2025屆廣東省建文教育集團(tuán)兩學(xué)部高三上學(xué)期12月第一次模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省建文教育集團(tuán)兩學(xué)部2025屆高三上學(xué)期12月第一次模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】法1：因?yàn)?，所以，所?法2：因?yàn)椋裕?故選：C.2.已知命題，，，，則（）A.p和q都是真命題B.p和都是真命題C.和q都是真命題D.和都是真命題【答案】B【解析】當(dāng)x=1時(shí)，命題成立，所以命題p是真命題，命題是假命題；當(dāng)x=0時(shí)，命題不成立，所以命題q是真命題，命題是真命題.故選：B.3.記為非零數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】在非零數(shù)列中，，由，，得數(shù)列等比數(shù)列，，因此，所以.故選：C4.已知函數(shù)部分圖象如圖，是相鄰的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，直線的方程為，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接，與軸交于點(diǎn)，由圖象的對(duì)稱性，知點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)，由，得，所以的最小正周期滿足，解得，即，解得，，.因?yàn)辄c(diǎn)是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，所以，結(jié)合，解得，故選：C.5.眾數(shù)?平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).根據(jù)某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)是屬于右邊“拖尾”，所以平均數(shù)大于中位數(shù)為，由于第一個(gè)小矩形面積為，前2個(gè)小矩形面積之和為，所以中位數(shù)位于之間，故可得，解得，由頻率分布直方圖可知眾數(shù)，故，故選：D.6.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則在下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得，若單調(diào)遞減，則，解得；觀察選項(xiàng)可知，只需寫出在上的單調(diào)遞減區(qū)間即可，易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，只有，可得為函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.故選：C7.已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由為奇函數(shù)，知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，由，得．由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，綜上，，由上，，得，所以，則4為的一個(gè)周期，所以.故選：C8.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以橢圓的離心率為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為、，則下列說法不正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】設(shè)，則，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，滿足，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，而，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知圓錐的頂點(diǎn)為為底面圓的直徑，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，與底面所成的角為，則（）A.該圓錐的側(cè)面積為B.該圓錐的休積為C.D.該圓錐內(nèi)部半徑最大的球的表面積為【答案】BCD【解析】由已知，，，易得等腰三角形的底邊長(zhǎng)，，對(duì)于A，該圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B該圓錐的體積為，B正確；對(duì)于C，如圖，取中點(diǎn)為，連接，則為與底面所成角為，故，C正確；對(duì)于D，當(dāng)球與圓錐內(nèi)切時(shí)，表面積最大，此時(shí)球心在圓錐的高上，設(shè)為，球半徑為，過向作垂線，垂足為，則，又，所以，所以，球的表面積為，D正確，故選：BCD11.“”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號(hào)，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線．如圖所示的曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)，上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之積為定值．則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.若，則的方程為B.若上點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之積為16，則點(diǎn)在上C.若，點(diǎn)在上，則D.當(dāng)時(shí)，上第一象限內(nèi)的點(diǎn)滿足的面積為，則【答案】ACD【解析】已知原點(diǎn)在上，則，設(shè)為上任意一點(diǎn)，則有，整理得．若，則的方程為，故A正確；若，則，代入方程得，顯然點(diǎn)不在此曲線上，故B錯(cuò)誤；若，點(diǎn)在上，有，整理得，所以，故C正確；因?yàn)?，，可得，所以點(diǎn)是曲線和以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，聯(lián)立方程，解得，，即，所以，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】4【解析】由，整理得，得，解得，所以.另解：由題知，則，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得.故答案為：413.若存在（互不相等），滿足，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】存在（互不相等），滿足，則，不妨設(shè)，且是相鄰最值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，則，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，則，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，.故答案為：.14.已知函數(shù)的最小值為0，則________．【答案】【解析】依題意，對(duì)于恒成立，且能取得等號(hào)，即對(duì)于恒成立，且能取得等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式為，則，即，因此在上恒成立，且能取得等號(hào)，設(shè)，于是是函數(shù)在上的最小值，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C對(duì)邊，且．