)，則大約（）天后，張三超過李四的100倍（參考數(shù)據(jù)：）A.7 B.17 C.27 D.37【答案】B【解析】經(jīng)過天后，張三超過李四的100倍，所以，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得，所以，又，所以,所以大約17天后，張三超過李四的100倍.故選：B5.已知函數(shù)是減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，所以的取值范圍為.故選：D.6.已知實(shí)數(shù)滿足，則最大值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】解法（1）：由，令，即，，，即最大值為2；解法（2）：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，即最大值為2，故選：A.7.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，若的前9項(xiàng)和為，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記數(shù)列公比為且，則，故，所以公比也為，則前9項(xiàng)和.故選：D8.設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)為，已知為雙曲線一條漸近線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因雙曲線C:x2a2由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以，所?，兩邊平方得，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列關(guān)于向量與復(fù)數(shù)的說法正確的有（）A.若復(fù)數(shù)滿足，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若，則或D.若，則或【答案】BD【解析】對(duì)于A，，滿足，但，顯然，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，若是兩個(gè)單位向量，有，但兩個(gè)單位向量的方向可以任意，即可不共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以或，故D正確.故選：BD.10.已知函.（）A.的最小值為B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C若當(dāng)時(shí)，取得極大值，則D.若在區(qū)間恰有3個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，易知，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即A正確；對(duì)于B，當(dāng)有正負(fù)，可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于C，由B可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值時(shí)，即C正確；對(duì)于D，易知，當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)滿足，解得，即D正確.故選：ACD11.已知定義在上的函數(shù)分別滿足：為偶函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)為周期函數(shù)B.C.的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由可得，即的周期為2，A正確.對(duì)于B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，令可得無法確定，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，可得，因此關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，即C正確；對(duì)于D，，，累加可得，所以，即D正確.故選：ACD三?填空題：本題共13小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，若，則__________.【答案】【解析】易知直線的斜率存在且為，由可知，且，所以.故答案為：13.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球體的表面上，若，且，則球體的表面積為__________.【答案】【解析】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又是的外心，所以三棱錐的外接球球心在直線上，設(shè)，則，所以，解得，所以外接球的半徑為，所以球體的表面積為.故答案為：.14.已知中，①__________；②為邊的中點(diǎn)，若，則__________.【答案】①.②.【解析】，即由正弦定理角化邊可得由余弦定理可得；設(shè)由余弦定理結(jié)合①得在中，在中，所以，即，，等式兩邊同時(shí)除以可得，解得或（舍去），所以.故答案為：；.四?解答題：本題共5小題，共77分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）解：由（1）可知令對(duì)照系數(shù)可得（其中），16.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間內(nèi)存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，可得所以，又，所以切線方程：，即.（2）由已知得1.若，，當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以在取得最小值，符合題意.2.若，i）若即，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，所以在取得最小值，ii）當(dāng)，，所以無極值，不符合題意，iii）當(dāng)即，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，所以在取得極小值符合.3.若，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在取得極小值，符合題意；綜上所述：的取值范圍為.17.如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，沿將翻折至位置得到四棱錐為上一動(dòng)點(diǎn).（1）若為的中點(diǎn)，證明：在翻折過程中均有平面；（2）若，①證明：平面平面；②記四棱錐體積為，三棱錐的體積為，若，求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：取PA中點(diǎn)G，連FG，EG，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且，由題意可知：∥，且，則∥，且，可知四邊形CFGE為平行四邊形，則∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）①證明：在四邊形中，連接，由題意可知：是以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則，且，則，可知，即，且，若，且，則，可知，且，平面，可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；②解；取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連，則，∥，可得，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚母呒礊榈冗叺母?，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，若，則，解得，即，可知為中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，OA，OH，別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，所以點(diǎn)到平面的距離.18.如圖，已知拋物線，過點(diǎn)作斜率為的直線，分別交拋物線于與，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）若，證明：；（3）若直線過點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).（1）解：當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立消去，可得，設(shè)，拋物線C方程為：.（2）證明：由題知，設(shè)，，代入拋物線可得，，又，同理.（3）證明：因?yàn)?，所以，代入點(diǎn)得①，設(shè)，同理，過點(diǎn)②，結(jié)合①②可得又因?yàn)樗裕淼盟灾本€過定點(diǎn).19.在某一次聯(lián)考中，高三（9）班前10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號(hào)12345678910數(shù)學(xué)成績(jī)11613112412612111010699118117數(shù)學(xué)名次71324891056物理成綃80787981746563707384物理名次35426910871（1）從這10名同學(xué)任取一名，已知該同學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀（成績(jī)?cè)?20分（含）以上），則該同學(xué)物理也優(yōu)秀（物理成績(jī)?cè)?8分（含）以上）的概率；（2）已知該校高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)，物理成績(jī)，化學(xué)成績(jī)兩兩成正相關(guān)關(guān)系，經(jīng)計(jì)算這10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)約為0.8，已知這10名同學(xué)物理成績(jī)與化學(xué)成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)約為，分析相關(guān)系數(shù)的向量意義，求的樣本相關(guān)系數(shù)的最大值.（3）設(shè)為正整數(shù)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同，按照由大到小的順序，記在中排名是位在中的排名是位.定義變量和變量的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù).記，其中，證明：，并用上述公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成頻和物理成績(jī)的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）（參考公式：相關(guān)系數(shù)）（1）解：由題意可得數(shù)學(xué)優(yōu)秀的學(xué)生有4名，這4名中物理優(yōu)秀的有3名同學(xué)，由條件根概率公式可得；（2）解：分析r的向量意義，設(shè)，則，分別令的樣本相關(guān)系數(shù)，的樣本相關(guān)系數(shù)，與的樣本相關(guān)系數(shù)為，則，，，，夾角余弦值最大值為；（3）證明:都是一個(gè)排列，同理.結(jié)合圖表湖北省騰云聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考(一模)數(shù)學(xué)試卷一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，因?yàn)?，所以，所以，解得，即的取值范圍是，故選：C.2.已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦點(diǎn)在軸上B.的焦距為4C.的離心率D.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍【答案】C【解析】在橢圓中，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，橢圓的焦距，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，橢圓離心率為，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，橢圓的短軸長(zhǎng)為，的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，D錯(cuò)誤.故選：C.3.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.40 B. C.20 D.【答案】B【解析】展開式的通項(xiàng)為，所以令，解得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故選：B.4.高三教學(xué)樓門口張貼著“努力的力量”的宣傳欄，勉勵(lì)著同學(xué)們專心學(xué)習(xí)，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，時(shí)間會(huì)給我們帶來驚喜.如果每天的進(jìn)步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“進(jìn)步”是“落后”的230萬倍，現(xiàn)張三同學(xué)每天進(jìn)步，李四同學(xué)每天落后，假設(shè)開始兩人相當(dāng)，則大約（）天后，張三超過李四的100倍（參考數(shù)據(jù)：）A.7 B.17 C.27 D.37【答案】B【解析】經(jīng)過天后，張三超過李四的100倍，所以，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得，所以，又，所以,所以大約17天后，張三超過李四的100倍.故選：B5.已知函數(shù)是減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，所以的取值范圍為.故選：D.6.已知實(shí)數(shù)滿足，則最大值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】解法（1）：由，令，即，，，即最大值為2；解法（2）：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，即最大值為2，故選：A.7.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，若的前9項(xiàng)和為，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記數(shù)列公比為且，則，故，所以公比也為，則前9項(xiàng)和.故選：D8.設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)為，已知為雙曲線一條漸近線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因雙曲線C:x2a2由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以，所?，兩邊平方得，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列關(guān)于向量與復(fù)數(shù)的說法正確的有（）A.若復(fù)數(shù)滿足，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若，則或D.若，則或【答案】BD【解析】對(duì)于A，，滿足，但，顯然，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，若是兩個(gè)單位向量，有，但兩個(gè)單位向量的方向可以任意，即可不共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋裕?，所以，所以或，故D正確.故選：BD.10.已知函.（）A.的最小值為B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C若當(dāng)時(shí)，取得極大值，則D.若在區(qū)間恰有3個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，易知，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即A正確；對(duì)于B，當(dāng)有正負(fù)，可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于C，由B可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值時(shí)，即C正確；對(duì)于D，易知，當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)滿足，解得，即D正確.故選：ACD11.已知定義在上的函數(shù)分別滿足：為偶函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)為周期函數(shù)B.C.的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由可得，即的周期為2，A正確.對(duì)于B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，令可得無法確定，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，可得，因此關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，即C正確；對(duì)于D，，，累加可得，所以，即D正確.故選：ACD三?填空題：本題共13小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，若，則__________.【答案】【解析】易知直線的斜率存在且為，由可知，且，所以.故答案為：13.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球體的表面上，若，且，則球體的表面積為__________.【答案】【解析】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又，，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又是的外心，所以三棱錐的外接球球心在直線上，設(shè)，則，所以，解得，所以外接球的半徑為，所以球體的表面積為.故答案為：.14.已知中，①__________；②為邊的中點(diǎn)，若，則__________.【答案】①.②.【解析】，即由正弦定理角化邊可得由余弦定理可得；設(shè)由余弦定理結(jié)合①得在中，在中，所以，即，，等式兩邊同時(shí)除以可得，解得或（舍去），所以.故答案為：；.四?解答題：本題共5小題，共77分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）解：由（1）可知令對(duì)照系數(shù)可得（其中），16.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間內(nèi)存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，可得所以，又，所以切線方程：，即.（2）由已知得1.若，，當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以在取得最小值，符合題意.2.若，i）若即，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，所以在取得最小值，ii）當(dāng)，，所以無極值，不符合題意，iii）當(dāng)即，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，所以在取得極小值符合.3.若，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在取得極小值，符合題意；綜上所述：的取值范圍為.17.如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，沿將翻折至位置得到四棱錐為上一動(dòng)點(diǎn).（1）若為的中點(diǎn)，證明：在翻折過程中均有平面；（2）若，①證明：平面平面；②記四棱錐體積為，三棱錐的體積為，若，求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：取PA中點(diǎn)G，連FG，EG，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且，由題意可知：∥，且，則∥，且，可知四邊形CFGE為平行四邊形，則∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）①證明：在四邊形中，連接，由題意可知：是以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則，且，則，可知，即，且，若，且，則，可知，且，平面，可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；②解；取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連，則，∥，可得，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚母呒礊榈冗叺母?，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，若，則，解得，即，可知為中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，OA，OH，別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，所以點(diǎn)到平面的距離.18.如圖，已知拋物線，過點(diǎn)作斜率為的直線，分別交拋物線于與，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn).（1）