（1）若，且的面積為，求A；（2）若，求．解：（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所以的面積，則，因?yàn)?，所以或．?）因?yàn)椋?，所?由余弦定理得，因?yàn)?，所以或，又，所以，所以，所以?6.已知二階行列式，三階行列式，其中分別為的余子式（某個(gè)數(shù)的余子式是指刪去那個(gè)數(shù)所在的行和列后剩下的行列式）．（1）計(jì)算．（2）設(shè)函數(shù)．①若的極值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，求；②若且，函數(shù)，證明：．（1）解：原式．（2）．（i）解：．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為1．因?yàn)榈臉O值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，所以，則公差，所以，所以．（ii）證明：因?yàn)?，所以在上無零點(diǎn)，在上存在唯一零點(diǎn)，且．令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，而，所以．令，則．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞誠(chéng)，所以當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以，而，所以．綜上，．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，平面平面為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：方法一；由，有，，因?yàn)闉檎叫?，故，又平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，又平面平面，故平面，又平面，所以平面平?方法二；因?yàn)闉檎叫?，故，而平面平面交于平面，所以平面，又平面，所以，平面和平面交線平行于.故是平面和平面所成二面角的平面角..有，故平面平面.方法三：取中點(diǎn)為，先證明：，，點(diǎn)為的中點(diǎn).，而平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，，由已知，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?故，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，，故，所以，平面平面.（2）解：取中點(diǎn)為.由（1）知，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，顯然可知平面的法向量為PD=0,1,-1設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，取，得，則，所以平面和平面所成銳二面角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，恒成立，令，則，若：若，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，令，則，（i）當(dāng)，即時(shí)，若或：若，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增.（ii）當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上遞增.（iii）當(dāng)，即時(shí)，若或：若，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增.（3）由得恒成立因?yàn)椋春愠闪?設(shè)，則，因?yàn)?，同?gòu)可得令因?yàn)?，所以，下面先證設(shè)，于是，令，則，當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，即，所以，即故實(shí)數(shù)取值范圍為19.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；依次類推，在和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列.（i）若，求；（ii）對(duì)于（i）中的，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，說明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以.（2）①設(shè)，所以，上面兩式相減得，所以所以，所以.②因?yàn)槎际沁f減數(shù)列；所以；則，令，即恒成立，所以數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；則所以；當(dāng)時(shí)，；則，所以，，成立，解得，存在；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；不滿足題意，故不存在：綜上所述，當(dāng)正整數(shù)對(duì)取和時(shí)，成立.廣東省建文教育集團(tuán)兩學(xué)部2025屆高三上學(xué)期12月第一次模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】法1：因?yàn)?，所以，所?法2：因?yàn)?，所以，?故選：C.2.已知命題，，，，則（）A.p和q都是真命題B.p和都是真命題C.和q都是真命題D.和都是真命題【答案】B【解析】當(dāng)x=1時(shí)，命題成立，所以命題p是真命題，命題是假命題；當(dāng)x=0時(shí)，命題不成立，所以命題q是真命題，命題是真命題.故選：B.3.記為非零數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】在非零數(shù)列中，，由，，得數(shù)列等比數(shù)列，，因此，所以.故選：C4.已知函數(shù)部分圖象如圖，是相鄰的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，直線的方程為，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接，與軸交于點(diǎn)，由圖象的對(duì)稱性，知點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)，由，得，所以的最小正周期滿足，解得，即，解得，，.因?yàn)辄c(diǎn)是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，所以，結(jié)合，解得，故選：C.5.眾數(shù)?平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).根據(jù)某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)是屬于右邊“拖尾”，所以平均數(shù)大于中位數(shù)為，由于第一個(gè)小矩形面積為，前2個(gè)小矩形面積之和為，所以中位數(shù)位于之間，故可得，解得，由頻率分布直方圖可知眾數(shù)，故，故選：D.6.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則在下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得，若單調(diào)遞減，則，解得；觀察選項(xiàng)可知，只需寫出在上的單調(diào)遞減區(qū)間即可，易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，只有，可得為函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.故選：C7.已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由為奇函數(shù)，知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，由，得．由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，綜上，，由上，，得，所以，則4為的一個(gè)周期，所以.故選：C8.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以橢圓的離心率為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為、，則下列說法不正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】設(shè)，則，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，滿足，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，而，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.已知圓錐的頂點(diǎn)為為底面圓的直徑，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，與底面所成的角為，則（）A.該圓錐的側(cè)面積為B.該圓錐的休積為C.D.該圓錐內(nèi)部半徑最大的球的表面積為【答案】BCD【解析】由已知，，，易得等腰三角形的底邊長(zhǎng)，，對(duì)于A，該圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B該圓錐的體積為，B正確；對(duì)于C，如圖，取中點(diǎn)為，連接，則為與底面所成角為，故，C正確；對(duì)于D，當(dāng)球與圓錐內(nèi)切時(shí)，表面積最大，此時(shí)球心在圓錐的高上，設(shè)為，球半徑為，過向作垂線，垂足為，則，又，所以，所以，球的表面積為，D正確，故選：BCD11.“”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號(hào)，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線．如圖所示的曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)，上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之積為定值．則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.若，則的方程為B.若上點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之積為16，則點(diǎn)在上C.若，點(diǎn)在上，則D.當(dāng)時(shí)，上第一象限內(nèi)的點(diǎn)滿足的面積為，則【答案】ACD【解析】已知原點(diǎn)在上，則，設(shè)為上任意一點(diǎn)，則有，整理得．若，則的方程為，故A正確；若，則，代入方程得，顯然點(diǎn)不在此曲線上，故B錯(cuò)誤；若，點(diǎn)在上，有，整理得，所以，故C正確；因?yàn)?，，可得，所以點(diǎn)是曲線和以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，聯(lián)立方程，解得，，即，所以，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】4【解析】由，整理得，得，解得，所以.另解：由題知，則，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得.故答案為：413.若存在（互不相等），滿足，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】存在（互不相等），滿足，則，不妨設(shè)，且是相鄰最值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，則，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，則，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，.故答案為：.14.已知函數(shù)的最小值為0，則________．【答案】【解析】依題意，對(duì)于恒成立，且能取得等號(hào)，即對(duì)于恒成立，且能取得等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式為，則，即，因此在上恒成立，且能取得等號(hào)，設(shè)，于是是函數(shù)在上的最小值，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C對(duì)邊，且．（1）若，且的面積為，求A；（2）若，求．解：（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所以的面積，則，因?yàn)椋曰颍?）因?yàn)?，所以，所?由余弦定理得，因?yàn)?，所以或，又，所以，所以，所以?6.已知二階行列式，三階行列式，其中分別為的余子式（某個(gè)數(shù)的余子式是指刪去那個(gè)數(shù)所在的行和列后剩下的行列式）．（1）計(jì)算．（2）設(shè)函數(shù)．①若的極值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，求；②若且，函數(shù)，證明：．（1）解：原式．（2）．（i）解：．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為1．因?yàn)榈臉O值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，所以，則公差，所以，所以．（ii）證明：因?yàn)?，所以在上無零點(diǎn)，在上存在唯一零點(diǎn)，且．令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，而，所以．令，則．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞誠(chéng)，所以當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以，而，所以．綜上，．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，平面平面為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：方法一；由，有，，因?yàn)闉檎叫?，故，又平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，又平面平面，故平面，又平面，所以平面平?方法二；因?yàn)闉檎叫?，故，而平面平面交于平面，所以平面，又平面，所以，平面和平面交線平行于.故是平面和平面所成二面角的平面角..有，故平面平面.方法三：取中點(diǎn)為，先證明：，，點(diǎn)為的中點(diǎn).，而平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，，由已知，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/p>